1、阶段方法技巧训练（一）,专训2 常用构造中位线的 五种方法,三角形的中位线具有两方面的性质：一是位置上的平行关系，二是数量上的倍分关系因此，当题目中给出三角形两边的中点时，可以直接连出中位线；当题目中给出一边的中点时，往往需要找另一边的中点，作出三角形的中位线,1,方法,连接两点构造三角形的中位线,1如图，点B为AC上一点，分别以AB，BC为边在AC同侧作等边三角形ABD和等边三角形BCE，点P，M，N分别为AC，AD，CE的中点(1)求证：PMPN；(2)求MPN的度数,证明：,(1)如图，连接CD，AE.由三角形中位线定理可得PM CD，PN AE.ABD和BCE是等边三角形，ABDB，B
2、EBC，ABDCBE60，ABEDBC.ABEDBC，AEDC. PMPN.,解：,(2)如图，设PM交AE于F，PN交CD于G，AE交CD于H，AE交BD于Q.由(1)知ABEDBC，BAEBDC.又DQHBQA，AHDABD60，FHG120.易证四边形PFHG为平行四边形，MPN120.,2,已知角平分线和垂直构造中位线,方法,2如图，在ABC中，点M为BC的中点，AD为ABC的外角平分线，且ADBD，若AB12，AC18，求DM的长,如图，延长BD，CA交于N. 由题易知NADBAD，ADNADB90.又ADAD， ANDABD. DNDB，ANAB. 又M为BC的中点， DM为BNC
3、的中位线， DM NC (ANAC) (ABAC)15.,解：,3如图，在ABC中，已知AB6，AC10，AD平分BAC，BDAD于点D，点E为BC的中点，求DE的长,如图，延长BD交AC于点F， AD平分BAC， BADCAD. BDAD，ADBADF， 又ADAD，ADBADF(ASA) AFAB6，BDFD. AC10，CFACAF1064. E为BC的中点， DE是BCF的中位线 DE CF 42.,解：,3,倍长法构造三角形的中位线,方法,4如图，在ABC中，ABC90，BABC，BEF为等腰直角三角形，BEF90，M为AF的中点，求证：ME CF.,证明：,如图，延长FE至N，使E
4、NEF，连接BN，AN. 易得ME AN. EFEN，BEF90， BE垂直平分FN.BFBN.BNFBFN. BEF为等腰直角三角形，BEF90， BFN45.BNF45， FBN90，即FBAABN90. 又FBACBF90， CBFABN.在BCF和BAN中，BCFBAN.CFAN.ME AN CF.,4,已知一边中点，取另一边中点构造三角形的中位线,方法,5如图，在ABC中，C90，CACB，E，F分别为CA，CB上一点，CECF，M，N分别为AF，BE的中点，求证：AE MN.,如图，取AB的中点H，连接MH，NH， 则MH BF，NH AE. CECF，CACB，AEBF. MHN
5、H. 点M，H，N分别为AF，AB，BE的中点， MHBF，NHAE. AHMABC，BHNBAC. MHN180(AHMBHN)180 (ABCBAC)90.NH MN. AE2NH2 MN MN.,证明：,6如图，在ABC中，ABAC，ADBC于点D，点P是AD的中点，延长BP交AC于点N，求证：AN AC.,5,已知两边中点，取第三边中点构造三角形的中位线,方法,如图，取NC的中点H，连接DH，过点H作HEAD，交BN的延长线于E. ABAC，ADBC， D为BC的中点 又H为NC的中点，DHBN. 又PDEH， 四边形PDHE是平行四边形 HEPD. 又P为AD的中点，APPD.APEH， 易证APNHEN，ANNH. ANNHHC，AN AC.,证明：,
