1、16 算法、概率与统计中的创新考法与学科素养提分策略一 探究命题新情景考查应用能力此类问题多以现实中的生活实例或最新时事为背景考查概率、统计的求解及应用2017年央视315晚会曝光了一些饲料企业瞒天过海地往饲料中非法添加各种“禁药”，包括“人用西药”，让所有人惊出一身冷汗某地区质量监督部门对该地甲、乙两家畜牧用品生产企业进行了突击抽查，若已知在甲企业抽查了一次，抽中某种动物饲料的概率为 ，34用数字1表示抽中该动物饲料产品，用数字0来表示没有抽中；在乙企业抽查了两次，每次抽中该动物饲料的概率为 ，用数字2表示抽中该动物饲料产品，用数字0来表示没有抽中23该部门每次抽查的结果相互独立假设该部门完
2、成以上三次抽查(1)求该部门恰好有一次抽中动物饲料这一产品的概率；(2)设 X表示三次抽查所记的数字之和，求随机变量 X的分布列和数学期望解析：记“恰好抽中一次动物饲料这一产品”为事件 A，“在甲企业抽中”为事件 B，“在乙企业第一次抽中”为事件 C，“在乙企业第二次抽中”为事件 D，则由题意知 P(B) ， P(C) P(D) .34 23(1)因为 A B C D，CD BD BC所以 P(A) P(B C D) P(B ) P( C ) P( D) P(B)P( )P( ) P( )P(C)PCD BD BC CD BD BC C D B( ) P( )P( )P(D) (1 )(1 )
3、(1 ) (1 )(1 )(1 ) .D B C34 23 23 34 23 23 34 23 23 736(2)根据题意， X的所有可能取值为0,1,2,3,4,5.所以 P(X0) P( )1 P(B)1 P(C)1 P(D)(1 )(1 )(1 )BCD34 23 23，136P(X1) P(B ) P(B)1 P(C)1 P(D) (1 )(1 ) ，CD34 23 23 112P(X2) P( C D) P( C ) P( D)(1 ) (1 )(1 )(1 )BD BC BD BC34 23 23 34 23 23 ，192P(X3) P(BC B D) P(BC ) P(B D)
4、 (1 ) (1 ) ，D C D C34 23 23 34 23 23 13P(X4) P( CD)1 P(B)P(C)P(D)(1 ) ，B34 23 23 19P(X5) P(BCD) P(B)P(C)P(D) .34 23 23 13故 X的分布列为X 0 1 2 3 4 5P 136 112 19 13 19 13所以 E(X)0 1 2 3 4 5 .136 112 19 13 19 13 4121点评 (1)利用独立事件同时发生的概率公式与互斥事件的概率公式，即可求出该部门恰好有一次抽中动物饲料这一产品的概率(2) X的所有可能取值为0,1,2,3,4,5，根据事件的独立性和互斥
5、性，即可求出 X取各个值时的概率，从而写出 X的分布列；利用数学期望的定义，即可求出 E(X)对点训练(2018南宁模拟)微信已成为人们常用的社交软件，“微信运动”是微信里由腾讯开发的一个类似计步数据库的公众号手机用户可以通过关注“微信运动”公众号查看自己每天行走的步数，同时也可以和好友进行运动量的 PK或点赞现从小明的微信好友中随机选取40人(男、女各20人)，记录他们某一天行走的步数，并将数据整理如下表：步数性别 02 0002 0015 0005 0018 0008 00110 00010000男 1 2 4 7 6女 0 3 9 6 2(1)若某人一天行走的步数超过8 000步被评定为
6、“积极型”，否则被评定为“懈怠型”，根据题意完成下面的22列联表，并据此判断能否有90%的把握认为“评定类型”与“性别”有关？积极型 懈怠型 总计男女总计3(2)在小明这40位好友中，从该天行走的步数超过10 000步的人中随机抽取3人，设抽取的女性有 X人，求 X的分布列及数学期望 E(X)附： K2 ，nad bc2a bc da cb dP(K2 k) 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828解析：(1)22列联表如下：积极型 懈怠型 总计男 13 7 20女 8 12 20总计 21 19 40 K2 2.5
7、062.706，401312 78220202119没有90%的把握认为“评定类型”与“性别”有关(2)由已知得，小明这40位好友中，该天行走的步数超过10 000步的人中男性有6人，女性有2人，现从中抽取3人，抽取的女性人数 X服从超几何分布，X的所有可能取值为0,1,2，P(X0) ， P(X1) ， P(X2) ，C36C38 2056 C12C26C38 3056 C16C2C38 656 X的分布列如下：X 0 1 2P 2056 3056 656 E(X)0 1 2 .2056 3056 656 34提分策略二 引入数学文化考学科素养数学文化与算法、概率的融合命题是高考的热点，多为
