1、1第 2 讲 圆锥曲线考情考向分析 1.以选择题、填空题形式考查圆锥曲线的方程、几何性质(特别是离心率).2.以解答题形式考查直线与圆锥曲线的位置关系(弦长、中点等)热点一 圆锥曲线的定义与标准方程1圆锥曲线的定义(1)椭圆：| PF1| PF2|2 a(2a|F1F2|)(2)双曲线：| PF1| PF2|2 a(2ab0)的左、右焦点为 F1， F2，左、右x2a2 y2b2顶点为 M， N，过 F2的直线 l 交 C 于 A， B 两点(异于 M， N)， AF1B 的周长为 4 ，且直线3AM 与 AN 的斜率之积为 ，则 C 的方程为( )23A. 1 B. 1x212 y28 x2
2、12 y24C. 1 D. y21x23 y22 x232答案 C解析 由 AF1B 的周长为 4 ，可知| AF1| AF2| BF1| BF2|4 a4 ，3 3解得 a ，则 M ， N( ，0)3 ( 3， 0) 3设点 A(x0， y0)(x0 )，3由直线 AM 与 AN 的斜率之积为 ，23可得 ，y0x0 3 y0x0 3 23即 y (x 3)，2023 20又 1，所以 y b2 ，x203 y20b2 20 (1 x203)由解得 b22.所以 C 的方程为 1.x23 y22(2)(2018龙岩质检)已知以圆 C：( x1) 2 y24 的圆心为焦点的抛物线 C1与圆
3、C 在第一象限交于 A 点， B 点是抛物线 C2： x28 y 上任意一点， BM 与直线 y2 垂直，垂足为 M，则| BM| AB|的最大值为( )A1 B2 C1 D8答案 A解析 因为圆 C：( x1) 2 y24 的圆心为 C(1,0)，所以可得以 C(1,0)为焦点的抛物线方程为 y24 x，由Error! 解得 A(1,2)抛物线 C2： x28 y 的焦点为 F(0,2)，准线方程为 y2，即有| BM| AB| BF| AB| AF|1，当且仅当 A， B， F(A 在 B， F 之间)三点共线时，可得最大值 1.思维升华 (1)准确把握圆锥曲线的定义和标准方程及其简单几何
4、性质，注意当焦点在不同坐标轴上时，椭圆、双曲线、抛物线方程的不同表示形式(2)求圆锥曲线方程的基本方法就是待定系数法，可结合草图确定跟踪演练 1 (1)(2018石嘴山模拟)已知双曲线 1( a0， b0)的左、右焦点分别为x2a2 y2b2F1， F2，以 F1， F2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为 ，则双曲线的方程为( )(3， 4)3A. 1 B. 1x216 y29 x23 y24C. 1 D. 1x24 y23 x29 y216答案 D解析 点(3,4)在以| F1F2|为直径的圆上， c5，可得 a2 b225.又点(3,4)在双曲线的渐近线 y x 上，ba .ba 43联
5、立，解得 a3 且 b4，可得双曲线的方程为 1.x29 y216(2)如图，过抛物线 y22 px(p0)的焦点 F 的直线 l 交抛物线于点 A， B，交其准线于点 C，若| BC|2| BF|，且| AF|3，则此抛物线方程为( )A y29 x B y26 xC y23 x D y2 x3答案 C解析 如图分别过点 A， B 作准线的垂线，分别交准线于点 E， D，设准线交 x 轴于点 G.设 a，则由已知得 2 a，|BF| |BC|由抛物线定义，得 a，故 BCD30，|BD|在 Rt ACE 中， |AF|3， 33 a，| AC|2| AE|，|AE| |AC|433 a6，从
6、而得 a1， 3 a3.|FC| p ，|FG|12|FC| 32因此抛物线方程为 y23 x，故选 C.热点二 圆锥曲线的几何性质1椭圆、双曲线中 a， b， c 之间的关系(1)在椭圆中： a2 b2 c2，离心率为 e .ca 1 (ba)2(2)在双曲线中： c2 a2 b2，离心率为 e .ca 1 (ba)22双曲线 1( a0， b0)的渐近线方程为 y x.注意离心率 e 与渐近线的斜率的x2a2 y2b2 ba关系例 2 (1)设 F1， F2分别是椭圆 E： 1( ab0)的左、右焦点，过点 F1的直线交椭圆x2a2 y2b2E 于 A， B 两点，若 AF1F2的面积是
