1、1平行四边形 矩形菱形正方形解答题(含答案)1. （2011 浙江省舟山， 23， 10 分）以四边形 ABCD 的边 AB、BC、CD 、DA 为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为 E、F、G 、H ，顺次连结这四个点，得四边形 EFGH（1）如图 1，当四边形 ABCD 为正方形时，我们发现四边形 EFGH 是正方形；如图 2，当四边形 ABCD为矩形时，请判断：四边形 EFGH 的形状（不要求证明）；（2）如图 3，当四边形 ABCD 为一般平行四边形时，设ADC= （0 90 ）， 试用含 的代数式表示 HAE； 求证：HE=HG； 四边形 EFGH 是什么四边形？并说明理
2、由 2. （2011 安徽，23，14 分）如图，正方形 ABCD 的四个顶点分别在四条平行线 、 、 、 上，这1l23l4四条直线中相邻两条之间的距离依次为 、 、 （ 0， 0， 0）1h231h23h（1）求证： = ；1h3（2）设正方形 ABCD 的面积为 S，求证：S= ；211)(（3）若 ，当 变化时，说明正方形 ABCD 的面积 S211随 的变化情况h3. （2011 福建福州，21，12 分）已知,矩形 中, , , 的垂直平分线 分别ABCD4cm8BCcAEF交 、 于点 、 ,垂足为 .ADBCEFO(1)如图 10-1,连接 、 .求证四边形 为菱形,并求 的长
3、；AFEF(2)如图 10-2,动点 、 分别从 、 两点同时出发,沿 和 各边匀速运动一周.即点PQADE自 停止,点 自 停止.在运动过程中,P已知点 的速度为每秒 5 ,点 的速度为每秒 4 ,运动时间为 秒,当 、 、 、 四点为cmctACPQ顶点的四边形是平行四边形时,求 的值.t若点 、 的运动路程分别为 、 (单位: , ),已知 、 、 、 四点为顶点的四abm0ab边形是平行四边形,求 与 满足的数量关系式.ABCDEF图 10-1O图 10-2ABCDEFPQ备用图ABCDEFPQ4. （2011 广东广州市，18，9 分） 如图 4，AC 是菱形 ABCD 的对角线，点
4、 E、F 分别在边 AB、AD 上，且 AE=AF 求证：ACEACF2（第 5 题图）FE NM OCBA5. （2011 山东滨州，24，10 分）如图，在ABC 中，点 O 是 AC 边上（端点除外）的一个动点，过点O 作直线 MNBC.设 MN 交BCA 的平分线于点 E,交BCA 的外角平分线于点 F，连接 AE、AF。那么当点 O 运动到何下时，四边形 AECF 是矩形？并证明你的结论。6. （2011 山东济宁，22， 8 分）数学课上，李老师出示了这样一道题目：如图 ，正方形 的边长1ABCD为 ， 为边 延长线上的一点， 为 的中点， 的垂直平分线交边 于 ，交边12PBCD
5、PM的延长线于 .当 时， 与 的比值是多少？AN6MN经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：过 作直线平行于 交 ， 分别于 ， ，如EBCDFG图 ，则可得： ，因为 ，所以 .可求出 和 的值，进而可求得DFEPFEF与 的比值.(1) 请按照小明的思路写出求解过程.EM(2) 小东又对此题作了进一步探究，得出了 的结论.你认为小东的这个结论正确吗？如果DP正确，请给予证明；如果不正确，请说明理由.第 6 题图 7. （2011 山东威海，2 4，11 分）如图，ABCD 是一张矩形纸片，AD=BC=1,AB=CD=5在矩形 ABCD 的边 AB 上取一点 M，在 CD 上取一点 N，
6、将纸片沿 MN 折叠，使 MB 与 DN 交于点 K，得到MNK（1）若1=70，求MNK 的度数（2）MNK 的面积能否小于 ？若能，求出此时1 的度数；若不能，试说明理由2（3）如何 折叠能够使MNK 的面积最大？请你探究可能出现的情况，求出最大值8. （2011 山东烟台，24,10 分）已知：如图，在四边形 ABCD 中，ABC90，CDAD，AD 2CD 22AB 2AB CDEF图 4ABCDE3（1）求证：ABBC；（2）当 BEAD 于 E 时，试证明：BEAECD9. (2011 浙江湖州，22，8) 如图已知 E、F 分别是 ABCD 的边 BC、AD 上的点，且 BE=D
