1、第二部分 空间与图形,第四章 图形的认识（一）,课时18 等腰三角形与等边三角形,知识要点梳理,1. 等腰三角形: （1）定义：_的三角形叫做等腰三角形. （2）性质: 性质定理：等腰三角形的_（简称：等边对等角）. 推论：等腰三角形顶角的_、底边上的_及底边上的_互相重合（简称：_）.,两边相等,两个底角相等,平分线,中线,高线,三线合一,知识要点梳理,（3）其他性质: 等腰直角三角形的两个底角_.等腰三角形的底角只能为_，不能为钝角（或_），但顶角可为_（或_）. 等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为b，则_.,相等且等于45,锐角,直角,钝角,直角,等腰三角形的三角关系：设顶角为A
2、，底角为B，C，则A=_，B=C=_. （4）判定: 定义法：_的三角形是等腰三角形. 判定定理：_的三角形是等腰三角形（简称：_）.,知识要点梳理,180-2B,有两条边相等,有两个角相等,等角对等边,知识要点梳理,2. 等边三角形: （1）定义：_的三角形叫做等边三角形. （2）性质: 性质定理：等边三角形的_，并且每个角都等于_.等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的_，它的每一个内角的_都与其对边的_和_重合.,三边相等,三个内角都相等,60,所有性质,角平分线,中线,高线,知识要点梳理,（3）判定: 定义法：_的三角形是等边三角形. 判定定理1：_的三角形是等边三角形. 判
3、定定理2：有一个角等于_的_三角形是等边三角形.,三条边都相等,三个角都相等,60,等腰,知识要点梳理,重要方法与思路,知识要点梳理,续表,知识要点梳理,续表,知识要点梳理,续表,中考考题精练,考点 等边三角形的性质和判定（5年2考：2014年、2017年） 1. 如图2-4-18-1，在ABC中，ABC和ACB的平分线交于点E，过点E作MNBC交AB于点M，交AC于点N，若BM+CN=9，则线段MN的 长为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9,D,中考考题精练,2. （2017内江）如图2-4-18-2，AD平分BAC，ADBD，垂足为点D，DEAC. 求证：BDE是等腰三角形.,
4、中考考题精练,证明：DEAC，BAD=CAD. AD平分BAC， CAD=EDA. BAD=EDA. ADBD， BAD+B=90，EDA+BDE=90. B=BDE. BDE是等腰三角形.,中考考题精练,解题指导：本考点的题型不固定，难度中等.解此类题的关键在于掌握等腰三角形的性质与判定定理（注意：相关要点请查看“知识要点梳理”部分，并认真掌握）.,中考考题精练,考点 等边三角形的性质和判定（5年未考） 1. （2017广州）如图2-4-18-3，E，F分别是平行四边形ABCD的边AD，BC上的点，EF=6，DEF=60，将四边形EFCD沿EF翻折，得到EFCD，ED交BC于点G，则GEF的
5、周长为（ ）A. 6 B. 12 C. 18 D. 24,C,中考考题精练,2. （2017恩施）如图2-4-18-4，ABC，CDE均为等边三角形，连接BD，AE交于点O，BC与AE交于点P. 求证：AOB=60.,中考考题精练,证明：ABC和CDE都是等边三角形， AC=BC，CD=CE，ACB=DCE=60. ACB+BCE=DCE+BCE,即ACE=BCD. 在ACE和BCD中，AC=BC, ACE=BCD, CE=CD, ACEBCD（SAS）. CAE=CBD. APC=BPO， BOP=ACP=60，即AOB=60.,中考考题精练,3. 如图2-4-18-5，点C是线段AB上除点
6、A,B外的任意一点，分别以AC,BC为边在线段AB的同旁作等边ACD和等边BCE，连接AE交DC于点M，连接BD交CE于点N，连接MN. （1）求证：AE=BD； （2）求证：MNAB.,中考考题精练,证明：（1）ACD和BCE是等边三角形， AC=DC，CE=CB，DCA=60，ECB=60. DCA+DCE=ECB+DCE， 即ACE=DCB. 在ACE与DCB中， AC=DC,ACE=DCB,CE=CB， ACEDCB（SAS）. AE=BD.,中考考题精练,（2）由（1）,得ACEDCB， CAM=CDN. ACD=ECB=60，而A,C,B三点共线， DCN=60. 在ACM与DCN
