1、 常州庠序教育个性化培训中心高一函数单调性基础知识总结一、单调函数的定义设函数 的定义域为 I,如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量当 时，都有 ，那么就说函数 在区间 D 上是增函数，I 称为的单调增区间xfy当 时，都有 ，那么就说函数 在区间 D 上是减函数，I 称为的单调减区间xfy如果函数 在区间 I 上是单调增函数或是单调减函数，那么就说函数xfy在区间 I 上具有单调性。单调增区间和单调减区间统称为单调区间。xfy对函数单调性德理解应把握以下几个方面：（1） 函数的单调性是函数在某个区间上的整体性质 这个区间可以是整个定义域如：y=2x 在整个定义域，上是单调增
2、函数2x 在整个定义域，上是单调减函数。 这个区间也可以是定义域的真子集如：y 在定义域，上不具有单调性，但 ，0上市单调12x减函数，在0，上是单调增函数。（2） 并不是所有的函数都具有单调性，有的函数不具有单调性如：y=2 是常数函数且定义域为 R，函数值不随 x 的变化而变化，因此不具有单调性。（3） 区间端点的写法对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，没有增减变化，所以不存在单调性问题，因此在写单调区间时，包括端点可以，不包括端点也可以，但对于某些无意义时单调区间就不包括这些点（4） 函数单调性定义中的 必须满足任意性，不可以随便选两个特殊值x21（5） 单调性的讨论必须在一
3、个区间上如： 当 ，0时， 是单调减函数，当 0，,1xfx时， 也是单调减函数。担当 ，00，时， 就不具有x单调性。常州庠序教育个性化培训中心（6） 注意一些与单调性的定义类似的结论：若 是 定义域的任意两值，x21xfy且 ，则 在其定义域内位单调增函数；若02121xxff，则 在其定义域内为单调减函数（7） 函数单调性的几何意义：单调增函数：在定义区间上图像从左到右上升单调减函数：在定义区间上图像从左到右下降二、判定函数单调性的常用方法（1） 定义法：若要证明 在a，b上是单调递增的，就必须证明对于区间a，b上任意的，两个自变量的值，当 时都有 成立。x21若要证明 在a，b上不是单
4、调递增的，只需举出一个反例就足够了，即只要找到两个特殊的 ，满足 a b，而 即可xf1f2用定义证明函数单调性的一般步骤：取值：即设 是该区间内的任意两个值，且 .作差：即 ，并通过通分、配方、因式分解等方法，向有利于判断差的符号的方向变形。定号：根据给定的区间和 符号，确定差 的符号。判断：根据定义得出结论。（2）运算性质法函数 与 a ，当 a0 时有相同的单调性。当 a0 时有相反的单调性当函数 恒为正或恒为负时， 与 具有相反的单调性xf1若 0，则 与 具有相同的单调性xf如 、 的单调性相同，则 + 的单调性与 、 的单调性xgxgxg相同如 、 的单调性相同反，则 的单调性与
5、的单调性相同常州庠序教育个性化培训中心（3）图像法：根据函数的图像判断函数在某区间上的单调性（4）复合函数的单调性的判断： 定 义 ：设 y=f(u),u=g(x),当 x 在 u=g(x)的 定 义 域 中 变 化 时 ， u=g(x)的 值 在 y=f(u)的 定义 域 内 变 化 ， 因 此 变 量 x 与 y 之 间 通 过 变 量 u 形 成 的 一 种 函 数 关 系 ， 记 为 y=f(u)=fg(x)称 为 复 合 函 数 ， 其 中 x 称 为 自 变 量 ， u 为 中 间 变 量 ， y 为 因 变 量 (即 函 数 )复合函数 fg(x)的单调性与构成它的函数 u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律如下： 函数 单调性增 增 减 减()ugx增 减 增 减yf增 减 减 增()x这种规律简称为“同增异减”