7、F(1) 求证：四边形 AECF 是平行四边形；(2) 若 BC10，BAC 90，且四边形 AECF 是菱形，求 BE 的长 ODAEB C第 9 题图 第 10 题图 第 11 题图10（2011 宁波市，23，8 分）如图，在 ABCD 中，E、F 分别为边 ABCD 的中点，BD 是对角线，过A 点作 AGDB 交 CB 的延长线于点 G（1）求证：DEBF ；（2）若G 90，求证四边形 DEBF 是菱形11. （2011 浙江衢州，22,10 分）如图， 中， 是边 上的中线，过点 作 ，过点ABCDBAEBC作 与 分别交于点 、点 ，连接D,EBACE、 OE求证：（1） ;（
8、2）当 时，求证：四边形 是菱形；Rt（3）在（2）的条件下，若 ，求 的值.AtanA12. （2011 浙江省嘉兴， 23，12 分）以四边形 ABCD 的边 AB、BC、CD 、DA 为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为 E、F、G 、H ，顺次连结这四个点，得四边形 EFGH（1）如图 1，当四边形 ABCD 为正方形时，我们发现四边形 EFGH 是正方形；如图 2，当四边形ABCD为矩形时，请判断：四边形 EFGH 的形状（不要求证明）；（2）如图 3，当四边形 ABCD 为一般平行四边形时，设ADC= （0 90 ）， 试用含 的代数式表示 HAE； 求证：HE=HG；
9、 四边形 EFGH 是什么四边形？并说明理由 ABCDHEFG（第 23 题图 2）EBFGDHAC（第 23 题图 3）（第 23 题图 1）ABCDHEFG13. （2011 福建泉州，21，9 分）如图，将矩形 ABCD 沿对角线 AC 剪开，再把ACD 沿 CA 方向平移得到A 1C1D14(1)证明：A 1AD1CC1B；(2)若ACB30，试问当点 C1 在线段 AC 上的什么位置时，四边形 ABC1D1 是菱形. （直接写出答案）AB CDEFO第 13 题图 第 14 题图14. （2011 甘肃兰州，27，12 分）已知：如图所示的一张矩形纸片 ABCD（ADAB），将纸片折
10、叠一次，使点 A 与点 C 重合，再展开，折痕 EF 交 AD 边于点 E，交 BC 边于点 F，分别连结 AF 和 CE。（1）求证：四边形 AFCE 是菱形；（2）若 AE=10cm，ABF 的面积为 24cm2，求ABF 的周长；（3）在线段 AC 上是否存在一点 P，使得 2AE2=ACAP？若存在，请说明点 P 的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由。15. （2011 广东株洲，23，8 分）如图，矩形 ABCD 中，点 P 是线段 AD 上一动点，O 为 BD 的中点， PO 的延长线交 BC 于 Q.（1）求证： OP=OQ；（2）若 AD=8 厘米，AB=6 厘米，P 从点
11、 A 出发，以 1 厘米/秒的速度向 D 运动（不与 D 重合）.设点 P运动时间为 t 秒，请用 t 表示 PD 的长；并求 t 为何值时，四边形 PBQD 是菱形16. （ 2011 江苏苏州，28,9 分）（本题满分 9 分）如图 ，小慧同学吧一个正三角形纸片（即OAB）放在直线 l1 上，OA 边与直线 l1 重合，然后将三角形纸片绕着顶点 A 按顺时针方向旋转 120，此时点 O运动到了点 O1 处，点 B 运动到了点 B1 处；小慧又将三角形纸片 AO1B1 绕 B1 点按顺时针方向旋转 120，点 A 运动到了点 A1 处，点 O1 运动到了点 O2 处（即顶点 O 经过上述两次
