1、分享智慧泉源 智愛學習 传扬爱心喜乐Wisdom&Love 第 1 页 （共 4 页） 2018 年 12 月 24 日星期一导数高中数学的一个交汇点以能力为立意，重视知识的发生发展过程，突出理性思维，是高考数学命题的指导思想；而重视知识形成过程的思想和方法，在知识网络的交汇点设计问题，则是高考命题的创新主体。在现行的高中数学教材中，导数处于一种特殊的地位，这决定了与之相联系的知识备受各类考试的关注。导数融数形于一体，既有求导的运算，又有其几何意义，是高中数学知识的一个重要交汇点，是联系多个章节内容以及解决相关问题的重要工具，它常与函数、不等式、数列、向量、解析几何等内容交叉渗透、自然交汇，使
2、得以导数为载体的数学问题丰富多彩、新颖别致，且自然流畅。1 导数与函数、方程交汇例 1 已知函数 的图象如图，则（ ）dcxbaxf23)(A B C D0,(b)1,0()2,1(b),2(b解：由图象知，a0，不妨设函数在点（x 1,f(x1)） 、 （x 2,f(x2)）处取得极值，则 x1、x 2是方程的两根。根据韦达定理知， ，故 b0，因此23)( cxaf 031abx正确答案为（A） 。点评：可导函数 f(x)在某点取得极值的充要条件是该点的导数为 0 且该点两侧的导数值异号。运用此性质可轻松解决非常规的极值或参数范围问题。本题的上述解法将导数与函数、方程交汇，显示了导数应用的
3、多样性。例 2 函数 是 R 上的奇函数，当 x=1 时取得极小值-2。 dcxaf3)(（1）求函数的单调区间和极大值；（2）证明对任意 ，不等式 恒成立。)1,(,214|)(|21xff解：（1）由奇函数定义得 d=0，因此 caxfca233)(f(1)=-2 是 f(x)的极小值， ， 12)1(0f ， ， 。xf3)(3)(2xf 当 时 ，当 时 ，当 时 ，故 f(x)在1,x0),(0(xf ),1(0(xf和 为增函数，在 上为减函数。所以 f(x)在 x=-1 处取得极大值 f(-1)=2 。),()(1,（2）由以上可知，在-1，1上 f(x)有最大值 M=f(-1)
4、=2,最小值 m=f(1)=-2，所以对任意， ，即不等式成立。)1,(,1x 4)2(|)()(|21 mMxff点评：本题借助于导数研究函数的单调性，巧妙地把导数知识揉入到函数中。例 3 用总长 14.8m 的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的一边比另一边长 0.5m，那么高为多少时容器的体积最大？并求出它的最大容积。解：设容器底面短边长为 x（m） ，则另一边长为 x+0.5（m） ，高为 (m)，xx2.3)5.0(48.14 故容器体积为 （0x1.6）fy 6.1.2)2.3)(50()( x分享智慧泉源 智愛學習 传扬爱心喜乐Wisdom&Love 第 2 页
5、（共 4 页） 2018 年 12 月 24 日星期一令 得， 或 （舍去） ，06.14.62xy 1x154经检验， 为极大值，而由于定义域内只有一个极值，故为最大值。因此，当 m，容器x 1x高为 1.2m 时，容器的体积最大，最大为 1.8m3 。点评：在数学建模、函数与导数等的交汇处设计应用问题，是高考新课程的一大特点。2 导数与不等式交汇例 4 已知 a 0，n 为正整数，（）设 y= ，证明 ；x)(1)(naxy（）设 fn(x)=xn ，对任意 na，证明 f n+1 (n+1)（n+1）f n（n） 。na解：（）因为 =KKC0所以 = 。y nKn nnn axx11
6、11)()()(（）对 fn(x)=xn（xa） n 求导：f n(x)=nxn1 n（xa） n1f n(n)=nnn1 （na） n1 当 xa 0 时 f n(x)0，当 xa 时，f n(x)=xn（xa） n 是增函数，因此，当 na 时， （n+1 ） n（n+1a） nn n（na ） n，f n+1(n+1)=（n+1）（n+1） n（n+1 a） n（n+1 ）n n（na ） n点评：本题通过导数与函数单调性的关系，自然地将导数与证明不等式结合在一起，灵活考查了学生全面分析解决问题的能力。应该说，本题所用知识并不多，但由于考生对用导数法证明不等式这一思想方法不适应，以致于丢
