1、1第 7 讲 三角函数的图像与性质1.(1)2017全国卷 改编 已知曲线 C1:y=cos x,C2:y=sin ,则为了得到曲线 C2,(2+23)要把 C1上各点的横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移 个单位长度 . (2)2016全国卷 函数 y=sin x- cos x 的图像可由函数 y=sin x+ cos x 的图像3 3至少向右平移 个单位长度得到 . 试做 命题角度 三角函数的图像变换关键一:化为同名三角函数 .关键二:两种途径,“先平移后伸缩”和“先伸缩后平移” .关键三: x+= .(+)2.(1)2017全国卷 函数 f(x)=sin2x+ co
2、s x- 的最大值是 . 334( 0,2)(2)2014全国卷 函数 f(x)=sin(x+2 )-2sin cos(x+ )的最大值为 . 试做 命题角度 三角函数的最值问题方法一:利用诱导公式、三角恒等变换,将函数化为关于 sin x 或 cos x 的二次函数,采用配方法求最值 .2方法二:利用诱导公式、辅助角公式将函数化为 f(x)=Asin(x+ )+b(或 f(x)=Acos(x+ )+b), 0 的形式,再根据三角函数的有界性求最值 .3.(1)2018全国卷 若 f(x)=cos x-sin x 在 -a,a是减函数,则 a 的最大值是 ( )A. B. C. D.4 2 3
3、4(2)2015全国卷 函数 f(x)=cos(x+ )的部分图像如图 M2-7-1 所示,则 f(x)的单调递减区间为 ( )图 M2-7-1A. ,kZ(-14,+34)B. ,kZ(2-14,2+34)C. ,kZ(-14,+34)D. ,kZ(2-14,2+34)试做 命题角度 三角函数的单调性(1)将函数化为 f(x)=Asin(x+ )+b(或 f(x)=Acos(x+ )+b), 0 的形式;(2)把 x+ ( 0)看成整体,利用正弦函数、余弦函数的单调性求解 .4.(1)2017全国卷 设函数 f(x)=cos ,则下列结论错误的是 ( )(+3)A.f(x)的一个周期为 -2
4、B.y=f(x)的图像关于直线 x= 对称833C.f(x+)的一个零点为 x=6D.f(x)在 单调递减(2,)(2)2016全国卷 已知函数 f(x)=sin(x+ ) 0,| ,x=- 为 f(x)的零点,2 4x= 为 y=f(x)图像的对称轴 ,且 f(x)在 , 单调,则 的最大值为 ( )4 18536A.11 B.9C.7 D.5试做 命题角度 三角函数性质的综合考查 解决三角函数图像与性质问题:关键一,将函数化为 y=Asin(x+ )+b(或 y=Acos(x+ )+b), 0 的形式;关键二,把 x+ ( 0)看作一个整体代入 y=sin x 或 y=cos x 的单调区
5、间或对称轴方程;关键三,最小正周期为 .2 对称与周期:正弦曲线、余弦曲线的相邻两个对称中心、相邻两条对称轴之间的距离是个周期,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是 个周期;正切曲线相邻两个对称中心之间12 14的距离是 个周期 .12小题 1 三角函数的概念、诱导公式及同角关系式1 (1)在平面直角坐标系中,若角 的终边经过点 P sin ,cos ,则 sin( + )= ( )53 53A.- B.-12 324C. D.12 32(2)若 (0,),sin( - )+cos = ,则 sin - cos 的值为 ( )23A. B.-23 23C. D.-43 43听课笔记 【考场点拨】
6、应用同角三角函数的基本关系式及诱导公式求三角函数值的失分点:(1)确定不了函数值的符号,如由 sin2= 求 sin 的值;(2)诱导公式不熟,记忆与使用错误 .12【自我检测】1.若 cos = ,则 sin =( )(+6)45 (-3)A. B.45 35C.- D.-35 452.已知角 的始边与 x 轴的非负半轴重合,顶点与坐标原点重合,终边过点 P(3,4),则= . sin+2cossin-cos3.已知 是第三象限角,且 sin = ,则 tan + = . (-4)35 4小题 2 三角函数的图像及应用2 (1)设 0,若将函数 y=2cos 的图像向右平移 个单位长度后与函