12、旋转到达 O2 处）.小慧还发现：三角形纸片在上述两次旋转过程中，顶点 O 运动所形成的图形是两段圆弧，即弧 OO1和弧 O1O2，顶点 O 所经过的路程是这两段圆弧的长度之和，并且这两端圆弧与直线 l1 围成的图形面积等于扇形 AOO1 的面积、AO 1B1 的面积和扇形 B1O1O2 的面积之和.小慧进行类比研究：如图，她把边长为 1 的正方形纸片 OABC 放在直线 l2 上，OA 边与直线 l2 重合，然后将正方形纸片绕着顶点 A 按顺时针方向旋转 90，此时点 O 运动到了点 O1 处（即点 B 处），点 C 运动到了点 C1 处，点 B 运动到了点 B1 处；小慧又将正方形纸片 A
13、O1C1B1 绕 B1 点按顺时针方向旋转90，按上述方法经过若干次旋转后，她提出了如下问题：问题：若正方形纸片 OABC 按上述方法经过 3 次旋转，求顶点 O 经过的路程，并求顶点 O 在此运动过程中所形成的图形与直线 l2 围成图形的面积；若正方形 OABC 按上述方法经过 5 次旋转，求顶点 O经过的路程；问题：正方形纸片 OABC 按上述方法经过多少次旋转，顶点 O 经过的路程是 ？20415请你解答上述两个问题.17. （2011 江苏泰州， 24，10 分）如图，四边形 ABCD 是矩形，直线 L 垂直平分线段 AC，垂足为 O，直线 L 分别与线段 AD、CB 的延长线交于点
14、E、F（1）ABC 与FOA 相似吗？为什么？（2）试判定四边形 AFCE 的形状，并说明理由 lOAF ECBDyOPDCxBA第 17 题图 第 18 题图18. （ 2011 江苏泰州， 28， 12 分）在平面直角坐标系 xoy 中，边长为 a（a 为大于 0 的常数）的正方形ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 P，顶点 A 在 x 轴正半轴上运动，顶点 B 在 y 轴正半轴上运动（x 轴的正半轴、y 轴的正半轴都不包含原点 O），顶点 C、D 都在第一象限（1）当BAO=45时，求点 P 的坐标;(2)求证：无论点 A 在 x 轴正半轴上、点 B 在 y 轴正半轴上怎样运动，点
15、 P 都在AOB 的平分线上；（3）设点 P 到 x 轴的距离为 h，试确定 h 的取值范围，并说明理由19. （2011 山东济宁，17， 5 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC、 BD 相交于点 O，过点 O作直线 EFBD，分别交 AD、 BC 于点 E 和点 F，求证：四边形 BEDF 是菱形 OFE DCBA20（2011 山东聊城，25，12 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB12cm，BC8cm，点 E、F、G 分别从点 A、B 、C 三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动，点 E、G 的速度均为 2cm/s，点 F 的速度为 4cm/s，当点 F 追上点 G
16、（即点 F 与点 G 重合）时，三个点随之停止移动设移动开始后第 t 秒6时，EFG 的面积为 S（cm2）（1）当 t1 秒时，S 的值是多少？（2）写出 S 和 t 之间的函数解析式，并指出自变量 t 的取值范围（3）若点 F 在矩形的边 BC 上移动，当 t 为何值时，以点 E、B、F 为顶点的三角形与以 F、C 、G 为顶点的三角形相似？请说明理由第 20 题图 第 21 题图21. （2011 山东潍坊，18，8 分）已知正方形 ABCD 的边长为 a，两条对角线 AC、BD 相交于点 O，P 是射线 AB 上任意一点，过 P 点分别做直线 AC、BD 的垂线 PE、PF，垂足为 E
17、、F.（1）如图 1，当 P 点在线段 AB 上时，求 PE+PF 的值；（2）如图 2，当 P 点在线段 AB 的延长线上时，求 PEPF 的值. 22. （2011 四川广安，23，8 分）如图 5 所示，在菱形 ABCD 中，ABC= 60，DEAC 交 BC 的延长线于点 E求证：DE= BEEDCBA23. (2011 江苏南京，21，7 分 )如图，将ABCD 的边 DC 延长到点 E，使 CE=DC，连接 AE，交 BC 于点F求证：ABFECF若AFC=2D，连接 AC、BE求证：四边形 ABEC 是矩形AB CDEF24. （2011 江苏南通，26，10 分）（本体满分 1
