1、八年级 下册 数学 课堂笔记1（八年级 下册）海盗 作飞虎影视工作室八年级 下册 数学 课堂笔记2如何学好初中数学数学从古至今在人们的生产生活中占据了非常重要的地位，随着时代的发展和人们需求的增加，所以我们更要学好数学！一、学习数学的几个方面：1.课前：预习，画出自己不理解的地方2.上课时：认真听讲，并做到“四到” （即心到,上课时将自己在预习的难点作重点听并对有写内容作记忆；口到，上课时紧跟着老师的步伐有时候要跟着老师后面说以加深印象；眼到，上课时眼睛要紧跟着老师的步伐，看着老师在黑板上的板书；手到，上课时要能动手主动在草稿纸上写写画画，做好课堂笔记。 ）3.课后：复习时必不可少的一个环节，
2、在每门功课上每天不需要花太多的时间来将一天中的知识点做个回顾（可以是在你将睡觉前的时候花一点时间回顾一下）4.作业：每当我们学习了一个知识点的时候，我们要做的是采用做题这种最原始也是最有效的方法来巩固我们的知识（在作业时要独立思考切记不可抄袭） 。在作业中我们会发现一些问题，这时就是我们来查漏补缺的最佳时间，当我们发现了问题我们就得学着去独立地解决问题。2、怎样才能算是掌握了知识点1.学会理解：数学属于理科，对于理科我们更多的是采用八年级 下册 数学 课堂笔记3理解解决问题的方法，要能做到触类旁通、举一反三。2.思维的建立：数学是由若干个小的知识点聚合成的，我们一定要培养按照由 “点线面 ”的
3、思维将整个初中数学的各个知识点串联起来，并在脑海中形成一个整体的框架。3、 解决问题时的思维方式的转变面对任何问题无非于这几个步骤:1.审题：理清题意，明确题目中要你解决的问题2.选择解题的途径3.反思为什么选择这个方法4.列式，求解5.检验6.作答紫色郁金香 写于 2012.2.22八年级 下册 数学 课堂笔记4第 16 章 分式16.1 分式16.1.1 从分数到分式（1）我们知道， 可以写成， 所以我们也可以将 写成 ，所5656BA以我们可以得到分式的一般概念：一般的，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么代数式就叫做分式。其中A 叫做分式的分子，B叫做分式的分母。【例 1】
4、填空：（1）当 x 时，分式 有意义。 （2）当 x 时，分式 有意义。（3）当 b_时，分式 有意义。（4）当 x、y 满足关系 时，分式 有意义。解：（1）当分母 3x 0 时，x 0 时，分式 有意义。（2）当分母 x-1 0 时，x 1 时，分式 有意义。（3)当分母 5-3b 0 时，b 时，分式 有意义。(4)当分母 x-y 0 时，x y 时，分式 有意义。（2）分式有意义、无意义、等于零、大于零、小于零的条件：分是有意义的条件：分母不等于零分式无意义的条件：分母等于零分数的值等于零的条件：分子等于零且分母不等于零分式的值为正的条件：分子、分母 同号分式的值为负的条件：分子、分母
5、 异号八年级 下册 数学 课堂笔记5题型一：考查分式的定义【例 1】下列代数式中： ，是分式的有： .yxbayx1,21, 2题型二：考查分式有意义的条件【例 2】当 有何值时，下列分式有意义x（1） （2） （3） （4） （5）42x12x3|6xx1题型三：考查分式的值为 0 的条件【例 3】当 取何值时，下列分式的值为 0. x（1） （2） （3）4|x6532x题型四：考查分式的值为正、负的条件【例 4】 （1）当 为何值时，分式 为正；xx8（2）当 为何值时，分式 为负；2)1(35（3）当 为何值时，分式 为非负数.xx（3）有理式的定义 整式整式和分式统称为有理式,即有理
6、式16.1.2分式的基本性质 分式（1）分式的基本性质分式的分母和分子都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。用式子表示为 = , = (其中M是不等于零的整式）BA*BA（注：1.基本性质中的A B M 表示的是整式，其中B不等于0是已知条件中的隐含条件，一般在解题的时候不需要强调，M不等于0 是在解题过程中的附加条件，在运用分式的基本性质时必须强调M不等于0. 2.八年级 下册 数学 课堂笔记6应用分式的基本性质时，要深刻理解“都”和“同”两个字的含义，避免犯只乘分母一项的错误。）题型一：化分数系数、小数系数为整数系数【例 1】不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数.（1）
