1、基础过关1.已知 a,b 为非零向量,则“ ab0”是“ a 与 b 的夹角为锐角”的 ( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件2.在 ABC 中,若 + =4 ,则 = ( )A. - B.- +C. - D.- +3.已知向量 a=(1,1),b=(-1,2),若( a-b)(2a+tb),则 t= ( )A.0 B.C.-2 D.-34.已知 | |=3,| |=2, =(m-n) +(2n-m-1) ,若 与 的夹角为 60,且 ,则实数的值为 ( )A. B.C. D.5.如图 X6-1 所示,四边形 ABCD 是边长为 2 的菱形, 已
2、知BAD=60,E,F 分别为 BC,CD 的中点,则 =( )图 X6-1A. B.-C. D.-6.已知平面向量 a,b,c 满足| a|=|b|=|c|=1,若 ab= ,则( a+b)(2b-c)的最小值为 ( )A.-2 B.3-C.-1 D.07.已知向量 a,b 满足| a-b|=3 且 b=(0,-1),若向量 a 在向量 b 方向上的投影为-2,则| a|= ( )A.2 B.2C.4 D.128.在正方形 ABCD 中,点 E 为 BC 的中点,若点 F 满足 = ,且 =0,则 = ( )A. B.C. D.9.已知向量 a,b 满足| a|=2,a(b-a)=-3,则向
3、量 b 在 a 方向上的投影为 . 10.已知向量 a=(1,0),b=(1,1),若 (a+b)b( 为实数),则| a+b|= . 11.已知单位向量 a,b 满足| a+b|=|a-b|,则 a 与 b-a 的夹角为 . 12.如图 X6-2 所示,已知在ABC 中, = , = ,BE 交 AD 于点 F,若 = + ,则 += .图 X6-2能力提升13.在 ABC 中,A=120, =-3,点 G 是ABC 的重心,则| |的最小值是 ( )A. B.C. D.14.已知在ABC 中,A=120,且 AB=3,AC=4,若 = + ,且 ,则实数 的值为 ( )A. B.C.6 D
4、.15.已知ABC 中一点 O 满足| |=| |=| |,AB 的长度为 1,M 为 BC 边的中点,直线 OM 交AC 于点 D,若 =3,则 AC 的长度为 . 16.已知在ABC 中,AB= ,BC=2AC=2,则满足| -t | | |的实数 t 的取值范围是 . 限时集训(六)基础过关1.B 解析 ab0 等价于 a,b 的夹角是锐角或 0,“ab0”是“ a 与 b 的夹角为锐角”的必要不充分条件,故选 B.2.C 解析 由题意得 + =4 =4( + ),解得 = - ,故选 C.3.C 解析 由题意得, a-b=(2,-1),2a+tb=(2-t,2+2t).因为( a-b)
5、(2a+tb),所以 2(2+2t)=-(2-t),所以 t=-2.故选 C.4.A 解析 =(m-n) +(2n-m-1) , =(m-n) +(2n-m-1) + =(m-n) +(2n-m) . 与 的夹角为 60, =| |cos 60=3. , =(m-n) +(2n-m) ( - )=(2m-3n) -(m-n)| |2+(2n-m)| |2=8n-7m=0, = .故选 A.5.D 解析 菱形 ABCD 的边长为 2,BAD=60, =| | |cosBAD=22cos 60=2.又 = + = + , = = ( - ), = ( - )= + -= 4+ 2-4 =- .故选
6、 D.6.B 解析 由 ab= ,得= ,不妨设 a=(1,0),b= ,c=(cos ,sin ),所以原式=2 ab-ac+2b2-bc=3- =3- sin ,所以当 sin =1 时,取得最小值,所以最小值为 3- ,故选 B.7.A 解析 由| a-b|=3,得| a-b|2=(a-b)2=a2-2ab+b2=9,所以 ab=- = = .因为向量 a 在向量 b 方向上的投影为-2, 所以 = =-2,即| a|2=4,所以| a|=2,故选 A.8.A 解析 方法一: E 为 BC 的中点, = , =( + )( + )= + ( + )= ( + + )=0. =0, =(-
7、1)| |2+ | |2=0,即 -1=- ,= .方法二:如图所示,以 A 为原点,建立平面直角坐标系, 设 B(2,0),则 C(2,2),E(2,1), = =(2,2),则 F(2,2), =(2-2,2). =(2,1), =(2,1)(2-2,2)=6-4=0,解得 = . 9. 解析 由 a(b-a)=-3,得 ab-a2=-3,ab=1,故 b 在 a 方向上的投影为 = .10. 解析 (a+b)b,(a+b)b=0,ab+b2=0,即 1+2=0,解得 =- ,a+b=a- b= ,|a+b|= .11. 解析 设 a 与 b-a 的夹角为 .|a+b|=|a-b|,|a+
8、b|2=|a-b|2,即| a|2+2ab+|b|2=|a|2-2ab+|b|2,ab=0.a,b 为单位向量 ,(b-a)2=b2-2ba+a2=2,即| b-a|= .a(b-a)=ab-aa=-1=|a|b-a|cos ,cos = =- .0,= .12. 解析 设 =k (k0), = + = + ( - )= + ,k = + , = + ,由 F,B,E 三点共线,得 + =1,解得 k= , = + = + = + ,= ,= ,+= .能力提升13.B 解析 设 BC 的中点为 D,因为点 G 是 ABC 的重心 ,所以 = = ( + )= ( +).令| |=c,| |=
9、b,则 =bccos 120=-3,bc=6,| |2= (| |2+2 +| |2)= (c2+b2-6) (2bc-6)= ,当且仅当 b=c= 时取等号, | | .故选 B.14.A 解析 因为 ,所以 =( + )( - )=- + +(-1) =0,即-32+42+(-1)34cos 120=0,= .故选 A.15. 解析 设 =a, =b,则 = (a+b), =b-a.由题意得 =0, =( + ) = + = = (b2-a2)=3,又| a|=1,|b|= ,即 AC 的长度为 .16. 解析 在ABC 中,AB= ,BC=2AC=2,即 AC=1,则 cos= = .由| -t | | |,得 -2t| | |cos+t2 3 ,3-2t2 +4t23,整理得 2t2-3t0,解得 0t ,实数 t 的取值范围是 .
