1、第二章 函数、导数及其应用第一节 函数及其表示1函数映射的概念函数 映射两集合A，B设 A，B 是两个非空数集 设 A，B 是两个非空集合对应关系f： AB如果按照某个对应关系 f，对于集合 A 中的任何一个数 x，在集合 B中都存在唯一确定的数 f(x)与之对应如果按某一个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个元素 x，在集合B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应名称称 f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个函数称对应 f：AB 为从集合 A 到集合 B的一个映射记法 yf(x) ， xA 对应 f：AB 是一个映射2函数的有关概念(1)函数的定义域、值域：在函数 yf(x)
2、，x A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域显然，值域是集合 B的子集(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据(4)函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、图像法、列表法3分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数1解决函数的一些问题时，易忽视“定义域优先”的原则2易混“函数”与“映射”
3、的概念：函数是特殊的映射，映射不一定是函数，从 A 到B 的一个映射，A、B 若不是数集，则这个映射便不是函数3误把分段函数理解为几种函数组成试一试1(2013江西高考)函数 y ln(1x)的定义域为( )xA(0,1) B0,1)C(0,1 D0,1解析：选 B 根据题意得Error!解得 0x0，所以 t1，故 f(x)的解析式是 f(x)lg (x1)2x 1(3)设 f(x)ax 2bxc (a0)，由 f(0)0，知 c0，f(x)ax 2bx，又由 f(x1)f(x )x1，得 a(x 1)2b(x 1)ax 2bxx 1，即 ax2(2 ab)x abax 2(b1) x1，所
4、以Error!解得 ab .12所以 f(x) x2 x(xR)12 12类题通法求函数解析式常用的方法(1)待定系数法；(2) 换元法(换元后要注意新元的取值范围)；(3)配凑法；(4)解方程组法针对训练1已知 f( 1) x2 ，求 f(x)的解析式x x解：法一：设 t 1，x则 x(t1) 2(t1)；代入原式有 f(t)( t1) 22(t1)t 22t 12t2t 21.故 f(x)x 21(x1)法二：x2 ( )22 11( 1) 21，x x x xf( 1) ( 1) 21( 11)，x x x即 f(x)x 21(x1)2设 yf(x) 是二次函数，方程 f(x)0 有两
5、个相等实根，且 f(x) 2x2，求 f(x)的解析式解：设 f(x)ax 2bx c (a0)，则 f(x )2axb2x 2，a1，b2，f(x )x 22x c.又方程 f(x)0 有两个相等实根，4 4c 0，c1，故 f(x)x 22x 1.考点四 分段函数典例 (1)已知函数 f(x)Error!若 f(a)f (1)0，则实数 a 的值为( )A3 B1 或 3C1 D3 或 1(2)(2013福建高考)已知函数 f(x)Error!则 f _.(f(4)解析 (1)f(1)lg 10，所以 f(a)0.当 a0，则 lg a0，a1；当 a0.则 a30，a3.所以 a3 或
6、1.故选 D.(2) ，4 0，2)f tan 1，(4) 4f f( 1)2(1) 32.(f(4)答案 (1)D (2)2类题通法分段函数“两种”题型的求解策略(1)根据分段函数解析式求函数值首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解(2)已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围提醒：当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论针对训练设函数 f(x)Error!若 f(x)4，则 x 的取值范围是_解析：当 x4，得 2x 4，即 x4 得 x24，所以 x2 或 x2.综上可得
7、 x2.答案：(，2)(2 ，)课堂练通考点1下列函数中，与函数 y 定义域相同的函数为( )13xAy By 1sin x ln xxCy xex Dysin xx解析：选 D 函数 y 的定义域为 x|x0，选项 A 中由 sin x0xk，kZ，故13xA 不对；选项 B 中 x0，故 B 不对；选项 C 中 xR ，故 C 不对；选项 D 中由正弦函数及分式型函数的定义域确定方法可知定义域为x|x02(2014广州调研)已知函数 f(x)Error!则 f 的值是( )(f(14)A9 B.19C9 D19解析：选 B f log 2 log 222 2，(14) 14f f(2)3
8、2 .(f(14) 193(2014安徽“江南十校”联考) 函数 y( x1) 0ln(x)的定义域为_解析：由题意知，Error!Error!x( ，1)(1,0)答案：(，1)( 1,0)4已知 f(x)x 2px q 满足 f(1)f(2)0，则 f(1)_.解析：由 f(1)f(2) 0，得Error! 所以Error!故 f(x)x 23x2.所以 f(1) ( 1)2326.答案：65(2013上海徐汇一模)已知 f(x)x 21，g( x)Error!(1)求 f(g(2)与 g(f(2)；(2)求 f(g(x)与 g(f(x)的表达式解：(1)g(2)1，f(g(2)f(1)0
9、；f(2)3，g(f(2)g(3) 2.(2)当 x0 时，f(g(x )f(x1) (x1) 21x 22x；当 x 12 12Cx| x 且 x1 D x|x 且 x112 12解析：选 D 由题意得Error!解得 x 且 x1，故选 D.123(2014温州模拟)设函数 f(x)Error!，那么 f(2 013)( )A27 B9C3 D1解析：选 A 根据题意，当 x5 时，f(x)f(x5)，f(2 013)f(3)，而当 0x3a2，则 a 的取值范围是 _解析：由题知，f(1)213，f (f(1)f (3)3 26a，若 f(f(1)3a2，则 96a3a 2，即a22a30，解得1 a3.答案：(1,3)8有以下判断：(1)f(x) 与 g(x)Error!表示同一个函数|x|x(2)f(x)x 22x1 与 g(t)t 22t 1 是同一函数(3)若 f(x)|x 1|x|，则 f 0.(f(12)其中正确判断的序号是_