7、中， MAC=NDC,AC=DC,ACM=DCN=60， ACMDCN（ASA）. MC=NC. MCN=60，MCN为等边三角形. NMC=DCN=60. NMC=DCA. MNAB.,中考考题精练,解题指导：本考点的题型不固定，难度中等.解此类题的关键在于掌握等边三角形的性质与判定定理（注意：相关要点请查看“知识要点梳理”部分，并认真掌握）.注意以下要点：,中考考题精练,等腰三角形和等边三角形属于特殊的三角形，在广东中考中单独出题考查的情况虽然不多，但这两种图形常与其他几何图形如（特殊的）平行四边形、圆等结合考查，题目非常灵活，熟练掌握等腰三角形、等边三角形的有关定理并加以灵活运用对解题非
8、常关键，备考时需多加留意.,考点巩固训练,考点 等腰三角形的性质和判定 1. 如图2-4-18-6，ABC中，AB=AC=15，AD平分BAC，点E为AC的中点，连接DE，若CDE的周长为21，则BC的长为（ ） A. 16 B. 14 C. 12 D. 6,C,考点巩固训练,2. 如图2-4-18-7，在ABC中，AB=AC，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，且BE=CF，BD=CE.（1）求证：DEF是等腰三角形； （2）当A=40时，求DEF的度数.,考点巩固训练,（1）证明：AB=AC，ABC=ACB. 在DBE和ECF中, BE=CF, ABC=ACB, BD=CE, DBEE
9、CF. DE=EF. DEF是等腰三角形.,考点巩固训练,（2）解：DBEECF， BDE=CEF,DEB=EFC. A+B+C=180， B= （180-40）=70. BDE+DEB=110. FEC+DEB=110. DEF=180-110=70.,考点巩固训练,3. 如图2-4-18-8，ACB和DCE均为等腰三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE，CAB=CBA=CDE=CED=50. （1）求证：AD=BE； （2）求AEB的度数.,考点巩固训练,（1）证明CAB=CBA=CDE=CED=50， ACB=DCE=180-250=80. ACB=ACD+DCB，DCE=DCB+B
10、CE，ACD=BCE. ACB和DCE均为等腰三角形，AC=BC，DC=EC. 在ACD和BCE中，AC=BC, ACD=BCE,DC=EC， ACDBCE（SAS）. AD=BE.,考点巩固训练,（2）解：ACDBCE，ADC=BEC. 点A，D，E在同一直线上，且CDE=50， ADC=180-CDE=130. BEC=130. BEC=CED+AEB，且CED=50， AEB=BEC-CED=130-50=80.,考点巩固训练,考点 等边三角形的性质和判断 4. 如图2-4-18-9，P,Q是ABC的边BC上的两点，且BP=PQ=QC=AP=AQ，则ABC的大小等于_.,30,考点巩固训
11、练,5. 如图2-4-18-10，等边ABC中，点P在ABC内，点Q在ABC外，且ABP=ACQ，BP=CQ，问APQ是什么形状的三角形？试说明你的结论.,考点巩固训练,解：APQ为等边三角形. 证明：ABC为等边三角形，AB=AC. 在ABP与ACQ中， AB=AC,ABP=ACQ,BP=CQ， ABPACQ（SAS）. AP=AQ，BAP=CAQ. BAC=BAP+PAC=60， PAQ=CAQ+PAC=60. APQ是等边三角形.,考点巩固训练,6. 已知：如图2-4-18-11，ABC，CDE都是等边三角形，AD，BE相交于点O，点M，N分别是线段AD，BE的中点. （1）求证：AD=
12、BE； （2）求DOE的度数； （3）求证：MNC是等边三角形.,考点巩固训练,（1）证明：ABC，CDE都是等边三角形， AC=BC，CD=CE，ACB=DCE=60. ACB+BCD=DCE+BCD. ACD=BCE. 在ACD和BCE中，AC=BC, ACD=BCE,CD=CE， ACDBCE（SAS）. AD=BE.,考点巩固训练,（2）解：ACDBCE， ADC=BEC. DCE是等边三角形， CED=CDE=60. ADE+BED=ADC+CDE+BED=ADC+60+BED=CED+60=60+60=120. DOE=180-（ADE+BED）=60.,考点巩固训练,（3）证明：ACDBCE， CAD=CBE，AD=BE，AC=BC. 又点M，N分别是线段AD，BE的中点， AM= AD，BN= BE. AM=BN. 在ACM和BCN中，AC=BC, CAM=CBN,AM=BN，ACMBCN. CM=CN，ACM=BCN. 又ACB=60， ACM+MCB=60. BCN+MCB=60. MCN=60.MNC是等边三角形.,