8、选择、填空题(2018郑州模拟)我国古代数学典籍九章算术“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半问何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出结果 n( )4A5 B4C3 D2解析： n1， S2； n2， S2 2 ； n3， S 4 ； n4， S 12 92 92 14 354 354 18810，结束循环则输出的 n为4，故选B.答案：B点评 从中国古代文学作品中选取素材考查数学问题，丰富了数学文化题的取材途径插图的创新是本题的一个亮点，其一，增强了数学问题的生活化，使数学的应用更贴近考生的生活实际；其二，有利于考生分析问题和解决
9、问题，这对稳定考生在考试中的情绪和心态起到了较好的效果对点训练欧阳修的卖油翁中写到：“(翁)乃取一葫芦，置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止若铜钱是直径为3 cm的圆，中间有边长为1 cm的正方形孔，若随机向铜钱上滴一滴油(油滴的直径忽略不计)，则正好落入孔中的概率是_5解析：依题意，所求概率为 P .12 322 49答案：49授课提示：对应学生用书第157页一、选择题1(2018福州模拟)如图所示的程序框图的算法思路源于我国古代著名的孙子算经图中的Mod( N， m) n表示正整数 N除以正整数 m后的余数为 n，例如Mod(
10、10,3)1.执行该程序框图，则输出的 i等于( )A23 B38C44 D58解析：Mod(11,3)2成立，Mod(11,5)3不成立， i12；Mod(12,3)2不成立， i13；Mod(13,3)2不成立， i14；Mod(14,3)2成立，Mod(14,5)3不成立， i15；Mod(15,3)2不成立， i16；Mod(16,3)2不成立， i17；Mod(17,3)2成立，Mod(17,5)3不成立， i18；Mod(18,3)2不成立， i19；Mod(19,3)2不成立， i20；Mod(20,3)2成立，Mod(20,5)3不成立， i21；Mod(21,3)2不成立，
11、i22；Mod(22,3)2不成立， i23；Mod(23,3)2成立，Mod(23,5)3成立，Mod(23,7)2成立，结束循环故输出的 i23.故选A.答案：A2(2018益阳、湘潭联考)秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)6人，他在所著的数书九章中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例若输入 n， x的值分别为3,3，则输出 v的值为( )A15 B16C47 D48解析：执行程序框图， n3， x3， v1， i20， v1325， i10， v53116， i00， v163048， i10，
12、退出循环，输出 v的值答案：D3宋元时期数学名著算学启蒙中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等下图是源于其思想的一个程序框图，若输入的 a， b分别为5,2，则输出的 n( )A2 B3C4 D5解析：程序运行如下： n1， a5 ， b4， a b，继续循环；52 152n2， a ， b8， a b，继续循环；152 12 152 454n3， a ， b16， a b，继续循环；454 12 454 13587n4， a ， b32，此时， a b.1358 12 1358 40516输出 n4，故选C.答案：C4(2018福州模拟)在检测一批
13、相同规格质量共500 kg的航空用耐热垫片的品质时，随机抽取了280片，检测到有5片非优质品，则这批航空用耐热垫片中非优质品的质量约为( )A2.8 kg B8.9 kgC10 kg D28 kg解析：由题意，可知抽到非优质品的概率为 ，所以这批航空用耐热垫片中非优质品5280的质量约为500 8.9 kg.5280 12514答案：B二、填空题5某小区有两个相互独立的安全防范系统甲和乙，系统甲和系统乙在任意时刻发生故障的概率分别为 和 p.若在任意时刻恰有一个系统不发生故障的概率为0.25，则 p_18_.解析：记“系统甲发生故障”“系统乙发生故障”分别为事件 A， B，“任意时刻恰有一个系
14、统不发生故障”为事件 C，则 P(C) P( )P(B) P(A)P( ) p (1 p)A B (118) 180.25，解得 p .16答案：166某商场在儿童节举行回馈顾客活动，凡在商场消费满100元者即可参加射击赢玩具活动，具体规则如下：每人最多可射击3次，一旦击中，则可获奖且不再继续射击，否则一直射击到3次为止设甲每次击中的概率为 p(p0)，射击次数为 ，若 的数学期望 E( ) ，则 p的取值范围是_74解析：由已知得 P( 1) p， P( 2)(1 p)p， P( 3)(1 p)2则 E( ) p2(1 p)p3(1 p)2 p23 p3 ，解得 p 或 p ，又 p(0,1
15、)，所以 p .74 52 12 (0， 12)答案：(0， )12三、解答题87(2018洛阳模拟)随着移动互联网的快速发展，基于互联网的共享单车应运而生某市场研究人员为了了解共享单车运营公司 M的经营状况，对该公司6个月内的市场占有率进行了统计，并绘制了相应的折线图. (1)由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合月度市场占有率 y与月份代码 x之间的关系求 y关于 x的线性回归方程，并预测 M公司2017年4月份(即 x7时)的市场占有率(2)为进一步扩大市场，公司拟再采购一批单车现有采购成本分别为1 000元/辆和1 200元/辆的 A， B两款车型可供选择，按规定每辆单车最多使用4年，
