1、第二十二章 四边形,22.3 三角形的中位线,1,课堂讲解,三角形的中位线性质 三角形中位线在四边形中的应用,2,课时流程,逐点 导讲练,课堂小结,作业提升,1. 在ABC中，AD=BD，线段CD是ABC的中线. 2. 在ABC中，AE=EC，线段BE是ABC的中线. 如果连结DE，那么DE是否是ABC的中线？,A,D,C,B,E,1,知识点,三角形的中位线性质,什么叫三角形的中位线？ 连结三角形两边中点的线段叫三角形的中位线. 如图：点 D、E分别是AB、AC边的中点，线段DE就 是ABC的中位线。 一个三角形共有几条中位线？ 答：三条,知1导,思考：三角形的中位线与三角形的中线有什么区别与
2、联系？ 区别：中位线：中点-中点中线：顶点-中点 联系：一个三角形有三条中线，三条中位线，它们都在三角形的内部且都是线段.,知1导,1. 如图，在ABC中，画出它的三条中位线DE，DF，EF. 沿中位线剪出四个小三角形，将它们叠合在一起，它们能完全重合吗？你发现三角形的中位线DE与BC具有怎样的位置关系和数量关系？,知1导,知1导,2. 如图，DE是ABC的中位线，将ADE以点E为中心顺时针旋转180，使点A和点C重合.四边形DBCF是平行四边形吗？由此发现DE与BC的位置关系和数量关系与上面的发现是否相同？,通过探究，我们发现：三角形的中位线平行于第三边， 且等于第三边的一半. 现在，我们来
3、证明这个结论. 已知：如图，D，E分别为ABC的边AB，AC的中点. 求证：DEBC，且DE= BC.,知1导,知1导,延长DE到点F，使EF=DE.连接CF. 在ADE和CFE中， AE=CE，AED=CEF，DE=FE， ADECFE. AD=CF，A=ECF.ADCF，即BDCF. 又BD=AD=CF，四边形DBCF是平行四边形. DEBC，且DF=BC. DE= DF= BC.,证明：,归 纳,知1导,三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边 的一半.,（来自教材）,知1讲,例1 已知：如图，在四边形ABCD中，AD=BC，P为对角线BD的中点，M为DC的中点，N为AB的中点. 求证
4、：PMN是等腰三角形.,（来自教材）,在ABD中， N，P分别为AB，BD的中点， PN= AD. 同理PM= BC. 又AD=BC， PN=PM. PMN是等腰三角形.,证明：,总 结,证明线段倍分关系的方法：由于三角形的中位线 等于三角形第三边的一半，因此当需要证明某一线段 是另一线段的一半或两倍，且题中出现中点时，常考 虑用三角形中位线定理,知1讲,（来自点拨）,三角形三边的长分別为5，9，12.求连接各边中点所构成的三角形的周长.,知1练,（来自教材）,解： 略,知1练,（来自教材）,2 如图，EF为ABC的中位线，BD平分ABC，交EF于点D，AB=4，BC=6.求 DF的长.,EF
5、为ABC的中位线， EF BC3，EFBC， BD平分ABC， EBDDBC， EFBC，EDBDBC，EBDEDB，EDEB AB2，DFEFED321.,解：,知1练,（来自教材）,3 如图， CDE为ABC沿AC方向平移得到的，延长AB，ED相交于点F.请指出图中有哪些相等的线段，有哪些平行的线段.,相等的线段有ABBFCD， BCDFDE，ACCE. 平行的线段有AFCD，ABCD， BFCD，BCDF，BCDE，BCEF.,解：,知1练,（来自教材）,4 如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点.请猜想四边形EFGH的形状，并证明自己的猜想.,知1练
6、,（来自教材）,四边形EFGH为平行四边形 证明如下： 如图，连接AC，BD. H，E分别是AD，AB的中点， EH BD，同理可得FG BD， EHFG，同理可得EFHG， 四边形EFGH是平行四边形,解：,知1练,（来自典中点）,【中考宜昌】如图，要测定被池塘隔开的A，B两点的距离，可以在AB外选一点C，连接AC，BC，并分别找出它们的中点D，E，连接ED.现测得AC30 m，BC40 m，DE24 m，则AB( ) A50 m B48 m C45 m D35 m,B,知1练,（来自典中点）,【中考梧州】如图，在ABC中，AB3，BC4，AC2，D，E，F分别为AB，BC，AC的中点，连接