7、BF1F2面积的三倍，cos AF2B ，则椭圆 E 的离心率35为( )A. B. C. D.12 23 32 22答案 D解析 设| F1B| k ，(k0)依题意可得| AF1|3 k，| AB|4 k，| AF2|2 a3 k，| BF2|2 a k.cos AF2B ，35在 ABF2中，由余弦定理可得|AB|2| AF2|2| BF2|22| AF2|BF2|cos AF2B，(4 k)2(2 a3 k)2(2 a k)2 (2a3 k)(2a k)，65化简可得( a k)(a3 k)0，而 a k0，故 a3 k0， a3 k，| AF2| AF1|3 k，| BF2|5 k，
8、| BF2|2| AF2|2| AB|2， AF1 AF2， AF1F2是等腰直角三角形5 c a，椭圆的离心率 e .22 ca 22(2)已知双曲线 M： 1( a0， b0)的左、右焦点分别为 F1， F2， 2 c.若双曲线x2a2 y2b2 |F1F2|M 的右支上存在点 P，使 ，则双曲线 M 的离心率的取值范围为( )asin PF1F2 3csin PF2F1A. B.(1，2 73 ) (1， 2 73 C(1,2) D.(1， 2答案 A解析 根据正弦定理可知 ，sin PF1F2sin PF2F1 |PF2|PF1|所以 ，即| PF2| |PF1|，|PF2|PF1|
9、a3c a3c2 a，|PF1| |PF2|所以 2 a，解得 ，(1a3c)|PF1| |PF1| 6ac3c a而 a c，即 a c，|PF1|6ac3c a整理得 3e24 e11，所以 1b0)的左、右焦点， Ax2a2 y2b2是 C 的左顶点，点 P 在过 A 且斜率为 的直线上， PF1F2为等腰三角形， F1F2P120，36则 C 的离心率为( )A. B. C. D.23 12 13 14答案 D解析 如图，作 PB x 轴于点 B.6由题意可设| F1F2| PF2|2，则 c1，由 F1F2P120，可得| PB| ，| BF2|1，3故| AB| a11 a2，ta
10、n PAB ，|PB|AB| 3a 2 36解得 a4，所以 e .ca 14故选 D.(2)已知双曲线 C： 1( a0， b0)的焦距为 2c，直线 l 过点 且与双曲线 C 的x2a2 y2b2 (23a， 0)一条渐近线垂直，以双曲线 C 的右焦点为圆心，半焦距为半径的圆与直线 l 交于 M， N 两点，若| MN| c，则双曲线 C 的渐近线方程为( )423A y x B y x2 3C y2 x D y4 x答案 B解析 方法一 由题意可设渐近线方程为 y x，ba则直线 l 的斜率 kl ，ab直线 l 的方程为 y ，ab(x 23a)整理可得 ax by a20.23焦点(
11、 c,0)到直线 l 的距离 d ，|ac 23a2|a2 b2 |ac 23a2|c则弦长为 2 2 c，c2 d2c2 (ac23a2)2c2 4237整理可得 c49 a2c212 a3c4 a40，即 e49 e212 e40，分解因式得 0.(e 1)(e 2)(e2 3e 2)又双曲线的离心率 e1，则 e 2，ca所以 ，ba c2 a2a2 (ca)2 1 3所以双曲线 C 的渐近线方程为 y x.3方法二 圆心到直线 l 的距离为 ，c2 (223c)2 c3 ，|ac 23a2|c c3 c23 ac2 a20， c2 a， b a，3渐近线方程为 y x.3热点三 直线与
12、圆锥曲线判断直线与圆锥曲线公共点的个数或求交点问题有两种常用方法(1)代数法：联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于 x， y 的方程组，消去 y(或 x)得一元二次方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标(2)几何法：画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数例 3 (2018衡水金卷调研)已知椭圆 1( ab0)的左、右焦点分别为 F1， F2，过 F1x2a2 y2b2的直线交椭圆于 A， B 两点(1)若直线 AB 与椭圆的长轴垂直，| AB| a，求椭圆的离心率；12(2)若直线 AB 的斜率为 1，| AB| ，求椭圆的短轴与长轴的比值2a3a2 b2解 (1)