16、但由于多种原因(如骑行频率等)会导致车辆使用年限各不相同考虑到公司运营的经济效益，该公司决定先对两款车型的单车各100辆进行科学模拟测试，得到两款单车使用年限频数表如下：使用年限车型 1年 2年 3年 4年 总计A 20 35 35 10 100B 10 30 40 20 100经测算，平均每辆单车每年可以带来收入500元不考虑除采购成本之外的其他成本，假设每辆单车的使用年限都是整数，且以频率作为每辆单车使用年限的概率如果你是 M公司的负责人，以每辆单车产生利润的期望值为决策依据，你会选择采购哪款车型？参考公式：回归直线方程为 x ，其中 ， .y b a b ni 1xiyi nxyni 1
17、x2i nx2 a y b x解析：(1)由数据计算可得 3.5，x1 2 3 4 5 66 16.y11 13 16 15 20 216由公式计算可得， 2， 1623.59.b a 月度市场占有率 y与月份代码 x之间的线性回归方程为 2 x9.y 9当 x7时， 27923.y 故 M公司2017年4月份的市场占有率预计为23%.(2)法一：由频率估计概率，每辆 A款车可使用1年，2年，3年和4年的概率分别为0.2,0.35,0.35和0.1，每辆 A款车产生利润的期望值为E(X)(5001 000)0.2(1 0001 000)0.35(1 5001 000)0.35(2 0001 0
18、00)0.1175(元)由频率估计概率，每辆 B款车可使用1年，2年，3年和4年的概率分别为0.1,0.3,0.4和0.2.每辆 B款车产生利润的期望值为E(Y)(5001 200)0.1(1 0001 200)0.3 (1 5001 200)0.4(2 0001 200)0.2150(元) E(X) E(Y)，应该采购 A款单车法二：由频率估计概率，每辆 A款车可使用1年，2年，3年和4年的概率分别为0.2,0.35,0.35和0.1，每辆A款车可使用年限的期望值为E(X)10.220.3530.3540.12.35(年)，每辆 A款车产生利润的期望值为2.355001 000175(元)由
19、频率估计概率，每辆 B款车可使用1年，2年，3年和4年的概率分别为0.1,0.3,0.4和0.2，每辆 B款车可使用年限的期望值为E(Y)10.120.330.440.22.7(年)，每辆 B款车产生利润的期望值为2.75001 200150(元)应采购 A款单车8(2018洛阳模拟)雾霾天气对人体健康有伤害，应对雾霾污染、改善空气质量的首要任务是控制PM2.5，要从压减燃煤、严格控车、调整产业、强化管理、联防联控、依法治理等方面采取重大举措，聚焦重点领域，严格指标考核某省环保部门为加强环境执法监管，认真进行责任追究，派遣四个不同的专家组对A，B，C三座城市进行治霾落实情况检查(1)若每个专家
20、组随机选取一个城市进行检查，四个专家组选取的城市可以相同，也可以不同，且每一个城市必须有专家组选取，求 A城市恰有两个专家组选取的概率；(2)在检查的过程中专家组从 A城市的居民中随机抽取出400人进行是否户外作业人员与是否患有呼吸道疾病进行了统计，统计结果如下：10分类 患呼吸道疾病 未患呼吸道疾病 合计户外作业人员 40 60 100非户外作业人员 60 240 300合计 100 300 400根据上面的统计结果，我们是否有超过99%的把握认为“户外作业”与“患呼吸道疾病”有关？附： K2nad bc2a bc da cb dP(K2 k0) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.
21、10k0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706P(K2 k0) 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k0 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828解析：(1)若每个专家组随机选取一个城市进行检查，四个专家组选取的城市可以相同，也可以不同，且每一个城市必须有专家组选取，共有36种不同方法，若设四个专家组分别为1,2,3,4，则各种选取方法如下表所示：A B C A B C A B C1,2 3 4 3 1,2 4 3 4 1,21,2 4 3 4 1,2 3 4 3 1,21,3 2 4 2 1,3 4 2 4 1,31,3 4 2 4 1,3 2 4 2 1,33,4 1 2 1 3,4 2 1 2 3,43,4 2 1 2 3,4 1 2 1 3,4其中， A城市恰有两个专家组选取的有12种不同方法，如表中前三列所示故 A城市恰有两个专家组选取的概率 P .1236 13(2)K2的观测值 k 40040240 6060210030010030016166.635，所以有超过99%的把握认为“户外作业”与“患呼吸道病”有关