7、（2）yx432 ba04.3题型二：分数的系数变号【例 2】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号.（1） （2） （3）yxbaba题型三：化简求值题【例 3】已知： ，求 的值.51yxyx23提示：整体代入， ，转化出 .1【例 4】已知： ，求 的值.21x21x【例 5】若 ，求 的值.0)3(|yy4（2）分式的约分分式的约分根据分式的基本性质，把一个分式的分子和分母分别除以它们的公因式，叫做分式的约分。（约分的关键是确立分子和分母的公因式。）确立分子和分母公因式的方法：a、如果分子分母都是单项式，取他们系数的最大公约数于相同字母的最低次幂的积就是他们的公因式
8、;b、如果分子分母是多项式，要先把多项式分解因式，再找公因式。八年级 下册 数学 课堂笔记7最简分式：分式和分母没有公因式的分式。【例】把下列各式约分：(3) x52.1634.2adbac324(4) (5) ； (6) )(2512baba2 24x（3）分式的通分分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式化成同分母的分式，叫做式子的通分。（通分的关键是确定几个分式的最简公分母。）最简公分母的确定方法：a、最简公分母的系数，取各个分母系数的最小公倍数：b、最简公分母的字母因式，取各个分母所有字母因式的最高次幂的积：c、如果分母是多项式，则首先将多项式分解因式。【例 1】 、 、 (
9、)xy2abxyx【例 2】 、把分式 中的分子，分母的 同时缩小 3 倍，那么分式的值是（ )0(2ab）A、扩大 3 倍 B、缩小 3 倍 C、改变 D、不改变练习八年级 下册 数学 课堂笔记8（1） （2）2ab 32xy（3） （4）2xyx 22xxy16.2分式的运算16.2.1 分式的加减同分母分式的加减运算法则同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。即：。bcacba（注：“把分子相加减”是把各个分式的“分子的整体相加减”，即各个分子都应该有括号，当分子是单项式时，括号可以省略；当分子时多项式时，括号不能省略。）异分母分式的加减运算法则先通分，再加减 ；即： 。bdcacb
10、dac（注：1.若加减运算中含有整式，应视为分母为1，进行通分。 2.分式相加减所得的结果应化为最简分式或整式。）【例 1】计算：（1） (2) + 5x+3yx2-y2 2xx2-y2 12p+3q 12p-3q分析：这两题就是分式加减法的运用。 （1）是同分母分式的加减法，直接用法则就可以了。 （2）是异分母分式的加减法，过程是先通分，通分的依据是分式的基本性质，化为同分母分式，然后再加减。师生共同来解两个题。教师写出解题过程。解：（1）原式 = = =5x+3y-2xx2-y2 3x+3yx2-y2 3(x+y)(x+y)(x-y) 3x+y（2）原式 + = =1(2p-3q)(2p+
11、3q)(2p-3q) 1(2p+3q)(2p+3q)(2p-3q)2p-3q+2p+3q(2p+3q)(2p-3q)4p(2p+3q)(2p-3q)八年级 下册 数学 课堂笔记9= 。4p4p2-9q216.2.2 分式的乘除分式的乘法法则分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积做积的分母；用式子表示为： 。bdac分式的除法法则分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，用式子表示为 。 bcaddcba（注：在运算时要注意分式的除法是乘法的逆运算，进行除法就是转化为乘法进行。对于运算的结果要进行化简，一定要约分。）分式的乘法：分式的乘法法则分式乘方要把分子、分母分别乘方，即