7、数 y=2sin(+5) 5的图像重合 ,则 的最小值是 ( )(+5)5A. B. C. D.12 32 52 72(2)函数 f(x)=Asin(x+ )(A0, 0,0 0,| ,其图像与直线 y=3 的相邻两个交点的2距离为 ,若 f(x)2 对任意 x 恒成立,则 的取值范围是 ( )(24,3)A. B.(6,2) 6,3C. D.(12,3) 12,64.已知函数 f(x)=Acos(x+ )的部分图像如图 M2-7-3 所示, f =- ,则 f(0)= . (2) 23图 M2-7-3小题 3 三角函数的性质及应用3 (1)已知函数 f(x)=2sin(x+ )( 0,0 0
8、,| 0)的形式,再对比 y=sin x 的性质,即把 x+ 看成一个整体处理,但是一定要注意 0,否则易出错;其次一定要结合图像进行分析 .【自我检测】1.若已知函数 f(x)=sin ( 0)的最小正周期为 ,则该函数的图像 ( )(+3)A.关于点 对称 B.关于点 对称(12,0) (6,0)C.关于直线 x= 对称 D.关于直线 x= 对称12 32.若函数 f(x)=sin x- cos x ( 0)在 上单调递增 ,则 的取值不可能为 ( )(-2,2)A. B. C. D.14 15 12 343.设函数 f(x)=cos( x+ ),其中常数 满足 - 0, 0)的图像上相邻
9、两个最高点的距离为 6,P是该函数图像上的一个最低点,则该函数图像的一个对称中心是 ( )(32,-2)A.(1,0) B.(2,0)C.(3,0) D.(4,0)小题 4 三角函数的值域与最值问题84 (1)已知将函数 f(x)=2sin cos x+ 的图像向左平移 个单位长度后得到函数(-6) 12 512y=g(x)的图像,则 g(x)在 上的值域为 ( )-3,3A. B.-12,1 -1,12C. D.- 32,1 -12, 32(2)函数 f(x)=2sin2 +2sin cos 在区间 上的最小值为 . (+4) (4-) (4-) 2,34听课笔记 【考场点拨】有关三角函数的
10、值域与最值问题的解题策略:(1)形如 y=asin x+bcos x+c 的三角函数,要根据三角恒等变换把函数化为 y=Asin(x+ )+k 的形式,再借助三角函数的图像与性质确定值域与最值;(2)形如 y=asin2x+bsin x+c 的三角函数,转化为二次函数去求解;(3)形如y=asin xcos x+b(sin xcos x)+c 的三角函数,可先设 t=sin xcos x,再转化为关于 t的二次函数去求解 .【自我检测】1.函数 y=cos 2x+2sin x 的最大值为 ( )A. B.1 C. D.212 322.将函数 f(x)= sin xcos x+cos2x- 的图
11、像向左平移 个单位长度得到函数 y=g(x)的图312 512像,则 g(x)在 上的值域为 ( )-12,3A. B.-12,1 -1,12C. D.- 32,12 -12, 3293.已知函数 f(x)=sin x+ cos x ( 0)在区间 上的最小值为 -1,则 = . 3 0,64.已知函数 y=cos2x+ sin 2x- ,x ,则该函数的值域为 . 32 12 (0,2)10第 7 讲 三角函数的图像与性质典型真题研析1.(1) (2) 解析 (1)曲线 C1,即 y=sin ,把其上各点的横坐标缩短到原来12 12 23 (+2)的 倍,纵坐标不变,得曲线 y=sin ,再
12、把该曲线向左平移 个单位长度,得到 y=sin12 (2+2) 12=sin 的图像 .2(+12)+2 (2+23)(2)函数 y=sin x- cos x=2sin x- 的图像可由函数 y=sin x+ cos x=2sin x+ 的图33 3 3像至少向右平移 个单位长度得到 .232.(1)1 (2)1 解析 (1) f(x)=-cos2x+ cos x+ =- +11,当且仅当 cos x= ,即314 (cos- 32)2 32x= 时 ,等号成立,所以最大值为 1.6(2)函数 f(x)=sin(x+2 )-2sin cos(x+ )=sin(x+ )+ -2sin cos(x