18、0 分）已知：如图 1，O 为正方形 ABCD 的中心，分别延长 OA 到点 F，OD 到点 E，使7OF2OA，OE2OD，连结 EF，将FOE 绕点 O 逆时针旋转 角得到 （如图 2）.FOE（1） 探究 AE与 BF的数量关系，并给予证明；（2） 当 30时，求证：AOE为直角三角形.第 24 题图 底 5 题图25. （ 2011 山东临沂， 22， 7 分）如图，ABC 中，AB AC ，AD、CD 分别是ABC 两个外角的平分线在直角梯形 ABCD 中，ABCD，ABC90，2CD，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，线段OA，OB 的中点分别为点 E， F（1）求证：ACAD
19、；（2）若B60，求证：四边形 ABCD 是菱形； 26. （2011 山东临沂，25，11 分)如图 1，奖三角板放在正方形 ABCD 上，使三角板的直角顶点 E 与正方形 ABCD 的顶点 A 重合，三角板的一边交 CD 于点 F，另一边交 CB 的延长线于点 G（1）求证：EFEG；（2）如图 2，移动三角板，使顶点 E 始终在正方形 ABCD 的对角线 AC 上，其他条件不变（1）中的结论是否仍然成立？若成立，情给予证明；若不成立，请说明理由；（3）如图 3，将（2）中的“正方形 ABCD”改为“矩形 ABCD”，且使三角板的一边经过点 B，其他条件不变，若 ABa,BCb，求 的值来
20、源:学科网 ZXXKGF图 1 图 2 图 327. （2011 上海， 23，12 分）如图，在梯形 ABCD 中，AD/ BC，AB DC ，过点 D 作 DEBC，垂足为E，并延长 DE 至 F，使 EFDE联结 BF、CF 、AC （1）求证：四边形 ABFC 是 平行四边形；（2）如果 DE2BECE，求证四边形 ABFC 是矩形ABDFCE28. （2011 四川乐山 20，10 分）如图，E、F 分别是矩形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 上的点，且AE=DF。求证：BE=CF8第 28 题图 第 29 题图 第 30 题图29. （2011 湖南衡阳，26， 10 分）如图
21、，在矩形 ABCD 中，AD =4，AB=m(m4) ，点 P 是 AB 边上的任意一点（不与 A、B 重合），连结 PD，过点 P 作 PQPD，交直线 BC 于点 Q(1)当 m=10 时，是否存在点 P 使得点 Q 与点 C 重合？若存在，求出此时 AP 的长；若不存在说明理由；(2)连结 AC，若 PQAC,求线段 BQ 的长（用含 m 的代数式表示）(3)若PQD 为等腰三角形，求以 P、Q、C、D 为顶点的四边形的面积 S 与 m 之间的函数关系式，并写出 m 的取值范围30. （2011 贵州贵阳，18，10 分）如图，点 E 是正方形 ABCD 内一点，CDE 是等边三角形，连
22、接 EB、EA，延长 BE 交边 AD 于点F（1）求证：ADEBCE；（5 分）（2）求AFB 的度数（5 分）31. （2011 广东肇庆，20，7 分）如图，在正方形 ABCD 中，E 为对角线 AC 上一点，连接 EB、ED（1）求证：BECDEC；（2）延长 BE 交 AD 于点 F，若DEB 140，求AFE 的度数 ABCDEFAB CDEO第 310 题图 第 32 题图 第 33 题图32. （2011 广东肇庆，22，8 分）如图，矩形 ABCD 的对角线相交于点 O，DE AC ，CEBD（1）求证：四边形 OCED 是菱形；（2）若ACB30，菱形 OCED 的面积为