7、分现象很严重，这反映了学生未能把握现行教材的思想内涵，不能做到学以致用，融汇贯通，这一现象值得深思。3 导数与数列知识交汇例 5 求和： ；nnCC)3(5421解：由 得，)( 21033 nnxxxx 3541 nnn将两边同对 x 求导，得2423120132 )3(543)()(3 nnnnnn xCxCxx令 x=1 得， n即原式= 。2)6(1n点评：本题若当作数列求和，用传统方法求解则技巧性较高。以上解法通过构造二项式，运用导数工具来求和，显得别具一格。例 6 二次函数 y=f(x)图象经过点（0，10） ，导函数 。当 （ ）52)(xf 1,(nN时，f(x)的函数值为整数
8、的个数记为 ，求数列 的通项公式。nana解：设 f(x)=x2-5x+c(c 为常数) 图象经过点（0，10）c=10f(x)= x 2-5x+10= 41525)(x分享智慧泉源 智愛學習 传扬爱心喜乐Wisdom&Love 第 3 页 （共 4 页） 2018 年 12 月 24 日星期一当 （ ）时，f(x)的函数值为整数的个数是 ，1,(nxNna当 时 在 的值域是 ， ；)f2,()6,421a当 时 在 的值域是 ， ；2nxf3,4152 ， 时 递增，5)(f .2x)(xf即当 时， 在 递增，值域为 ，3n)(f1,n 63,10522 nn 。)(4)05(622 a
9、综上所得， 。)3(421nn点评：本题利用导数给出函数，将函数值域与数列通项紧密结合，显得新颖别致。4 导数与向量的交汇例 7 已知向量 ，求 的最小值。4,),(),(32 xxbax ba解： ，记之为 f(x),则 ，b31 32)(xf令 得，x=-3 或 x=1 。列表如下：0)(xfx -4 (-4,-3) -3 (-3,1) 1 (1,4) 4)(f+ 0 - 0 +x320递增 9 递减 35递增 376当 时， 的最小值是 。1xba 35点评：本题借助向量的坐标得到了 关于 x 的函数，然后用导数知识研究函数闭区间上的ba最值问题，交汇的自然流畅。5 导数与解析几何交汇例
10、 8 已知抛物线 C1：y=x 2+2x 和 C2：y=-x 2+a，如果直线 同时 C1和 C2是的切线，称 是 C1和 C2l l是的公切线。公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段。（1）a 取什么值时， C 1和 C2有且只有一条公切线？写出此公切线的方程；（2）若 C1和 C2有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分。解：（1）函数 y=x2+2x 的导数 ，函数 y=-x2+a 的导数 ，xy xy2C 1在点 P（x 1,x12+2x1）处的切线是 )()( 1112x即 )(y分享智慧泉源 智愛學習 传扬爱心喜乐Wisdom&Love 第 4 页 （共 4 页） 2018
11、年 12 月 24 日星期一C2在点 Q(x2,-x22+a)处的切线是 )(2)(22xaxy即 axy如果 是 C1和 C2是的公切线，则和都是 的方程，消去 x2得，l l2x12+2x1+1+a=0，利用 得 ，P、Q 重合。0)1(24a121,因此 时 C1和 C2有且只有一条公切线，此公切线的方程是 。2a 41y（2）有以上可知 时 C1和 C2有两条公切线，设一条公切线上切点为 P1(x1,y1),Q1(x2,y2)，则 x1+x2=-1,y1+y2=-1+a ，公切线段 P1Q1的中点为 。,(2a同理，另一条公切线段 P2Q2的中点也为 。),(21a相应的两条公切线段 P1Q1与 P2Q2互相平分。点评：导数的几何意义为导数与解析几何的结合奠定了坚实的基础，从这个意义上讲，导数也是数形结合的桥梁。本题中通过公切线引入问题新颖别致，交汇自然，并且解题过程中还渗透了同一法的思想。