12、： =nba【例】 先化简后求值（1） ，其中 满足 .1242aaa02（2）已知 ，求 的值.3:2yx 232)()( yxyxyx八年级 下册 数学 课堂笔记10（3） 已知： ，试求 、 的值.12)12(45xBAxAB整数指数幂与科学记数法题型一：运用整数指数幂计算【例 1】计算：（1） （2）312)()(bca 23213)5()(zxyzyx（3） （4）24253)()(ba 623)()()( yxyx题型二：化简求值题【例 2】已知 ，求（1） 的值；（2）求 的值.5xx4x题型三：科学记数法的计算【例 3】计算：（1） ；（2） .3)10.8()10(3223)
13、10()104(16.3 分式方程（1）分式方程的概念：分母中含有未知数的方程，叫做分式方程。 （2） 解分式方程的基本思想把分式方程转化为整式方程，再运用整式方程的解法求解，而化为整式方程的过程是利用分式的基本性质和等式的基本性质通过去分母来八年级 下册 数学 课堂笔记11完成的。（2）解分式方程的一般方法和步骤在分式的两边同时乘以公分母，把原方程化为整式方程，即去分母。解这个整式方程验根，把整式方程的根带入到最简公分母中，使得最简公分母不等于零的根是原方程的根。使最简公分母为零的根为原方程的增根，必须舍去。（4）增根产生的原因再解分式方程的时候，我们在方程的两边同时乘以含有未知数的代数式，
14、从而将其化为整式方程，在此过程中，分母不为0的限制被无形的取消了，这样就使未知数的取值范围扩大了，这样也就产生了增根，因此我们在解分式方程的时候一定要验根。（5）列分式方程解应用题的步骤：审题，了解已知量和所求量各是什么；设出未知量；找出相等关系，列车分式方程；解这个分式方程；检验，看所求解是否满足题意；写出答案；（一）分式方程题型分析题型一：用常规方法解分式方程【例 1】解下列分式方程八年级 下册 数学 课堂笔记12（1） ； （2） ；x3 013x（3） ； （4）142x x453易出错的几个问题：分子不添括号；漏乘整数项；约去相同因式至使漏根；忘记验根.题型二：特殊方法解分式方程【例
15、 2】解下列方程（1） ； （2）4x 56910867xx提示：（1）换元法，设 ； （2）裂项法， .yx1 617x【例 3】解下列方程组)3(412)(1xzyx题型三：求待定字母的值【例 4】若关于 的分式方程 有增根，求 的值.x312xm【例 5】若分式方程 的解是正数，求 的取值范围.aa提示： 且 ， 且 .032x2x4题型四：解含有字母系数的方程【例 6】解关于 的方程x)0(dcbax提示：（1） 是已知数；（2） .b, 0dc八年级 下册 数学 课堂笔记13题型五：列分式方程解应用题1解下列方程：（1） ； （2）02xx 342x（二）分式方程的特殊解法解分式方程
16、，主要是把分式方程转化为整式方程，通常的方法是去分母，并且要检验，但对一些特殊的分式方程，可根据其特征，采取灵活的方法求解，现举例如下：一、交叉相乘法【例 1】 解方程： 231x二、化归法【例 2】 解方程： 012三、左边通分法【例 3】：解方程： 87x四、分子对等法【例 4】 解方程： )(1baba五、观察比较法【例 5】 解方程： 47254x六、分离常数法【例 6】 解方程： 839821xx七、分组通分法【例 7】 解方程： 413512xx（三）分式方程求待定字母值的方法八年级 下册 数学 课堂笔记14【例 1】 若分式方程 无解，求 的值。xmx21【例 2 】若关于 的方
17、程 不会产生增根，求 的值。112xkx k【例 3】 若关于 分式方程 有增根，求 的值。x4321xkx k【例4】 若关于 的方程 有增x15122xkx分式方程的应用:【例】 (2006 年长春市)A 城市每立方米水的水费是 B 城市的 1.25 倍，同样交水费 20 元，在B 城市比在 A 城市可多用 2 立方米水，那么 A、B 两城市每立方米水的水费各是多少元？分析：本题只要抓住两城市的水相差 2 立方米的等量关系列方程即可解：设 B 城市每立方米水的水费为 x 元，则 A 城市为 1.25x 元解得 x = 2 经检验 x = 2 是原方程的解。 1.25x = 2.5（元）,2