13、由题意可知，直线 AB 的方程为 x c，| AB| a，2b2a 12即 a24 b2，故 e .ca a2 b2a2 1 b2a2 32(2)设 F1( c,0)，则直线 AB 的方程为 y x c，8联立Error! 消去 y，得( a2 b2)x22 a2cx a2c2 a2b20， 4 a4c24 a2(a2 b2)(c2 b2)8 a2b4.设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 x1 x2 ， x1x2 ，2a2ca2 b2 a2c2 b2a2 b2| AB| |x1 x2|1 1 2 x1 x22 4x1x2 28a2b4a2 b2 ，4ab2a2 b2 2a3a2
14、b2 a22 b2， ，b2a2 12 ，即椭圆的短轴与长轴之比为 .2b2a 22 22思维升华 解决直线与圆锥曲线问题的通法是联立方程，利用根与系数的关系，设而不求思想，弦长公式等简化计算；涉及中点弦问题时，也可用“点差法”求解跟踪演练 3 如图，过抛物线 M： y x2上一点 A(点 A 不与原点 O 重合)作抛物线 M 的切线 AB交 y 轴于点 B，点 C 是抛物线 M 上异于点 A 的点，设 G 为 ABC 的重心(三条中线的交点)，直线 CG 交 y 轴于点 D.设点 A(x0， x )(x00)20(1)求直线 AB 的方程；(2)求 的值|OB|OD|解 (1)因为 y2 x
15、，所以直线 AB 的斜率 k y2 x0.所以直线 AB 的方程 y x 2 x0(x x0)，20即 y2 x0x x ，20即直线 AB 的方程为 2x0x y x 0.20(2)由题意得，点 B 的纵坐标 yB x ，20所以 AB 的中点坐标为 .(x02， 0)9设 C(x1， y1)， G(x2， y2)，直线 CG 的方程为 x my x0.12由Error!联立得 m2y2( mx01) y x 0.1420 ( mx01) 24 m2 12 mx00，x204即 mx00.3所以点 D 的纵坐标 yD ，x02m x20643故 4 6.|OB|OD| |yB|yD| 3真题
16、体验1(2017北京)若双曲线 x2 1 的离心率为 ，则实数 m_.y2m 3答案 2解析 由双曲线的标准方程知，a1， b2 m， c ，1 m故双曲线的离心率 e ，ca 1 m 31 m3，解得 m2.2(2017全国改编)若双曲线 C： 1( a0， b0)的一条渐近线被圆( x2)x2a2 y2b22 y24 所截得的弦长为 2，则双曲线 C 的离心率为_答案 210解析 设双曲线的一条渐近线方程为 y x，ba圆的圆心为(2,0)，半径为 2，由弦长为 2，得圆心到渐近线的距离为 .22 12 3由点到直线的距离公式，得 ，解得 b23 a2.所以双曲线 C 的离心率|2b|a2
17、 b2 3e 2.ca c2a2 1 b2a23(2017全国改编)过抛物线 C： y24 x 的焦点 F，且斜率为 的直线交 C 于点 M(M 在3x 轴上方)， l 为 C 的准线，点 N 在 l 上且 MN l，则 M 到直线 NF 的距离为_答案 2 3解析 抛物线 y24 x 的焦点为 F(1,0)，准线方程为 x1.由直线方程的点斜式，可得直线 MF 的方程为 y (x1)3联立方程组Error!解得Error! 或Error!点 M 在 x 轴的上方， M(3,2 )3 MN l， N(1,2 )3| NF| 4，1 12 0 232|MF| MN|3(1)4. MNF 是边长为
18、 4 的等边三角形点 M 到直线 NF 的距离为 2 .34(2017山东)在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 1( a0， b0)的右支与焦点为 Fx2a2 y2b2的抛物线 x22 py(p0)交于 A， B 两点，若| AF| BF|4| OF|，则该双曲线的渐近线方程为_答案 y x22解析 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，由Error! 消去 x，11得 a2y22 pb2y a2b20， y1 y2 .2pb2a2又| AF| BF|4| OF|， y1 y2 4 ，即 y1 y2 p，p2 p2 p2 p，即 ， ，2pb2a2 b2a2 12 ba 22双曲线的