23、，求 AC 的长3833. （2011 湖北襄阳，25，10 分)如图 9，点 P 是正方形 ABCD 边 AB 上一点（不与点 A，B 重合），连接 PD 并将线段 PD 绕点 P 顺时针方向旋转 90得到线段 PE，PE 交边 BC 于点 F，连接 BE，DF .（1）求证：ADPEPB；（2）求CBE 的度数；（3）当 的值等于多少时，PFDBFP？并说明理由. AB934. （2011 湖南永州，25，10 分）探究问题：方法感悟：如图，在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别为 DC，BC 边上的点，且满足 EAF=45，连接EF，求证 DE+BF=EF感悟解题方法，并完成下列填空：
24、将ADE 绕点 A 顺时针旋转 90得到ABG ，此时 AB 与 AD 重合，由旋转可得：AB=AD,BG=DE, 1=2，ABG= D=90,ABG+ABF=90+90=180，因此，点 G，B，F 在同一条直线上 EAF=45 2+3=BAD-EAF=90-45=451=2， 1+3=45即GAF=_又 AG=AE，AF=AFGAF_=EF，故 DE+BF=EF 321GEFDCBA（第 25 题）EFDCBA（第 25 题）EFDCBA（第 25 题）方法迁移：如图，将 沿斜边翻折得到ADC，点 E，F 分别为 DC，BC 边上的点，且 EAF=ARtDAB试猜想 DE，BF ，EF 之
25、间有何数量关系，并证明你的猜想21问题拓展：如图，在四边形 ABCD 中，AB=AD ，E，F 分别为 DC,BC 上的点，满足,试猜想当B 与D 满足什么关系时，可使得 DE+BF=EF请直接写出你的猜想（不必DAEF说明理由）35. （2011 江苏盐城，27 ，12 分）情境观察：将矩形 ABCD 纸片沿对角线 AC 剪开，得到 ABC 和ACD，如图 1 所示.将ACD 的顶点 A与点 A 重合，并绕点 A 按逆时针方向旋转，使点 D、A(A)、B 在同一条直线上，如图 2 所示观察图 2 可知：与 BC 相等的线段是 ，CAC = 图 1 图 2CABAD CA BCDBCD A(A
26、)C问题探究：如 图 3， ABC 中 ， AGBC 于 点 G， 以 A 为 直 角 顶 点 ， 分 别 以 AB、 AC 为 直 角 边 ， 向ABC外作等腰 RtABE 和等腰 RtACF，过点 E、F 作射线 GA 的垂线，垂足分别为 P、 Q. 试探究 EP 与 FQ之间的数量关系，并证明你的结论.10图 3AB CE FGPQ拓展延伸如图 4，ABC 中，AGBC 于点 G，分别以 AB、AC 为一边向ABC 外作矩形 ABME 和矩形ACNF，射线 GA 交 EF 于点 H. 若 AB= k AE，AC= k AF，试探究 HE 与 HF 之间的数量关系，并说明理由.第 35 题
27、 （图 4） 第 36 题 36. (20011 江苏镇江,23,7 分)已知: 如图,在梯形 ABCD 中 ABCD,BC=CD,ADBD,E 为 AB 中点,求证:四边形 BCDE 是菱形.37. (20011 江苏镇江,25,6 分)已知:如图 1,图形满足:AD=AB,MD=MB, A=72, M=144.图形与图形恰好拼成一个菱形(如图 2).记作 AB 的长度为 a,BM 的长度为 b. (1)图中中B=_度,图中中E=_度.来源:学.科 .网(2)小明有两种纸片各若干张,其中一种纸片的形状及大小与图形相同,这咱纸片称为“风筝一号”另一种纸片的形状及大小与图形相同,这种纸片称为“飞
28、镖一号”.小明仅有“,风筝一号”纸片拼成一个边长为 b 的正十边形,需要这种纸片_张;小明用若干张“风筝一号”和 “飞镖一号”纸片拼成一个“大风筝”(如图 3),其中P=72, Q=144,PI=PJ=a+b,IQ=JQ.庄股你在图穷匕见中画出拼接线并保留画图痕迹.(本题中均为无重叠、无缝隙拼接)38. （2011 贵州安顺，25，10 分）如图，在ABC 中， ACB=90，BC 的垂直平分线 DE 交 BC 于D，交 AB 于 E，F 在 DE 上，且 AF=CE=AE说明四边形ACEF是平行四边形；当B满足什么条件时，四边形ACEF是菱形，并说明理由11第 38 题图39. （2011