18、5.10x答：B城市每立方米水费2元，A城市每立方米2.5元。 点评：收缴水、电费的问题是贴近生活的热点问题，是老百姓最关心的问题之一，体现了数学的实用性的理念【例】 （2006 年日照市）在我市南沿海公路改建工程中，某段工程拟在 30 天内（含 30 天）完成现有甲、乙两个工程队，从这两个工程队资质材料可知：若两队合做 24 天恰好完成；若两队合做 18 天后，甲工程队再单独做 10 天，也恰好完成请问：（1）甲、乙两个工程队单独完成该工程各需多少天？（2）已知甲工程队每天的施工费用为 06 万元，乙工程队每天的施工费用为 035 万元，要使该工程的施工费用最低，甲、乙两队各做多少天（同时施
19、工即为合做）？最低施工费用八年级 下册 数学 课堂笔记15解：（1）设：甲、乙两个工程队单独完成该工程各需 x 天、y 天，由题意得方程组： ， 解之得：x=40，y=60 241,80xy（2）已知甲工程队每天的施工费用为 06 万元，乙工程队每天的施工费用为 035 万元，根据题意，要使工程在规定时间内完成且施工费用最低，只要使乙工程队施工 30 天，其余工程由甲工程队完成 由（1）知，乙工程队 30 天完成工程的 ，30162甲工程队需施工 =20（天） 最低施工费用为 062003530=225（万元） 240答：（1）甲、乙两个工程队单独完成该工程各需 40 天和 60 天；（2）要
20、使该工程的施工费最低，甲、乙两队各做 20 天和 30 天，最低施工费用是 225 万元 评析：这道考题把对二元一次方程组知识的考察放到贴近生活的热点话题的背景下，易激活学生的数学思维第 17 章 反比例函数17.1 反比例函数17.1.1 反比例函数的意义在一个变化过程中，如果有两个变量 x 与 y ，并且对于 x 的每个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 x 是自变量，y是 x 的函数。形如 y=kx+b(k、b 是常数， k0）的函数，叫做一次函数。形如 y=kx(k 是常数，k0）的函数，叫做 正比例函数，其中 k 叫做比例系数（1）定义：形如 y （k 为常数，且
21、）的函数统称为反比例x0k函数，其中 x 是自变量，y 是函数，自变量 x 的取值范围是不等于 0 的一切实数。也称 x 与 y 成反比例关系.反比例函数的表达形式还有 ，xyk（k 0） 。1(0)ykx是 常 数 ， 八年级 下册 数学 课堂笔记16（2）反比例函数的特征：自变量 x 位于分母上，且其次数是 1 次；常量 k 0；自变量 x 的取值范围是 x0 的一切实数；函数值 y 的取值范围是非零实数；练一练：下列等式中，哪些是反比例函数（1） （2） （3）xy21 （4） （5） 3xyxy22xyxy23（6） （7）yx 4分析：根据反比例函数的定义，关键看上面各式能否改写成
22、（k 为常数，k0）的形式，xy这里（1） 、 （7）是整式， （4）的分母不是只单独含 x， （6）改写后是 ，分子不是常数，x31只有（2） 、 （3） 、 （5）能写成定义的形式【例 1】：（1）已知 y 是 x 的反比例函数，当 x2 时，y8，写出 y 与 x 的关系式，并求当y4 时，x 的值；（2）已知点（1，-2）在反比例函数 的图象上，则 k=_。ky思考：当 m 取什么值时，函数 是反比例函数？23)(mx分析：反比例函数 （k 0）的另一种表达式是 （k0） ，后一种写法中 x 的xy 1xy次数是1，因此 m 的取值必须满足两个条件，即 m2 0 且 3m 21，特别注
23、意不要遗漏k0 这一条件，也要防止出现 3m 21 的错误。解得 m217.1.2 反比例函数的图象和性质和一次函数一样，反比例函数有表达式法，列表法，图象法三种1. 反比例函数的图像图像的画法：描点法 列表（应以 O 为中心，沿 O 的两边分别取三对或以上互为相反的数） 描点（有小到大的顺序）八年级 下册 数学 课堂笔记17 连线（从左到右光滑的曲线）反比例函数的图像是双曲线， （ 为常数， ）中自变量 ，函数xky0k0x值 ，所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐0y标轴，但是永远不与坐标轴相交。反比例函数的图像即是中心对称图形（对称中心是原点） ，也是轴对称图形（对