19、渐近线方程为 y x.22押题预测1已知 F1， F2是双曲线 1( a0， b0)的左、右焦点，过 F2作双曲线一条渐近线的x2a2 y2b2垂线，垂足为点 A，交另一条渐近线于点 B，且 ，则该双曲线的离心率为( )AF2 13F2B A. B. C. D262 52 3押题依据 圆锥曲线的几何性质是圆锥曲线的灵魂，其中离心率、渐近线是高考命题的热点答案 A解析 由 F2(c,0)到渐近线 y x 的距离为 d b，即| | b，则| |3 b. ba bca2 b2 AF2 BF2 在 AF2O 中，| | a , | | c，tan F2OA ，tan AOB ，化简可得OA OF2
20、ba 4ba2ba1 (ba)2a22 b2，即 c2 a2 b2 a2，即 e ，故选 A.32 ca 622已知椭圆 C： 1( ab0)的离心率为 ，且点 在该椭圆上x2a2 y2b2 12 (1， 32)(1)求椭圆 C 的方程；(2)过椭圆 C 的左焦点 F1的直线 l 与椭圆 C 相交于 A， B 两点，若 AOB 的面积为 ，求圆627心在原点 O 且与直线 l 相切的圆的方程押题依据 椭圆及其性质是历年高考的重点，直线与椭圆的位置关系中的弦长、中点等知识应给予充分关注解 (1)由题意可得 e ，ca 12又 a2 b2 c2，12所以 b2 a2.34因为椭圆 C 经过点 ，(
21、1，32)所以 1，1a29434a2解得 a24，所以 b23，故椭圆 C 的方程为 1.x24 y23(2)由(1)知 F1(1,0)，设直线 l 的方程为 x ty1，由Error! 消去 x，得(43 t2)y26 ty90，显然 0 恒成立，设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 y1 y2 ， y1y2 ，6t4 3t2 94 3t2所以| y1 y2| y1 y22 4y1y2 ，36t24 3t22 364 3t2 12t2 14 3t2所以 S AOB |F1O|y1 y2|12 ，6t2 14 3t2 627化简得 18t4 t2170，即(18 t217)( t
22、21)0，解得 t 1， t (舍去)21 21718又圆 O 的半径 r ，|0 t0 1|1 t2 11 t2所以 r ，故圆 O 的方程为 x2 y2 .22 1213A 组 专题通关1(2017全国)已知双曲线 C： 1( a0， b0)的一条渐近线方程为 y x，且x2a2 y2b2 52与椭圆 1 有公共焦点，则 C 的方程为( )x212 y23A. 1 B. 1x28 y210 x24 y25C. 1 D. 1x25 y24 x24 y23答案 B解析 由 y x，可得 .52 ba 52由椭圆 1 的焦点为(3,0)，(3,0)，x212 y23可得 a2 b29.由可得 a
23、24， b25.所以 C 的方程为 1.x24 y25故选 B.2(2018全国)设抛物线 C： y24 x 的焦点为 F，过点(2,0)且斜率为 的直线与 C 交23于 M， N 两点，则 等于( )FM FN A5 B6 C7 D8答案 D解析 由题意知直线 MN 的方程为 y (x2)，23联立直线与抛物线的方程，得Error!解得Error! 或Error!不妨设点 M 的坐标为(1,2)，点 N 的坐标为(4,4)又抛物线的焦点为 F(1,0)， (0,2)， (3,4)FM FN 03248.FM FN 14故选 D.3(2018全国)已知双曲线 C： y21， O 为坐标原点，
24、F 为 C 的右焦点，过 F 的直x23线与 C 的两条渐近线的交点分别为 M， N.若 OMN 为直角三角形，则| MN|等于( )A. B3 C2 D432 3答案 B解析 由已知得双曲线的两条渐近线方程为 y x.13设两渐近线的夹角为 2 ，则有 tan ，13 33所以 30.所以 MON2 60.又 OMN 为直角三角形，由于双曲线具有对称性，不妨设 MN ON，如图所示在 Rt ONF 中，| OF|2，则| ON| .3则在 Rt OMN 中，| MN| ON|tan 2 tan 603.3故选 B.4(2018华大新高考联盟质检)设椭圆 1( ab0)的焦点为 F1， F2，
25、 P 是椭圆上一x2a2 y2b2点，且 F1PF2 ，若 F1PF2的外接圆和内切圆的半径分别为 R， r，当 R4 r 时，椭圆的 3离心率为( )A. B. C. D.45 23 12 25答案 B解析 椭圆 1( ab0)的焦点为 F1( c,0)， F2(c,0)， P 为椭圆上一点，且 F1PF2x2a2 y2b2，| F1F2|2 c，根据正弦定理 2 R， 3 |F1F2|sin F1PF2 2csin 3 R c，233 R4 r， r c，3615由余弦定理，2| PF1|2| PF2|22| PF1|PF2|cos F1PF2，(2c)由| PF1| PF2|2 a， F
