1、图 1 图 2图 4图 3A DFC GEB图 1A DFC GEB图 2A DFC GEB图 3阅读理解说明题专题训练正方形是一种特殊的四边形，它集平行四边形、矩形、菱形的性 质于一身，优美漂亮，是中考的热点, 与它有关的中考题经常出现. 正方形是初中数学的重要知识内容， 纵观近几年全国各地中 考试题，可以 发现诸多以正方形为载体， 结合其它数学知识的优秀试题，格调清新、构思巧妙， 较好的考察了学生的基础知识、学习 能力和思维水平.1、 （1） 如图 1,在正方形 ABCD 中,点 E、F 分别在边 BC、CD 上，AE、BF 交于点 O，AOF90.求证： BECF.（2） 如图 2，在正
2、方形 ABCD 中，点 E、H 、F、G 分别在边AB、BC 、CD、DA 上， EF、GH 交于点 O，FOH90， EF4.求GH 的长.（3）已知点 E、H、F ,、 G 分别在矩形 ABCD 的边 AB、BC、CD、DA 上，EF、GH 交于点 O，FOH 90 ，EF4 . 直接写出下列两题的答案：如图 3，矩形 ABCD 由 2 个全等的正方形组成,求 GH 的长；如图 4，矩形 ABCD 由 n 个全等的正方形组成，求 GH 的长（用 n 的代数式表示） .2、在一次数学课上，张老师在大屏幕上出示了问题：如图 1，四边形 ABCD 是正方形，点 E 是边 BC 的中点 ，且 EF
3、 交正方形外角 的平90AEF DCG行线 CF 于点 F，求证：AE =EF经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取 AB 的中点 M，连接ME，AM=EC，易证 ，所以 MC 在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图 2，如果把“点 E 是边 BC 的中点”改为“点 E 是边 BC上（除 B，C 外）的任意一点 ”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；（2）小华提出：如图 3，点 E 是 BC 的延长线上（除 C 点外）的任意一点，其他条件不变，结论“ AE=EF”仍然成立你认为小华的观点正
4、确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由3、 （1）如图 1，在正方形 ABCD 中，M 是 BC 边（不含端点 B、 C）上任意一点，P 是 BC 延长线上一点，N 是DCP 的平分线上一点若AMN=90 ，求证：AM=MN下面给出一种证明的思路，你可以按这一思路证明，也可以选择另外的方法证明证明：在边 AB 上截取 AE=MC，连 ME正方形 ABCD 中，B= BCD=90，AB =BCNMC=180AMNAMB=180 BAMB= MAB=MAE （下面请你完成余下的证明过程）（2）若将（1）中的“正方形 ABCD”改为“正三角形 ABC”（如图 2） ，N 是ACP 的平
5、分线上一点，则当 AMN=60 时，结论 AM=MN 是否还成立？请说明理由（3）若将（1）中的“正方形 ABCD”改为“正 边形 ABCDX”，请你作出n猜想：当AMN = 时，结论 AM=MN 仍然成立 （直接写出答案，不需要证明）4、如图 1，在正方形 ABCD 中，E 是 AB 上一点，F 是 AD 延长线上一点，且DFBE（1）求证：CE CF ；（2）在图 1 中，若 G 在 AD 上，且GCE 45，则 GEBEGD 成立吗？为什么？（3）运用（1） （2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图 2，在直角梯形 ABCD 中，AD BC（BCAD） ， B90 ，ABBC12，
6、E 是 AB 上一点，且DCE 45， BE4，求 DE 的长5、如图，在正方形 ABCD 中，E、F 分别是 BC、CD 上的点，且EAF45 ，则有结论 EFBEFD 成立；（1）如图，在四边形 ABCD 中，ABAD，BD90，E、F 分别是BC、CD 上的点，且EAF 是BAD 的一半，那么结论 EFBEFD 是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（2）若将（1）中的条件改为：在四边形 ABCD 中，ABAD，B+ D180，延长 BC 到点 E，延长 CD 到点 F，使得EAF 仍然是BAD 的一半，则结论 EFBEFD 是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它
