1、1第 6 讲 平面向量1.(1)2018全国卷 在 ABC 中, AD 为 BC 边上的中线, E 为 AD 的中点,则 = ( )A. - B. - C. + D. +3414 1434 3414 1434(2)2018全国卷 已知向量 a=(1,2),b=(2,-2),c=(1, ).若 c(2 a+b),则 = . 试做 命题角度 向量的线性运算 观察各向量的位置; 寻找相应的三角形或多边形; 运用三角形法则或平行四边形法则找关系; 用好平面向量的基本定理和共线定理 .2.(1)2017全国卷 已知 ABC 是边长为 2 的等边三角形, P 为平面 ABC 内一点,则 ( + )的最小值
2、是 ( ) A.-2 B.- C.- D.-132 43(2)2018全国卷 已知向量 a,b 满足 |a|=1,ab=-1,则 a(2a-b)=( )A.4 B.3 C.2 D.0试做 命题角度 数量积公式及应用2 根据需要,灵活变形数量积公式求解 . 利用数量积与共线定理可以解决垂直、平行、夹角问题 . 建立坐标系,利用平面向量的坐标运算解题 .小题 1 平面向量的线性运算1 (1)已知 a=(2,m),b=(1,-2),若 a( a+2b),则 m= ( )A.-4 B.4C.0 D.-2(2)在 ABC 中,点 D 是边 BC 上任意一点, M 是线段 AD 的中点,若存在实数 和 ,
3、使得= + ,则 += ( )A. B.-12 12C.2 D.-2听课笔记 【考场点拨】向量的线性运算问题的两点注意:(1)注意尽可能地将向量转化到同一个平行四边形或三角形中,选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相接的向量,运用向量加减法运算及数乘运算来求解 .(2)注意结论的使用: O 为直线 AB 外一点,若点 P 在直线 AB 上,则有= + (+= 1);若点 P 满足 = ,则有 = + .OP OAOB APnmPB OPmm+nOAnm+nOB【自我检测】1.已知向量 a=(m,1),b=(1,m),则“ m=1”是“ a b”的 ( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.
4、充要条件 D.既不充分也不必要条件32.已知 O 是正三角形 ABC 的中心,若 = + ,其中 , R,则 的值为 ( )A.- B.-14 13C.- D.2123.已知 a=(3,-2m),b=(1,m-2)是同一平面内的两个向量,且该平面内的任一向量 c 都可以唯一的表示成 c=a+b ( , 为实数),则实数 m 的取值范围是 ( )A. B. (65,+) (-,65) (65,+)C.(- ,2) D.(- ,-2)(2, + )4.如图 M2-6-1 所示,在正方形 ABCD 中, P 为 DC 边上的动点,设向量 = + ,则 + 的最大值为 . 图 M2-6-1小题 2 平
5、面向量的数量积及应用2 (1)已知向量 a 与 b 的夹角是 ,且 |a|=1,|b|=2,若( a+b ) a,则实数 = ( )3 3A. B.-3 3C. D.-2 2(2)已知在 OAB 中, OA=OB=2,AB=2 ,动点 P 位于线段 AB 上,则当 取最小值时,向量3 与 的夹角的余弦值为 . 听课笔记 【考场点拨】4平面向量数量积问题难点突破:(1)借“底”数字化,要先选取一组合适的基底,这是把平面向量“数化”的基础;(2)借“系”坐标化,数形结合,建立合适的平面直角坐标系,将向量的数量积运算转化为坐标运算 .【自我检测】1.已知两个单位向量 a,b 的夹角为 ,则(2 a+
6、b)(a-b)=( )3A.1 B.-1C. D.-12 122.已知向量 a,b 满足 a=(1, ),|b|=1,|a+b|= ,则 a,b 的夹角 为 ( )3 3A. B.3 2C. D.23 563.已知菱形 ABCD 的一条对角线 BD 的长为 2,点 E 满足 = ,点 F 为 CD 的中点 .若 12 =-2,则 = . 4.若平面向量 e1,e2满足 |e1|=|3e1+e2|=2,则 e1在 e2方向上投影的最大值是 . 5第 6 讲 平面向量典型真题研析1.(1)A (2) 解析 (1)因为 AD 为中线, E 为 AD 的中点,所以 = + = + = 12 12121
7、2( + )+ ( - )= - .12123414(2)由已知得 2a+b=(4,2),由 c(2 a+b)可得 = ,所以 = .142 122.(1)B (2)B 解析 (1)建立如图所示的平面直角坐标系,则 A(0,0),B(2,0),C(1, ).3设 P(x,y),则 ( + )=(-x,-y)(2-x,-y)+(1-x, -y)=(x,y)(2x-3,2y- ) 3 3=x(2x-3)+y(2y- )=2x2-3x+2y2- y=2 +2 - - ,当且仅当 x= ,y= 时,等号3 3 (-34)2 (- 34)232 32 34 34成立,点 在平面 ABC 内部,此时 (