7、DF，FE，则四边形DBEF的周长是( ) A5 B7 C9 D11,B,知1练,（来自典中点）,【中考遵义】如图，ABC的面积是12，点D，E，F，G分别是BC，AD，BE，CE的中点，则AFG的面积是( ) A4.5 B5 C5.5 D6,A,知1练,（来自典中点）,【中考营口】如图，在ABC中，ABAC，E，F分别是BC，AC的中点，以AC为斜边作RtADC，若CADCAB45，则下列结论不正确的是( ) AECD112.5 BDE平分FDC CDEC30 DAB CD,C,2,知识点,三角形中位线在四边形中的应用,知2讲,欲证MN BC，只需证明MN 是EBC的中位线即可而要证得M，N
8、分别为 BE，CE的中点，则可利用E，F分别为AD，BC 的中点证四边形ABFE和四边形EFCD为平行四边 形得到,例2 如图，在ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，连接AF，DF分别交BE，CE于点M，N，连接MN.求证：MN BC.,导引：,（来自点拨）,知2讲,（来自点拨）,如图，连接EF. 四边形ABCD是平行四边形，AD BC. E，F分别是AD，BC的中点， AE AD，BF BC，AE BF. 四边形ABFE是平行四边形，MBME. 同理，四边形EFCD是平行四边形，NCNE. MN是EBC的中位线MN BC.,证明：,总 结,知2讲,(1)证明两直线平行的常用方法：利用同
9、平行(垂直)于第三条直线；利用同位角、 内错角相等，同旁内角互补；利用平行四边形的性质；利用三角形的中位线定理 (2)证明一条线段是另一条线段的2倍的常用方法：利用含30角的直角三角形；利用平行四边形的对角线；利用三角形的中位线定理,（来自点拨）,1 如图，A，B两点被池塘隔开，不能直接测量它们之间的距离.测量员在岸边选一点C，连接AC，BC，并分别找到AC和BC的中点M，N.由MN的长度即可知道A，B两点间的距离. (1)说出上述测量方法中的道理. (2)若测得MN=20m，求A，B两点间的距离.,知2练,（来自教材）,知2练,（来自教材）,(1)道理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第
10、三边的一半 (2)在ABC中， M，N分别是AC，BC的中点，且MN20 m， A，B两点间的距离为20240(m),解：,已知：如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点E，BD=AC，M，N分别为AD，BC的中点，MN分别交AC，BD于点F，G. 求证：EF= EG.,知2练,（来自教材）,知2练,（来自教材）,如图，取CD的中点为H，连接MH，HN. M，H分别是AD，DC的中点， MH AC，MHAC， 同理可得NH BD，NHBD， ACBD，MHNH， HMNHNM， MHAC，HNBD， EFGHMN，EGFHNM， EFGEGF，EFEG.,证明：,知2练,如图，已知E，F，
11、G，H分别为四边形ABCD各边的中点，若AC10 cm，BD12 cm，则四边形EFGH的周长为( ) A10 cm B11 cm C12 cm D22 cm,（来自典中点）,D,知2练,如图，已知长方形ABCD中，R，P分别是DC，BC上的点，E，F分别是AP，RP的中点，当P在BC上从B向C移动而R不动时，下列结论成立的是( ) A线段EF的长逐渐增大 B线段EF的长逐渐减小 C线段EF的长不改变 D线段EF的长先增大后减小,（来自典中点）,C,知2练,如图，在ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是AB的中点，OE5 cm，则AD的长为_cm.,（来自典中点）,10,知2练,【中考
12、广州】如图，四边形ABCD中，A90，AB3 ，AD3，点M，N分别为线段BC，AB上的动点(含端点，但点M不与点B重合)，点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为_,（来自典中点）,3,三角形的中位线平行于三角形的 第三边，且等于第三边的一半 几何语言(如图)：DE是ABC的中位线，DEBCDE= BC,1,知识小结,注意：(1)位置关系：平行于第三边， (2)数量关系：等于第三边的一半 拓展：(1)在三角形中位线定理中要特别注意，三角形的中位线平行的是三角形的“第三边”，而不是“底边”，在三角形中，只有等腰三角形有底边而一般的三角形并没有底边 (2)三角形的中位线定理可以证明线段相等或倍分关系；可以证明两直线平行.,如图，ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点，若ACBD24 cm，OAB的周长是18 cm，则EF_cm.,2,易错小结,易错点：忽视整体思想的应用而求不出中位线的长,3,请完成典中点 、 板块 对应习题！,
