1、费马点 一、研究目的 费马点是 17 世纪法国著名的数学家费马发现的。所指的是在三角形所在的平面上，有一个点到三角形三个顶点距离之和最小。而费马点有许多有意义的性质，即为此，本人以费马点的性质为因来进行一系列的调查与研究。 二、研究结果 （一）费马点的发现者 费马点的发现者是费马Fermat, Pierre de, 1601-1665 ，17 世纪的法国数学家。1601 年 8月 17 日在法国南部图卢兹附近波蒙-德洛马涅出生。早年于家乡受教育，后入图卢兹大学供读法律，毕业后任职律师。自 1631 年起任图卢兹议会议员。任职期间，他利用工余时间钻研数学，并经常以书信与笛卡儿、梅森、惠更斯等著名
2、学者交往，讨论数学问题。他饱览群书，精通数国文字，掌握多门自然科学的知识。虽年近三十才认真注意数学，但成就累累。最后于 1665 年 1 月 12 日在卡斯特尔逝世。 他生前由于性情淡泊，为人谦逊，因此较少发表论着，大多成果只留在手稿、通信或书页之空白处。他的儿子于 1679 年把这些遗作整理汇集成书共两卷 ，在图卢兹出版。 由于他在数论、解析几何、概率论等方面贡献良多，被后世誉为业余数学家之王 。 （二）费马点的求法 ABC 需是三个内角皆小于 120三角形，分别以 AB、BC、CA 为边，向三角形外侧做正三角形ABD、 ACE，然后连接 DC、BE，则二线交于一点，记作点 P，则点 P 就
3、是所求的费马点。 （三）费马点的验证 1.ABC 是等边三角形，以边 AB、AC 分别向ABC 外 侧作等边三角形，连接 DC、EB，交点为点 P，点 P 为 费马点。则可得出结论： AP=BP=CP ；APB=BPC= APC=120；点 P 是内心，是在三角形三个内角的角平分线的交点； 点 P 是垂心，是 ABC 各边的高线的交点； ABP、 ACP、BCP 全等。点 P 是ABC 各边的中线的交 点；ABC 的三顶点的距离之和为 AP+BP+CP，且点 P 为费马点时和最小。 2.ABC 是等腰三角形，以边 AB、AC 分别向ABC 外 侧作等边三角形，连接 DC、EB，交点为点 P，点
4、 P 为 费马点。则可得出结论： ABC 的三顶点的距离之和为 AP+BP+CP，且点 P 为 费马点时和最小；APB=BPC=APC=120 ； ABP 与ACP 全等；BCP 为等腰三角形。 3.ABC 是直角三角形，以边 AB、AC 分别向ABC 外 侧作等边三角形，连接 DC、EB，交点为点 P，点 P 为 费马点。则可得出结论： ABC 的三顶点的距离之和为 AP+BP+CP，且点 P 为 费马点时和最小；APB=BPC=APC=120 （四）费马点的性质 1.费马点到三角形三个顶点距离之和最小 2.费马点连接三顶点所成的三夹角皆为 120 3.费马点为三角形中能量最低点。 （调查得
5、知） 4三力平衡时三力夹角皆为 120，所以费马点是三力平衡的点。 （调查得知） （五）费马点的应用 在实际生活中，若三角形的三个顶点分别是在三个地方，而要求是在“三角形”内建一处车站等，且要是车站到三个地方的公路路程和最短，可利用费马点的性质：费马点到三角形三个顶点距离之和最小。则这车站应建在费马点上。 三、结论 由此次研究可让我们知道，若想要在某方面做出伟大成就必先努力、锲而不舍的钻研，就如胡适所言：“做学问要再不疑处有疑” 。并且，将成就运用于生活，服务生活，方便生活，才是他们的价值所在！二、找费马点在平面上一三角形 ，试找出内部一点 ，使得 为最小。首先，ABCPPCBA让我们先找到
6、点的性质，再来研究怎么做出 点。P点有什么性质呢？它的位置是否有什么特殊意义呢？在中学里，我们学过三角形的内心、外心、重心以及垂心， 点和这些心之间有关联吗？还是和有些线段长、角度大小有关系呢？PABC、 和 很接近，这三个角度有何关联？APCA【解法 1】 PCP ABC如右图，以 点为中心，将 旋转 到 1 BAP60因为旋转 ，且 ，所以 为一个正三角形60 PB因此， CCPA由此可知当 、 、 、 四点共线时， 为最小 CPA若 共线时，则 2 60B120B同理，若 共线时，则 120P 6所以 点为满足 的点CA。但是，该用什么方法找出 点呢？PACBA BC以 三边为边，分别向
7、外作正三角形 、 、ABCBCCB连接 、 、 、 三线共点，设交点为 ，即为所求 P【证明 1】(在解法 1 曾提到若 ，即 四点共线时， CCBPA P有最小值，所以 要在 上。)CPBAPCP4231DPACBA BCCAB21则 ，得DP6043在 上取点 ，使得 为正三角形 BP则 ，得所以 CCPBA 【证明 2】PACBA BC，又 四点共圆( )120CPBAPBPC180CBAP所以 60故 ，因此 在 上8 同理可证 在 、 上，故 为 、 、 三线交点PABC三、画出费马点经过上面的讨论，可以知道，在平面上 ，想找出一点 ，使 为最小，ABCPPCBA方法为：分别以 、 为边长做出正三角形 及 ，连接 、 ，两ABC线交于一点 ， 点即为费马点。P使用上述方法需要注意到一点， 的每一个内角均小于 ，如果其中有一内角大120于 ，那么 点就是 最大内角的顶点。120