26、1PF2 ， 3可得| PF1|PF2| ，43(a2 c2)则由三角形面积公式 r |PF1|PF2|sin F1PF2，12(|PF1| |PF2| |F1F2|) 12可得 c ，(2a 2c)36 43(a2 c2) 32 e .ca 235(2017全国)已知 F 是抛物线 C： y28 x 的焦点， M 是 C 上一点， FM 的延长线交 y 轴于点 N.若 M 为 FN 的中点，则| FN|_.答案 6解析 如图，不妨设点 M 位于第一象限内，抛物线 C 的准线交 x 轴于点 A，过点 M 作准线的垂线，垂足为点 B，交 y 轴于点 P， PM OF.由题意知， F(2,0)，|
27、FO| AO|2.点 M 为 FN 的中点， PM OF，| MP| |FO|1.12又| BP| AO|2，| MB| MP| BP|3.由抛物线的定义知| MF| MB|3，故| FN|2| MF|6.6(2018北京)已知椭圆 M： 1( ab0)，双曲线 N： 1.若双曲线 N 的两条x2a2 y2b2 x2m2 y2n216渐近线与椭圆 M 的四个交点及椭圆 M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆 M 的离心率为_；双曲线 N 的离心率为_答案 1 23解析 方法一 双曲线 N 的渐近线方程为 y x，则 tan 60 ，双曲线 N 的离nm nm 3心率 e1满足 e 1 4
28、， e12.21n2m2由Error! 得 x2 .a2b23a2 b2如图，设 D 点的横坐标为 x，由正六边形的性质得| ED|2 x c，4 x2 c2. a2 b2，得 3a46 a2b2 b40，4a2b23a2 b23 20，解得 2 3.6b2a2 (b2a2) b2a2 3椭圆 M 的离心率 e2满足 e 1 42 .2b2a2 3 e2 1.3方法二 双曲线 N 的渐近线方程为 y x，nm则 tan 60 .nm 3又 c1 2 m，双曲线 N 的离心率为 2.m2 n2c1m如图，连接 EC，由题意知， F， C 为椭圆 M 的两焦点，设正六边形的边长为 1，则| FC|
29、2 c22，即 c21.又 E 为椭圆 M 上一点，则| EF| EC|2 a，即 1 2 a，3 a .1 32椭圆 M 的离心率为 1.c2a 21 3 37(2018衡阳模拟)已知抛物线 C： y22 px(p0)的焦点为 F，过点 F 的直线 l 与抛物线 C17交于 A， B 两点，且直线 l 与圆 x2 px y2 p20 交于 C， D 两点，若| AB|3| CD|，则直34线 l 的斜率为_答案 22解析 由题意得 F ，由 x2 px y2 p20，配方得 2 y2 p2，(p2， 0) 34 (x p2)所以直线 l 过圆心 ，可得| CD|2 p，(p2， 0)若直线
30、l 的斜率不存在，则 l： x ，| AB|2 p，| CD|2 p，不符合题意，p2直线 l 的斜率存在可设直线 l 的方程为 y k ， A(x1， y1)， B(x2， y2)，(xp2)联立Error!化为 x2 x 0，(p2pk2) p24所以 x1 x2 p ，2pk2所以| AB| x1 x2 p2 p ，2pk2由| AB|3| CD|，所以 2p 6 p，2pk2可得 k2 ，所以 k .12 228(2018百校联盟联考)已知 A， B 是椭圆 C 上关于原点对称的两点，若椭圆 C 上存在点P，使得直线 PA， PB 斜率的绝对值之和为 1，则椭圆 C 的离心率的取值范围
31、是_答案 32， 1)解析 不妨设椭圆 C 的方程为 1( ab0)， P(x， y)， A(x1， y1)，则x2a2 y2b2B ，( x1， y1)所以 1， 1，x2a2 y2b2 x21a2 y21b2两式相减得 ，x2 x21a2 y2 y21b2所以 ，y2 y21x2 x21 b2a2所以直线 PA， PB 斜率的绝对值之和为 2 ，|y y1x x1| |y y1x x1| |y2 y21x2 x21| 2ba18由题意得 1，2ba所以 a24 b24 a24 c2，即 3a24 c2，所以 e2 ，34又因为 00)的直线 l 与 C 交于 A， B 两点，| AB|8.