24、称轴是 或 ） 。x反比例函数 （ ）中比例系数 的几何意义是：过双曲线 （ky0kxky）上任意引 轴 轴的垂线，所得矩形面积为0k k反 比 例 函 数 的 图 象 和 性 质函数 图象 性质k0双曲线，位于第一，三象限，在每个象限内，y 随 x 的增大而减小，与 x 轴，y 轴无交点反比例函数y （kx）0kk2k3 B. k3k2k1 C. k2k3k1 D. k3k1k2八年级 下册 数学 课堂笔记1817.1.3 反比例函数图象解析式的确立我们知道反比例函数的解析式是 y= ，在这个式子中，只有一个待kx定系数 k，确定了 k 的值，也就确定了反比例函数的，所以我们只要有一组 x、
25、y 的对应的值或图像上一点的坐标，带入 y= 中求出 k 的值。x【例】：已知反比例函数 的图象经过点（1，-2） ，则这个函数的表达式是(0)ykx_，当 xb0),则这个三角形是-18.2 勾股定理的逆定理(1)勾股定理的逆定理的内容如果三角形的三边长 a、b、c 满足 a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。（注：当 c2a 2+b2 时，有两种情况：1.当 c2a2+b2 三角形钝角三角形2.当 c2a2+b2 三角形锐角三角形 ）【例 1】：判断由线段 a，b，c 组成的三角形是不是直角三角形?a=7，b=25，c=24; 解：最大边为 25 a 2+c2=72+242=49+
26、576 =625 b2=252 =625 a 2+c2= b 2 以 7，25，24 为边长的三角形是直角三角形. 18.3 勾股定理的应用分析：根据勾股定理的逆定理, 判断一个三角形是不是直角三角形, 只要看两条较短边长的平方和是否等于最长边长的平方.八年级 下册 数学 课堂笔记21将实际问题转化为“应用勾股定理及其逆定理解直角三角形的数学题”.【例 2】 如图 14.2.1，一圆柱体的底面周长为 20cm，高为4cm，是上底面的直径一只蚂蚁从点 A 出发，沿着圆柱的侧面爬行到点 C，试求出爬行的最短路程分析：蚂蚁实际上是在圆柱的半个侧面内爬行大家用一张白纸卷折圆柱成圆柱形状，标出A、B、C
27、、D各点，然后打开，蚂蚁在圆柱上爬行的距离，与在平面纸上的距离一样AC之间的最短距离是什么？根据是什么？ 根据“两点之间，线段最短” ，所求的最短路程就是侧面展开图矩形ASBCD对角线AC之长我们可以利用勾股定理计算出AC的长。 DCBADCBA解 如图，在 Rt中，底面周长的一半cm， 根据勾股定理得 AC 2BC2104 （ cm） （勾股定理） 92答： 最短路程约为cm【例 3】一辆装满货物的卡车，其外形高 2.5 米，宽 1.6 米，要开进厂门形状如图 14.2.3 的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?分析：由于厂门宽度足够，所以卡车能否通过，只要看当卡车位于厂门正中间时其高度
28、是否小于 CH如图.所示，点 D 在离厂门中线 0.8 米处，且 CD， 与地面交于 H解 ：OC1 米 (大门宽度一半)，OD0.8 米 （卡车宽度一半）在 RtOCD 中，由勾股定理得 .米，2ODC2801C.（米）.（米）因此高度上有 0.4 米的余量，所以卡车能通过厂门八年级 下册 数学 课堂笔记22第十九章 四边形19.1 平行四边形1.平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形(2)表示：平行四边形用符号“ ”来表示【例 1】如图，在四边形 ABCD 中，ABDC，ADBC，那么四边形 ABCD 是平行四边形平行四边形 ABCD 记作“ ABCD”，读作“平行四边形A
29、BCD”AB/DC ,AD/BC ， 四边形 平行四边形（判定） ； 四边形 ABCD 是平行四边形AB/DC ， AD/BC（性质） 注意：平行四边形中对边是指无公共点的边，对角是指不相邻的角，邻边是指有公共端点的边，邻角是指有一条公共边的两个角而三角形对边是指一个角的对边，对角是指一条边的对角19.1.1 平行四边形的性质平行四边形的性质（一）平行四边形性质 1 ： 平行四边形的对边相等平行四边形性质 2 ： 平行四边形的对角相等【平行四边形的性质的验证】这是利用全等三角形的性质得到的。A 四边形 ABCD 是平行四边形，ADBC,ABDC1=3, 2=4,又AC=CA, ABC CDA八