13、+ )=sin(x+ )cos - cos(x+ )sin = sin x,故其最大值为 1.3.(1)A (2)D 解析 (1) f(x)=cos x-sin x= = cos ,由2(coscos4-sinsin4) 2 (+4)2k x+ +2k( kZ),得函数 f(x)的单调递减区间为 (kZ) .函数4 2-4,34+2f(x)在 上单调递减 ,得 a 的最大值是 .-,4(2)由图知 = - =1,所以 T=2,即 =2,所以 = .25414 2|因为函数 f(x)的图像过点 ,(14,0)所以当 = 时, += +2k, kZ,4 2解得 = +2k, kZ;411当 =-
14、时, +=- +2k, kZ,4 2解得 =- +2k, kZ .4所以 f(x)=cos ,由 2k 0,cos 0.因为(sin - cos )2=1-2sin cos = ,169所以 sin - cos = .故选 C.43【自我检测】1.D 解析 cos = , sin =sin =-cos =- .故选 D.(+6)45 (-3) (+6-2) (+6) 452.10 解析 由角 的终边过点 P(3,4),得 tan = ,所以有 = =43 +2- +2-1=10.43+243-13. 解析 由题意知 ,sin =sin =-cos = , cos =- . 是43 (-4) (
15、+4-2) (+4)35 (+4) 35第三象限角, sin =- ,故 tan = = .(+4) 45 (+4)-45-3543小题 213例 2(1)C (2)C 解析 (1)函数 y=2cos 的图像向右平移 个单位长度后,得到(+5) 5y=2cos 的图像,其与函数 y=2sin =2sin =2cos 的(-5+5) (+5) (-310+2) (-310)图像重合,则 - + =- +2k, kZ,解得 = -10k,kZ .因为 0,所以当 k=0 时, 取5 5 310 52得最小值,此时 = .故选 C.52(2)由题意可得 A=2,函数 f(x)的周期 T 满足 T=
16、= - = ,= 2,34 34 21112634当 x= 时, x+= 2 += 2k + (kZ),6 6 2= 2k + (kZ), 0 0,| ,2其图像与直线 y=3 的相邻两个交点的距离为 ,14 最小正周期 T=,= =2.2若 f(x)2,则 sin(2x+ ) ,12 +2k 0,|2,所以 0 0),2 (-4)令 - +2k x- 2 k + ,kZ,得 - + x + ,kZ .2 4 2 42 342f (x)=sin x- cos x ( 0)在 上单调递增,(-2,2) 易知 - - 且 ,4 2 34 2 00,所以排除选项 C,D;当 x=时 ,y=0,所以排
17、除选项 B.故选 A.2例 3 配例 3 使用 已知函数 f(x)=2sin(x+ )+1 ,其图像与直线 y=-1 的(0,|2)相邻两个交点的距离为 ,若 f(x)1 对任意 x 恒成立,则 的取值范围是 ( )(-12,3)A. B.(6,3) 12,3C. D.12,2 6,3解析 D 函数 f(x)=2sin(x+ )+1 0,| 的图像与直线 y=-1 的相邻两个交2点的距离为 ,故函数 f(x)的周期为 =,所以 = 2,所以 f(x)=2sin(2x+ )+1.2若 f(x)1 对任意 x 恒成立,即当 x 时 ,sin(2x+ )0 恒成立,(-12,3) (-12,3)则有 2k2 + 0)的最小正周期为 ,将函数 y=sin(+3) 2的图像向右平移 个单位长度,得到函数 y=f(x)的图像,则函数 f(x)在 上的(+6) 4 -4,4值域为 ( )A. B.- 32,1 -12,12C.-1,1 D.-1,12解析 D 已知函数 y=2tan ( 0)的最小正周期为 ,则 = ,= 2,则将函数(+3) 2 2y=sin 的图像向右平移 个单位长度, 得到函数 y=f(x)=sin =sin(2+6) 4 2(-4)+6的图像 .x , 2x- ,则函数 f(x)在 上的值域为 .故(2-3) -4,4 3 -56,6 -4,4 -1,12选 D.