7、们之间的数量关系，并证明.6、已知正方形 ABCD，一等腰直角三角板的一个锐角顶点与 A 重合，将此三角板绕 A 点旋转时，两边分别交直线 BC、CD 于 M、N（1）当 M、N 分别在边 BC、CD 上时（如图 1） ，求证：BM DNMN；（2）当 M、N 分别在边 BC、CD 所在的直线上时（如图 2） ，线段BM、DN、MN 之间又有怎样的数量关系，请直接写出结论 ；(不用证明)（3）当 M、N 分别在边 BC、CD 所在的直线上时（如图 3） ，线段BM、DN、MN 之间又有怎样的数量关系，请写出结论并写出证明过程B CA G D FE 图 1 图 2B CA D E 图25 - 4
8、图25 - 3图25 - 2图25 -1APQQPQPABCDFM NABCEM NBC DEMNFDPQD AFNMEC B FBA DCEG图FBA DCEG图DFBACE图7、如图 251，正方形 ABCD 和正方形 QMNP， M =B，M 是正方形 ABCD的对称中心，MN 交 AB 于 F，QM 交 AD 于 E求证：ME = MF如图 252，若将原题中的“正方形”改为“菱形” ，其他条件不变，探索线段 ME 与线段 MF 的关系，并加以证明如图 253，若将原题中的“正方形”改为“矩形” ，且 AB = mBC，其他条件不变，探索线段 ME 与线段 MF 的关系，并说明理由根据
9、前面的探索和图 254，你能否将本题推广到一般的平行四边形情况？若能，写出推广命题；若不能，请说明理由8、已知正方形 ABCD 中， E 为对角线 BD 上一点，过 E 点作 EFBD 交 BC 于F，连接 DF，G 为 DF 中点，连接 EG，CG （1）求证：EG= CG；（2）将图中BEF 绕 B 点逆时针旋转 45，如图所示，取 DF 中点 G，连接EG，CG问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由 （3）将图中BEF 绕 B 点旋转任意角度，如图所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）9、如图 8
10、-1，已知 P 为正方形 ABCD 的对角线 AC 上一点(不与 A、C 重合)，PEBC 于点 E，PFCD 于点 F.(1) 求证：BP=DP；(2) 如图 8-2，若四边形 PECF 绕点 C 按逆时针方向旋转，在旋转过程中是否总有 BP=DP？若是，请给予证明；若不是，请用反例加以说明；(3) 试选取正方形 ABCD 的两个顶点，分别与四边形 PECF 的两个顶点连结，使得到的两条线段在四边形 PECF 绕点 C 按逆时针方向旋转的过程中长度始终NM B E CDFG图（1） 图（2）M B EACDFGN图 8-2图 8-1相等，并证明你的结论 .10、如图（1） ，已知正方形 AB
11、CD 在直线 MN 的上方，BC 在直线 MN 上，E 是BC 上一点，以 AE 为边在直线 MN 的上方作正方形 AEFG（1）连接 GD，求证：ADGABE ；（2）连接 FC，观察并猜测 FCN 的度数，并说明理由；（3）如图（2） ，将图（1）中正方形 ABCD 改为矩形ABCD，AB=a，BC= b（a 、b 为常数） ，E 是线段 BC 上一动点（不含端点B、C ） ，以 AE 为边在直线 MN 的上方作矩形 AEFG，使顶点 G 恰好落在射线CD 上判断当点 E 由 B 向 C 运动时，FCN 的大小是否总保持不变，若FCN 的大小不变，请用含 a、b 的代数式表示 tanFCN
12、 的值；若FCN 的大小发生改变，请举例说明11、已知, 正方形 ABCD 和正方形 CEFG .（1）如图，B、C、E 在同一条直线上，点 G在 CD上，猜想：BG 与 DE的数量关系为： ；BG 与 DE的位置关系是 .（2）如图，B、C、E 不在同一条直线上， （1）的结论还成立吗？并说明理由.（3）若将原题中的正方形改为矩形，如图 且 AB = a，BC = b，CE = ka，CG = kb (ab，k0) ，请你猜想：BG 与 DE 的数量关系，并证明 .H A DG F B C E12、如图 1，奖三角板放在正方形 ABCD 上，使三角板的直角顶点 E 与正方形ABCD 的顶点