8、+ )取得最小值,最小值为 - .(34, 34) 32(2)a(2a-b)=2|a|2-ab=2-(-1)=3.考点考法探究小题 1例 1 (1)A (2)B 解析 (1)根据题意, a=(2,m),b=(1,-2),则 a+2b=(4,m-4),若 a( a+2b),则有 4m=2(m-4),即 m-4=2m,解得 m=-4.故选 A.(2)因为点 D 在边 BC 上,所以存在 tR,使得 =t =t( - ). 因为 M 是线段 AD 的中点,所以6= ( + )= (- +t -t )=- (t+1) + t ,1212 12 12又 = + ,所以 =- (t+1),= t,12 1
9、2所以 +=- .故选 B.12【自我检测】1.A 解析 向量 a=(m,1),b=(1,m),若 a b,则 m2=1,解得 m=1,所以“ m=1”是“ a b”的充分不必要条件 .故选 A.2.C 解析 延长 CO 交 AB 于点 D. = = ( + )= (- + - )= - ,2323 1213 1323= ,=- , =- .13 23 123.B 解析 由题意可知,平面内的任一向量 c 都可以唯一的表示成 c=a+b ,a ,b 是一组基底,a ,b 不共线,则 3(m-2) -2m,解得 m ,65故 m 的取值范围是 .故选 B.(-,65) (65,+)4.3 解析 以
10、 A 为坐标原点, AB,AD 所在直线分别为 x,y 轴建立平面直角坐标系(图略),设正方形 ABCD 的边长为 2,则 C(2,2),B(2,0),D(0,2),P(x,2),x0,2, =(2,2), =(2,-2), =(x,2). = + , 2+=2,-2+2=2,7=2-2+,= 42+,+= .6-2+令 f(x)= (0 x2),6-2+f (x)在0,2上单调递减,f (x)max=f(0)=3,故 + 的最大值为 3.小题 2例 2 (1)B (2)- 解析 (1)因为 |a|=1,|b|=2,且向量 a 与 b 的夹角为 ,所以217 3ab=|a|b|cos =1.3
11、因为( a+b ) a,所以( a+b )a= a2+a b= += 0,3 3 3 3所以 =- .3(2)因为 OA=OB=2,AB=2 ,所以 OAB= ,36所以 = ( + )=| |2+| | |cos =| |2- | |= - , 56 3(|- 32)234当且仅当 | |= 时, 取得最小值 - ,此时 | |= = ,32 34 4+34-2 322 32 72所以向量 与 的夹角的余弦值为 =- .-3472 32 217【自我检测】1.C 解析 (2 a+b)(a-b)=2a2-ab-b2=2-11cos -1= .3 1282.C 解析 由题得 |a|= =2,|a
12、+b|= ,12+( 3)2 3a 2+2ab+b2=3, 4+1+221cos =3, cos =- . 0, = .12 233.-7 解析 建立如图所示的平面直角坐标系,设 C(t,0)(t0),则 A(-t,0),B(0,-1),D(0,1),E ,F , =(t,1), = , =(-t,1), = .(-23,13) (12,12) (-23,43) (32,12) =-2,- t2+ =-2,解得 t2=5,23 43 =- t2+ =-7.32 124.- 解析 由 |e1|=|3e1+e2|=2,可得423 |1|=2,921+612+22=4, 4=36+6|e1|e2|c
13、os+ ,22e 1在 e2方向上的投影为 |e1|cos= =- - 2 =- ,当且仅-32-|2|26|2| 16(|2|+32|2|) 16 32423当 |e2|= ,即 |e2|=4 时,等号成立 .32|2| 2备选理由 例 1 考查向量的模,通过转化为二次函数的形式求最值;例 2 进一步强化平面向量数量积的运算,是对例题的补充强化 .例 1 配例 1 使用 已知点 A(4,3)和点 B(1,2),点 O 为坐标原点,则 | +t |(tR)的最小值为 ( )A.5 B.529C.3 D. 5解析 D 由题意得 =(4,3), =(1,2),则 | +t |= = ,(4+)2+
14、(3+2)2 52+20+25结合二次函数的性质可得,当 t=-2 时, | +t |取得最小值,此时 | +t |= = .54-202+255例 2 配例 2 使用 已知腰长为 2 的等腰直角三角形 ABC 中, M 为斜边 AB 的中点,点 P 为该平面内一动点,若 | |=2,则( +4) 的最小值为 . 答案 48 -32 2解析 建立如图所示的平面直角坐标系,则 A(- ,- ),B( ,- ),M(0,- ).2 2 2 2 2设 P(2cos ,2sin ),则 =(- -2cos ,- -2sin ), =( -2cos ,- -2sin 2 2 2 2 ), =(-2cos ,-2sin ), =(-2cos ,- -2sin ), 2 ( +4) =8( sin + 2)2, 2 当 sin =- 1 时,上式取得最小值,最小值为 48-32 .2