30、年级 下册 数学 课堂笔记23 AB=CD,AD=BCB ABC CDA，B=D,1=3, 2=4, 1+2=3+4,即： BAD=BCD（注意：作对角线是解决四边形问题常用的辅助线，通过作对角线，可以把未知问题转化为已知的关于三角形的问题 ） 【例 1】如图，在平行四边形 ABCD 中，AE=CF，求证：AF=CE分析：要证 AF=CE，需证ADFCBE ，由于四边形 ABCD 是平 行四边形，因此有D=B ，AD=BC ，AB=CD，又 AE=CF，根据等式性质，可得 BE=DF由“边角边”可得出所需要的结论平行四边形的性质（二）（1）平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心；
31、（2）平行四边形的对角线互相平分四边形性质的应用例题讲解：【例 2】 已知：如图 421， ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，EF 过点 O 与AB、CD 分别相交于点 E、F求证：OEOF，AE=CF，BE=DF 证明：在 ABCD 中，ABCD， 1234又 OAOC(平行四边形的对角线互相平分) ， AOE COF（ASA ） OEOF ，AE=CF（全等三角形对应边相等） ABCD， AB=CD（平行四边形对边相等） ABAE=CDCF 即 BE=FD【例 3】 一个平行四边形的一个内角是它邻角的 3 倍，那么这个平行四边形的四个内角各是多少度？分析 根据平行四边形的对角相
32、等，邻角互补可以求出四个内角的度数解 设平行四边形的一个内角的度数为 x，则它的邻角的度数为 3x，根据题意，得 ，解得 ， 这个平行四边形的四个内角的度数分别为 45，135，45，135八年级 下册 数学 课堂笔记24【例 4】 已知：如图， 的周长为 60cm，对角线 AC、 BD 相交于点 O，的周长比 的周长多 8cm，求这个平行四边形各边的长分析 由平行四边形对边相等，可知 平行四边形周长的一半30cm，又由 的周长比 的周长多 8cm，可知cm，由此两式，可求得各边的长解 四边形 为平行四边形， ， 答：这个平行四边形各边长分别为 19cm，11cm，19cm，11cm说明：得出
33、两个结论：（1）平行四边形两邻边之和等于平行四边形周长的一半 （2）平行四边形被对角线分成四个小三角形，相邻两个三角形周长之差等于邻边之差【例 5】 已知：如图，在 中， 交于点 O，过 O 点作 EF 交AB、 CD 于 E、 F，那么 OE、 OF 是否相等，说明 理由分析 观察图形，从而可说明 证明 ： 在 中，交于 O， ， ， ， 【例 6】 已知：如图，点 E 在矩形 ABCD 的边 BC 上，且 ，垂足为 F。求证： 分析 观察图形， 与 都是直角三角形，且锐角 ，斜边，因此这两个直角三角形全等。在这个图形中，若连结 AE，则 与全等，因此可以确定图中许多有用的相等关系证明 四边
34、形 ABCD 是矩形， ， ， ，又 ， 。 【例 7】O 是 ABCD 对角线的交点， 的周长为 59， ， ，则 _，若 与 的周长之差为 15，则 _， ABCD的周长=_. 八年级 下册 数学 课堂笔记25解答： ABCD 中， ， . 的周长 . 在 ABCD 中， . 的周长 的周长 ABCD 的周长 说明：本题考查平行四边形的性质，解题关键是将 与 的周长的差转化为两条线段的差. 【例 8】 已知：如图， ABCD 的周长是 ，由钝角顶点 D 向 AB，BC 引两条高 DE，DF，且 ， . 求这个平行四边形的面积. 解：设 . 四边形 ABCD 为平行四边形， . 又四边形 A
35、BCD 的周长为 36， ， 解由，组成的方程组，得 . . 说明：本题考查平行四边形的性质及面积公式，解题关键是把几何问题转化为方程组的问题. 19.1.2 平行四边形的判定平行四边形判定方法 1 ： 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 平行四边形判定方法 2 ： 对角线互相平分的四边形是平行四边形。平行四边形判定方法3 ： 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形平行四边形判定方法4 ：两组对角分别相等的四边形是平行四边形八年级 下册 数学 课堂笔记26（推论：顺次连结四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边形 ）【例 1】如图，已知：OA=OC,OB=OD,则四边形 ABCD 是不是