32、(1)求 l 的方程；(2)求过点 A， B 且与 C 的准线相切的圆的方程解 (1)由题意得 F(1,0)， l 的方程为 y k(x1)( k0)设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，由Error! 得 k2x2(2 k24) x k20. 16 k2160，故 x1 x2 .2k2 4k2所以| AB| AF| BF|( x11)( x21) .4k2 4k2由题意知 8，解得 k1(舍去)或 k1.4k2 4k2因此 l 的方程为 x y10.(2)由(1)得 AB 的中点坐标为(3,2)，所以 AB 的垂直平分线方程为 y2( x3)，即y x5.设所求圆的圆心坐标为( x0
33、， y0)，则Error!解得Error! 或Error!因此所求圆的方程为( x3) 2( y2) 216 或( x11) 2( y6) 2144.10(2018天津)设椭圆 1( ab0)的左焦点为 F，上顶点为 B.已知椭圆的离心率为x2a2 y2b2，点 A 的坐标为( b,0)，且| FB|AB|6 .53 2(1)求椭圆的方程；(2)设直线 l： y kx(k0)与椭圆在第一象限的交点为 P，且 l 与直线 AB 交于点 Q.若 |AQ|PQ|19sin AOQ(O 为原点)，求 k 的值524解 (1)设椭圆的焦距为 2c，由已知有 ，c2a2 59又由 a2 b2 c2，可得
34、2a3 b.由已知可得| FB| a，| AB| b，2由| FB|AB|6 ，可得 ab6，从而 a3， b2.2所以椭圆的方程为 1.x29 y24(2)设点 P 的坐标为( x1， y1)，点 Q 的坐标为( x2， y2)由已知有 y1y20，故| PQ|sin AOQ y1 y2.又因为| AQ| ，而 OAB ，y2sin OAB 4所以| AQ| y2.2由 sin AOQ，可得 5y19 y2.|AQ|PQ| 524由方程组Error!消去 x，可得 y1 .6k9k2 4由题意求得直线 AB 的方程为 x y20，由方程组Error!消去 x，可得 y2 .2kk 1由 5y
35、19 y2，可得 5(k1)3 ，两边平方，9k2 4整理得 56k250 k110，解得 k 或 k .12 1128所以 k 的值为 或 .12 112820B 组 能力提高11(2018长沙模拟)2000 多年前，古希腊大数学家阿波罗尼奥斯(Apollonius)发现：平面截圆锥的截口曲线是圆锥曲线已知圆锥的高为 PH， AB 为地面直径，顶角为 2 ，那么不过顶点 P 的平面与 PH 夹角 a 时，截口曲线为椭圆；与 PH 夹角 a 时，截口曲线 2为抛物线；与 PH 夹角 a0 时，截口曲线为双曲线如图，底面内的直线 AM AB，过 AM的平面截圆锥得到的曲线为椭圆，其中与 PB 的
36、交点为 C，可知 AC 为长轴那么当 C 在线段PB 上运动时，截口曲线的短轴端点的轨迹为( )A圆的一部分 B椭圆的一部分C双曲线的一部分 D抛物线的一部分答案 D解析 如图，因为对于给定的椭圆来说，短轴的端点 Q 到焦点 F 的距离等于长半轴 a，但短轴的端点 Q 到直线 AM 的距离也是 a，即说明短轴的端点 Q 到定点 F 的距离等于到定直线 AM的距离，且点 F 不在定直线 AM 上，所以由抛物线的定义可知，短轴的端点的轨迹是抛物线的一部分，故选 D.12(2018河南省名校联考)过双曲线 1( a0， b0)的左焦点且垂直于 x 轴的直线x2a2 y2b2与双曲线交于 A， B 两
37、点， D 为虚轴的一个端点，且 ABD 为钝角三角形，则此双曲线离心率的取值范围为_答案 (1， )( ，)2 2 2解析 设双曲线 1( a0， b0)的左焦点 F1( c,0)，x2a2 y2b221令 x c，可得 y b ，c2a2 1 b2a设 A ， B ， D(0， b)，( c，b2a) ( c， b2a)可得 ，AD (c， b b2a) ， ，AB (0， 2b2a) DB ( c， b b2a)若 DAB 为钝角，则 b，即有 a2b2 c2 a2，可得 c21，可得 10，由 e ，可得 e44 e220，ca又 e1，可得 e ；2 2又 0，AB DB 2b2a(b