29、河北，23，9 分）如图 12，四边形 ABCD 是正方形，点 E,K 分别在 BC,AB 上，点 G 在 BA的延长线上，且 CE=BK=AG.(1)求证：DE=EG;DEEG；（2）尺规作图：以线段 DE， DG 为边作出正方形 DEFG（要求：只保留作图痕迹，不写作法和证明）；（3）连接（2）中的 KF，猜想并写出四边形 CEFK 是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想；（4）当 时，请直接写出 的值.n1CBEDEFGABCS正 方 形正 方 形图12B CA DGEK40. （2011 湖南湘潭市，24，8 分）（本题满分 8 分）两个全等的直角三角形重叠放在直线 上，如图，AB=6cm
30、，BC=8cm，lABC=90，将 RtABC 在直线 上左右平移，如图所示.l 求证：四边形 ACFD 是平行四边形; 怎样移动 RtABC，使得四边形 ACFD 为菱形; 将 RtABC 向左平移 ，求四边形 DHCF 的面积.cm4l图(1)A(D)B(E) C(F)D l图(2)FE CBAH1241. （ 2011 湖北荆州，19，7 分）（本题满分 7 分）如图，P 是矩形 ABCD 下方一点，将PCD 绕 P 点顺时针旋转 60后恰好 D点与 A 点重合，得到PEA，连接 EB，问ABE 是什么特殊三角形？请说明理由. DC BAPE矩形、 菱形与正方形解答题1. 【答案】（1）
31、四边形 EFGH 是正方形 (2) HAE=90a 在ABCD 中，AB CD，BAD=180ADC= 180a；HAD 和EAB 都是等腰直角三角形，HAD=EAB=45 ，HAE=360HAD EAB BAD 36045 45（180a）90a AEB 和DGC 都是等腰直角三角形， AE= AB，DG= CD，22在ABCD 中，AB=CD， AE=DG，HAD 和GDC 都是等腰直角三角形，DHA=CDG= 45，HDG= HADADC CDG 90a HAEHAD 是等腰直角三角形，HA=HD，HAEHDG，HE=HG 来源:学科网 ZXXK四边形 EFGH 是正方形由同理可得：GH
32、=GF，FG=FE，HE=HG（已证）， GH=GF=FG=FE， 四边形 EFGH 是菱形；HAEHDG（已证），DHG=AHE，又 AHD=AHGDHG=90 ， EHG=AHG AHE 90，四边形 EFGH 是正方形2. 【答案】（1）过 A 点作 AFl 3分别交 l2、l 3于点 E、F，过 C 点作 CGl 3交 l3于点 G，l 2l 3，2 =3 ，1+ 2=90，4+3=90，1=4，又BEA=DGC=90, BA=DC，BEADGC，AE=CG，即 = ；1h3（2）FAD+3=90，4+3=90，FAD =4，又AFD=DGC=90, AD=DC，AFDDGC ， DF
33、 =CG，AD 2=AF2+FD2，S= ；211)(h(3)由题意，得 ， 所以123h又 ，解得 0h 12310h32当 0h 1 时，S 随 h1 的增大而减小； 当 h1= 时，S 取得最小值 ；当 h 1 时，S 随 h1525254的增大而增大.3. 【答案】(1)证明: 四边形 是矩形 ,ABCDABCADCBAEF 垂直平分 ,垂足为 四边形 为平行四边形EFOOEFO又 四边形 为菱形ACFE13设菱形的边长 ,则 在 中,AFCxcm(8)BFxcmRtABF4cm由勾股定理得 ,解得 224(8)5(2)显然当 点在 上时, 点在 上,此时 、 、 、 四点不可能构成平
34、行四边形;同理 点PQDCPQP在 上时, 点在 或 上,也不能构成平行四边形. 因此只有当 点在 上、 点在 上时,ABDE BFQED才能构成平行四边形以 、 、 、 四点为顶点的四边形是平行四边形时,APPCA点 的速度为每秒 5 ,点 的速度为每秒 4 ,运动时间为 秒 ,cmcmt5t124t ,解得 以 、 、 、 四点为顶点的四边形是平行四边形时, 秒.5124tt3tC 3由题意得,以 、 、 、 四点为顶点的四边形是平行四边形时,点 、 在互相平行的对应边上.APQPQ分三种情况:i)如图 1,当 点在 上、 点在 上时, ,即 ,得AFEAC12ab12aii)如图 2,当