36、平行四边形？为什么？解：OA=OC,OB=OD,（已知） AOD=BOC（对顶角相等） ,AODBOC（边角边）OAD=OCB, （全等三角形对应角相等）ADBC（内错角相等，两直线平行）.同理：ABDC四边形 ABCD 是平行四边形.（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）.【例 2】已知四边形 ABCD 中，AD=BC,AD BC, 那么四边形 ABCD 为什么是平行四边形？证明：ADBC （已知）1=2（两直线平行，内错角相等）AC=CA(公共边)ADCCBA(边角边)3=4（全等三角形对应角相等）ABCD （内错角相等，两直线平行）四边形 ABCD 是平行四边形（有两组对边分别 平行的
37、四边形是平行四边形）【例 3】已知：如图 AD=BC,AB=DC 那么四边形 ABCD 为什么是平行四边形？解：AD=BC,AB=DC(已知) ，AC=CA( 公共边) ABCCDA(边边边)1=2（全等三角形对应角相等）ADBC(内错角相等，两直线平行)四边形 ABCD 是平行四边形（有两组对边分别平行的四边形是平行四边形）【例 4】 已知：如图，ABBA，BC CB， CAAC求证：(1) ABC B， CAB A， BCAC；(2) ABC 的顶点分别是BCA各边的中点证明：(1) ABBA，CBBC， 四边形 ABCB是平行四边形 ABCB(平行四边形的对角相等) 同理CABA ，BC
38、AC(2) 由(1)证得四边形 ABCB是平行四边形同理，四边形 ABAC 是平行四边形 ABBC， ABAC( 平行四边形的对边相等) BCAC同理 BACA， ABCB ABC 的顶点 A、B 、C 分别是BCA的边 BC、CA、AB的中点ODCBA43 21DCBA21DCBA八年级 下册 数学 课堂笔记27【例5】已知：如图， ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，求证：BE=DF分析：证明BE=DF，可以证明两个三角形全等，也可以证明四边形BEDF是平行四边形，比较方法，可以看出第二种方法简单证明： 四边形ABCD是平行四边形， ADCB ，AD=CD E、F分别是AD、BC的中
39、点， DEBF ，且DE= AD，BF= BC21 DE=BF 四边形BEDF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形平行四边形） BE=DF此题综合运用了平行四边形的性质和判定，先运用平行四边形的性质得到判定另一个四边形是平行四边形的条件，再应用平行四边形的性质得出结论；题目虽不复杂，但层次有三，且利用知识较多，因此会使你获得清晰的证明思路【例6】已知：如图， ABCD中，E、F分别是AC上两点，且BEAC于E，DFAC 于F求证：四边形BEDF是平行四边形分析：因为BEAC于E，DFAC于F，所以BEDF需再证明BE=DF，这需要证明ABE与CDF全等，由角角边即可证明： 四边形ABCD是
40、平行四边形， AB=CD，且ABCD BAE=DCF BEAC于E，DFAC 于F， BEDF，且BEA=DFC=90 ABECDF （AAS） BE=DF 四边形BEDF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形平行四边形） 19.2.3 三角形的中位线一、 三角形的中位线的概念：连结三角形两条边中点的线段叫三角形的中位线【例 1】如上图，连结ABC 的两条边 AB、AC 的中点的连线段 EF 叫三角形的中位线.DFECBA八年级 下册 数学 课堂笔记28二、三角形的中位线的性质：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半【例 2】已知：如图，E、F 分别是ABC 的边 AB、AC 的中点.