38、 b2a) DBA 不可能为钝角综上可得， e 的取值范围为(1， )( ，)2 2 213已知直线 MN 过椭圆 y21 的左焦点 F，与椭圆交于 M， N 两点，直线 PQ 过原点 Ox22与 MN 平行，且与椭圆交于 P， Q 两点，则 _.|PQ|2|MN|答案 2 2解析 方法一 特殊化，设 MN x 轴，则| MN| ，| PQ|24， 2 .2b2a 22 2 |PQ|2|MN| 42 2方法二 由题意知 F(1,0)，当直线 MN 的斜率不存在时，| MN| ，| PQ|2 b2，2b2a 2则 2 ；|PQ|2|MN| 222当直线 MN 的斜率存在时，设直线 MN 的斜率为
39、 k，则 MN 的方程为 y k(x1)， M(x1， y1)， N(x2， y2)，联立方程Error!整理得(2 k21) x24 k2x2 k220， 8 k280.由根与系数的关系，得x1 x2 ， x1x2 ，4k22k2 1 2k2 22k2 1则| MN| 1 k2x1 x22 4x1x2 .22k2 12k2 1直线 PQ 的方程为 y kx， P(x3， y3)， Q(x4， y4)，则Error! 解得 x2 ， y2 ，21 2k2 2k21 2k2则| OP|2 x y ，23 2321 k21 2k2又| PQ|2| OP|，所以| PQ|24| OP|2 ，81 k
40、21 2k2所以 2 .|PQ|2|MN| 2综上， 2 .|PQ|2|MN| 214(2017天津)已知椭圆 1( ab0)的左焦点为 F( c,0)，右顶点为 A，点 E 的坐x2a2 y2b2标为(0， c)， EFA 的面积为 .b22(1)求椭圆的离心率；(2)设点 Q 在线段 AE 上，| FQ| ，延长线段 FQ 与椭圆交于点 P，点 M， N 在 x 轴上，3c2PM QN，且直线 PM 与直线 QN 间的距离为 c，四边形 PQNM 的面积为 3c.求直线 FP 的斜率；求椭圆的方程解 (1)设椭圆的离心率为 e.由已知可得 (c a)c .12 b22又由 b2 a2 c2
41、，可得 2c2 ac a20，23即 2e2 e10，解得 e1 或 e .12又因为 00)，则直线 FP 的斜率为 .1m由(1)知 a2 c，可得直线 AE 的方程为 1，x2c yc即 x2 y2 c0，与直线 FP 的方程联立，可得 x ， y ，2m 2cm 2 3cm 2即点 Q 的坐标为 .(2m 2cm 2 ， 3cm 2)由已知| FQ| ，3c2有 2 2 2，2m 2cm 2 c (3cm 2) (3c2)整理得 3m24 m0，所以 m (m0 舍去)，43即直线 FP 的斜率为 .34由 a2 c，可得 b c，3故椭圆方程可以表示为 1.x24c2 y23c2由得
42、直线 FP 的方程为 3x4 y3 c0，与椭圆方程联立得Error!消去 y，整理得 7x26 cx13 c20，解得 x (舍去)或 x c.因此可得点 P ，13c7 (c， 3c2)进而可得| FP| ，c c2 (3c2)2 5c2所以| PQ| FP| FQ| c.5c2 3c2由已知，线段 PQ 的长即为 PM 与 QN 这两条平行直线间的距离，故直线 PM 和 QN 都垂直于直线 FP.因为 QN FP，所以| QN| FQ|tan QFN ，3c2 34 9c824所以 FQN 的面积为 |FQ|QN| .12 27c232同理 FPM 的面积等于 .75c232由四边形 PQNM 的面积为 3c，得 3 c，75c232 27c232整理得 c22 c.又由 c0，得 c2.所以椭圆的方程为 1.x216 y212