35、 点在 上、 点在 上时, , 即 ,得BDQP12biii)如图 3,当 点在 上、 点在 上时, ,即 ,得C综上所述, 与 满足的数量关系式是ab12ab(0)4. 【答案】四边形 ABCD 为菱形BAC= DAC 又 AE=AF ，AC=AC ACEACF（SAS）5. 【答案】当点 O 运动到 AC 的中点（或 OA=OC）时，四边形 AECF 是矩形证明：CE 平分BCA,1=2，又MNBC, 1=3，3=2，EO=CO.同理，FO=CO6 分EO=FO 又 OA=OC, 四边形 AECF 是平行四边形又1=2，4=5，1+5=2+4.又1+5+2+4=1802+4=90分四边形
36、AECF 是矩形6. （1）解：过 作直线平行于 交 ， 分别于点 ， ， EBCDAFG则 ， ， . ， . ，DFCPMFNG12EPDC1632EFP. . 1235G35（2）证明：作 交 于点 ， HBAH则 ， . ，901809DC . ， ，DCPNNMECDP90CDP . . .MPP7. AMDN ，KNM=1 KMN =1，KNM=KMN1=70，KNM= KMN =70MNK=40（2）不能过 M 点作 MEDN，垂足为点 E，则 ME=AD=1,由（1）知KNM=KMNMK=NK又 MKME,NK1 MNK 的面积最12MNKSE小值为 ，不可能小于 1212AB
37、CEFPQ ABCDEFPQABDEFPQCABCEFP图 1 图 2 图 314（3）分两种情况：情况一：将矩形纸片对折，使点 B 与点 D 重合，此时点 K 也与点 D 重合设 MK=MD=x，则 AM=5-x，由勾股定理，得 ,221(5)x解得， 即 2.6.6MDN （情况一）123MNKACS情况二：将矩形纸片沿对角线 AC 对折，此时折痕为 AC设 MK=AK= CK=x，则 DK=5-x，同理可得即 2.612.63MNKACSMNK 的面积最大值为 1.3 （情况二）8.（1）证明：连接 AC， ABC90，AB 2BC 2 AC2.CDAD，AD 2CD 2AC 2.AD
38、2CD 22AB 2，AB 2BC 22AB 2，ABBC.（2）证明：过 C 作 CFBE 于 F.BEAD，四边形 CDEF 是矩形.CDEF.ABEBAE90，ABE CBF90 ，BAE CBF ，BAE CBF.AEBF.BEBF EF AECD.9.【答案】（1）证明：四边形 ABCD 是平行四边形，ADBC，且AD=BC，AFEC，BE=DF，AF=EC，四边形 AECF 是平行四边形.（2）四边形 AECF 是，AE CE，12，BAC90，3902，4901，34，AE BE，BE AE CE BC5.1210 解：（1） ABCD 中，A BCD，ABCDE、F 分别为 A
39、B、CD 的中点DF DC，BE AB DFBE，DFBE12 12四边形 DEBF 为平行四边形DEBF(2)证明：AGBDGDBC90 DBC 为直角三角形又F 为边 CD 的中点BF DCDF 又四边形 DEBF 为平行四边形四边形 DEBF 是菱形1211.证明：（1）解法 1DE AB，AE BC， 四边形 ABDE 是平行四边形，AE BD，且 AE=BD 又AD 是 BC 边上的中线， BD=CD AECD，且 AE=CD四边形 ADCE 是平行四边形 AD=CE解法 2 证明：DEAB， AEBC 四边形 ABDE 是平行四边形， B=EDC AB=DE又AD 是 BC 边上的