13、A 重合，三角板的一边交 CD 于点 F，另一边交 CB 的延长线于点 G（1）求证：EF EG ；AB CDGEFAEFGBDC（2）如图 2，移动三角板，使顶点 E 始终在正方形 ABCD 的对角线 AC 上，其他条件不变 （1）中的结论是否仍然成立？若成立，情给予证明；若不成立，请说明理由；（3）如图 3，将（2）中的“ABCD ”改为“矩形 ABCD”，且使三角板的一边经过点 B，其他条件不变，若 ABa，BC b，求 的值EFEG13、正方形 ABCD 中，点 O 是对角线 AC 的中点，P 为对角线 AC 上一动点，过点 P 作 PFDC 于点 F，如图 1，当点 P 与点 O 重
14、合时，显然有 DF=CF（1）如图 2，若点 P 在线段 AO 上（不与 A、O 重合 0，PE PB 且 PE 交CD 点 E求证：DF= EF；写出线段 PC、PA、 CE 之间的一个等量关系式，并证明你的结论；（2）若点 P 在线段 CA 的延长线上，PEPB 且 PE 交直线 CD 于点 E请完成图 3 并判断（1）中的结论、是否成立？若不成立，写出相应的结论（所写结论均不必证明）14、数学课上，李老师出示了这样一道题目：如图 1，正方形 ABCD 的边长为 ，12P 为边 BC 延长线上的一点，E 为 DP 的中点，DP 的垂直平分线交边 DC 于M，交边 AB 的延长线于 N.当
15、CP6 时，EM 与 EN 的比值是多少？经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：过 E 作直线平行于 BC 交DC，AB 分别于 F，G，如图 2，则可得： ，因为 DEEP，所以DFFC DEEPDFFC.可求出 EF 和 EG 的值，进而可求得 EM 与 EN 的比值. (1) 请按照小明的思路写出求解过程.(2) 小东又对此题作了进一步探究，得出了 DPMN 的结论.你认为小东的这个结论正确吗？如果正确，请给予证明；如果不正确，请说明理由.15、已知正方形 ABCD 的边长为 a，两条对角线 AC、BD 相交于点 O，P 是射线AB 上任意一点，过 P 点分别做直线 AC、BD 的垂线
16、 PE、PF ，垂足为 E、F.（1）如图 1，当 P 点在线段 AB 上时，求 PE+PF 的值；图 1 图 2 图 3图 1 图 2ABCDHEFG图 2EBFGDHAC图 3 图 1ABCDHEFG图 1AB CDENQMOP（2）如图 2，当 P 点在线段 AB 的延长线上时，求 PEPF 的值.16、以四边形 ABCD 的边 AB、BC、CD、DA 为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为 E、F、G、H，顺次连结这四个点，得四边形 EFGH（1）如图 1，当四边形 ABCD 为正方形时，我们发现四边形 EFGH 是正方形如图 2，当四边形 ABCD 为矩形时，请判断：四边形
17、 EFGH 的形状（不要求证明） ；（2）如图 3，当四边形 ABCD 为一般平行四边形时，设 ADC = （0 90 ）， 试用含 的代数式表示HAE； 求证：HE= HG； 四边形 EFGH 是什么四边形？并说明理由 17、如图，四边形 ABCD 是正方形, 点 G 是 BC 上任意一点，DE AG 于点E，BFAG 于点 F. (1) 求证：DE BF = EF(2) 当点 G 为 BC 边中点时, 试探究线段 EF 与 GF 之间的数量关系， 并说明理由 (3) 若点 G 为 CB 延长线上一点，其余条件不变请你在图中画出图形，写出此时 DE、BF 、EF 之间的数量关系（不需要证明）
18、 18、在正方形 ABCD 中，点 E 是 AD 上一动点，MNAB 分别交 AB，CD 于 M，N，连结BE 交 MN 于点 O，过 O 作 OPBE 分别交 AB，CD 于 P，Q（1）如图 1，当点 E 在边 AD 上时，通过测量猜测 AE 与 MP+NQ 之间的数量关系，并证AB CDENQMOP图 2AB CDNHM图 3GEGAB CDNHM图 4GEG明你所猜测的结论；（2）如图 2，若点 E 在 DA 的延长线上时，AE ，MP，NQ 之间的数量关系又是怎样？请直接写出结论；（3）如图，连结 BN 并延长，交 AD 的延长线 DG 于 H，若点 E 分别在线段DH（如图 3）和射线 HG（如图 4）上时，请分别在图中画出符合题意的图形，并判 断 AE，MP，NQ 之间的数量关系又分别怎样？请直接写出结论