41、求证：EFBC， EF= BC.12方法 1 把ABC 绕点 E 旋转 180.则点 A 的像是点 B，点 B 的像是点 A，点 C 的像是点 D，设点 F 的像是点 H,H、F 必经过点 E,连结,AD、BD、EF、CD，则 EF=EH= HF12CE=DE, AE=EB, 四边形 ADBC 是平行四边形.（对角线互相平分的四边形是平行四边形 ）ACDB, AC=DB (平行四边形的对边分别平行且相等)HB= DB,FC= AC12HB=FC 四边形 HBCF 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）.HF=BC， （平行四边形的对边相等）EF= BC方法 2过点 C 作 AB
42、 的平行线交 EF 的延长线于 DCDAB ，(所作)A= ACD （两线平行，内错角相等）又 AF=FC，AFE= CFDAFECFD (ASA) AE=CD(全等三角形的对应边相等)又 AE=EB(已知)，BE=CD(等量代换)四边形 BCFD 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ）方法 3 ：如图，延长 EF 到 D 使 FD=EF,连接 AD、EC 、CD.AF=FC ,EF=FD, 四边形 AECD 是平行四边形 (对角线互相平分的四边形是平行四边形 )AE=CD=BE，ABCD四边形 EBCD 是平行四边形， （一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）ED=BC(
43、平行四边形的对边相等) EF= ED= BC.12形成结论：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半.即：EF 是ABC 的中位线，EF= BC.【例 3】顺次连结四边形 ABCD 各边中点 E，F,H,M，得到四边形EFHM 是平行四边形吗？为什么？解：连结 AC，MH 是DAC 的中位线，MHFDECBADFECBADFECBA八年级 下册 数学 课堂笔记29MHAC，MH=AC （三角形的中位线性质）同理：EFAC，EF=AC四边形 EFHM 是平行四边形( 有一组对边平行是四边形是平行四边 形)19.2 特殊的平行四边形19.2.1 矩形一、矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做
44、矩形(通常也叫长方形)二、矩形的性质：1.矩形的四个角都是直角 2.矩形的对角线相等3.矩形是轴对称图形，过每一组对边中点的直线都是矩形的对称轴4.矩形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心（推广：有性质 2 有：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ）【例 1】已知：如图 ，矩形 ABCD，AB 长 8 cm ，对角线比 AD 边长 4 cm求 AD 的长及点 A 到 BD 的距离 AE 的长分析：（1）因为矩形四个角都是直角，因此矩形中的计算经常要用到直角三角形的性质，而此题利用方程的思想，解决直角三角形中的计算，这是几何计算题中常用的方法略解：设 AD=xcm，则对角线长（ x+4）
45、cm ，在 RtABD 中，由勾股定理：，解得 x=6 则 AD=6cm22)4(8x（2） “直角三角形斜边上的高”是一个基本图形，利用面积公式，可得到两直角边、斜边及斜边上的高的一个基本关系式： AEDB ADAB，解得 AE 4.8cm【例 2】 已知：如图，矩形 ABCD 中，E 是 BC 上一点， DFAE 于 F，若 AE=BC 求证：CEEF分析：CE、EF 分别是 BC，AE 等线段上的一部分，若 AFBE，则问题解决，而证明AFBE，只要证明 ABE DFA 即可，在矩形中容易构造全等的直角三角形证明： 四边形 ABCD 是矩形， B=90，且 ADBC 1=2 DFAE， AFD=90 B=AFD又 AD=AE， ABEDFA（AAS ） AF=BE EF=EC八年级 下册 数学 课堂笔记30此题还可以连接 DE，证明 DEFDEC，得到 EFEC三、矩形的判定方法：1.有三个角是直角的四边形是矩形 2.对角线相等的四边形是矩形【例 3】已知 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，AOB 是等边三角形，AB=4 cm，求这个平行四边形的面积分析：首先根据AOB 是等边三角形及平行四边形对角线互相平分的性质判定出ABCD 是矩形，再利用勾股定理计算边长，从而得到面积值