40、中线BD=CDABDEDC(SAS) AD=EC(2)解法 1BAC=Rt ，AD 上斜边 BC 上的中线， AD=BD=CD 又四边形 ADCE 是平行四边形四边形 ADCE 是菱形解法 2DEAB，BAC=Rt，DEAC 又四边形 ADCE 是平行四边形四边形 ADCE 是菱形解法 3BAC=Rt，AD 是斜边 BC 上的中线，AD=BD=CD 又AD=EC AD=CD=CE=AE 四边形 ADCE 是菱形(3)解法 1四边形 ADCE 是菱形 AO=CO ，ADO=90,又BD=CDOD 是ABC 的中位线，15则 AB=AO 在 RtAOD 中，AB21ODAO21D 21OADtan
41、解法 2四边形 ADCE 是菱形 AO=CO= ，AD=CD ，AOD=90，AB=AOAB=CAC在 RtABC 中， AD=CD， DAC=DCA21Btan ACODtan13. 【答案】矩形 ABCD BC=AD,BCADDAC=ACB把 ACD 沿 CA 方向平移得到 A1C1D1A 1=DAC,A1D 1=AD,AA1=CC1A1=ACB， A1D1=CB。A 1AD1CC1B（ SAS）。 当 C1 在 AC 中点时四边形 ABC1D1 是菱形，第 9 题图 第 13 题图 第 14 题图14. 【答案】（1）由折叠可知 EFAC，AO=CO AD BCEAO=FCO，AEO=C
42、FOAOE COFEO=FO 四边形 AFCE 是菱形。（2）由（1）得 AF=AE=10 设 AB=a，BF=b，得 a2+b2=100 ，ab=48 +2得 (a+b)2=196，得 a+b=14（另一负值舍去）ABF 的周长为 24cm（3）存在，过点 E 作 AD 的垂线交 AC 于点 P，则点 P 符合题意。证明：AEP= AOE=90，EAP=OAEAOEAEP ，得 AE2=AOAP 即 2AE2=2AOAP 又 AC=2AO2AE 2=ACAPAOP15. 【答案】（1）证明： 四边形 ABCD 是矩形，ADBC， PDO= QBO，又 OB=OD，POD=QOB， PODQO
43、B OP=OQ。 （2）解法一： PD=8-t 四边形 ABCD 是矩形，A=90，AD=8cm，AB=6cm，BD=10cm，OD=5cm. 当四边形 PBQD 是菱形时， PQBD，POD=A ，又 ODP=ADB ，ODPADB， ，即 ，解得 ,即运动时间为 秒时，四边形 PBQD 是菱ODPB5810t74t74形. 解法二：PD=8-t 当四边形 PBQD 是菱形时，PB=PD=(8-t)cm， 四边形 ABCD 是矩形，A=90，在 RTABP 中， AB=6cm， ， ， 解得 ,即运动时间为 秒时，四边形 PBQD 是菱形. 22APB226(8)tt74t7416. 【答案
44、】 解问题：如图，正方形纸片 OABC 经过 3 次旋转，顶点 O 运动所形成的图形是三段弧，即弧 OO1、弧 O1O2 以及 弧 O2O3，顶点 O 运动过程中经过的路程为16.)21(80921809顶点 O 在此运动过程中所形成的图形与直线 l2 围成图形的面积为=1+.1360)2(9360192 正方形 OABC 经过 5 次旋转，顶点 O 经过的路程为 .)23(18093809问题：方形 OABC 经过 4 次旋转，顶点 O 经过的路程为 =20 + .)21(80921809 21)2(正方形纸片 OABC 经过了 81 次旋转.17. 【答案】(1)相似.由直线 L 垂直平分
45、线段 AC，所以 AF=FC，FAC= ACF，又ABC=AOF=90，ABCFOA（2）四边形 AFCE 是菱形。理由：AE CF ，EAO=FCO，又AOCO，AOE=COF，AOECOF，AE=CF ，又 AECF ，四边形 AFCE 为平行四边形，又 AF=FC，所以平行四边形 AFCE 为菱形18. 【答案】解：（1）当BAO=45时，PAO=90，在 Rt AOB 中，OA AB ，在2aRt APB 中，PA AB 。点 P 的坐标为（ ， ）2aa2（2）过点 P 分别作 x 轴、y 轴的垂线垂足分别为 M、N ，则有PMA=PNB=NPM=BPA=90，MPA =NPB ，又 PAPB， PAM PBN，PM=PN，于是，点 P 都在AOB 的平分线上；（3）
