1、基础过关1.已知函数 f(x)=(x+b)(ex-a)(b0)的图像在点( -1,f(-1)处的切线方程为 (e-1)x+ey+e-1=0.(1)求 a,b 的值;(2)若 m0,证明: f(x)mx2+x.2.已知函数 f(x)=x2-(2-m)x+m(1-m)ln x(mR).(1)若 m=2,求 f(x)的极值.(2)是否存在实数 m,使得函数 f(x)在区间(1, +)上是单调函数 ?若存在,请求出 m 的取值范围;若不存在,请说明理由.3.已知函数 f(x)=ln x,g(x)=x+m(mR).(1)若 f(x)g(x)恒成立 ,求实数 m 的取值范围;(2)若 x1,x2 是函数
2、F(x)=f(x)-g(x)的两个零点,且 x10 恒成立,求实数 m 的最大整数值.限时集训(五)基础过关1.解:(1)由题意知 f(-1)=(-1+b) =0,又 f(x)=(x+b+1)ex-a,所以 f(-1)= -a=-1+ .若 a= ,则 b=2-e0 矛盾, 故 a=1,b=1.(2)证明:由( 1)可知 f(x)=(x+1)(ex-1),所以 f(0)=0,f(-1)=0.由 m0,可得 xmx2+x.令 g(x)=(x+1)(ex-1)-x,则 g(x)=(x+2)ex-2,令 t(x)=g(x),则 t(x)=(x+3)ex.当 x-3 时,t(x)0,g(x)单调递增
3、,且 g(0)=0.所以 g(x)在( -,0)上单调递减, 在( 0,+)上单调递增,且 g(0)=0,故 g(x)g(0)=0,即(x+1)(e x-1)xmx2+x,又等号可同时成立,所以 f(x)mx2+x.2.解:(1)当 m=2 时,f (x)=x2-2ln x(x0),则 f(x)=2x- = = (x0).令 f(x)=0,得 x=1.列表如下:x (0,1) 1 (1,+)f(x) - 0 +f(x) 极小值 由上表可得,f(x)的极小值为 f(1)=1,无极大值.(2)f(x)=2x-(2-m)+ = = (x0).当 m= 时,f(x) 0,f(x)在区间(1 ,+)上是
4、增函数,满足题意;当 1-m,即 m 时,若 f(x)在区间 (1,+)上是单调函数 ,则有 1,故 0),则有 F(x)= -1= ,当 x1 时,F(x) 0,所以 F(x)在 (1,+)上单调递减,在( 0,1)上单调递增, 故 F(x)在 x=1 处取得最大值,最大值为-1-m.若 f(x)g(x)恒成立,则-1 -m0,即 m-1.(2)证明:由( 1)可知 ,若函数 F(x)=f(x)-g(x)有两个零点,则 mF .由 F(x1)=F(x2)=0,得 m=ln x1-x1,即证 ln - -m=ln - +x1-ln x10,故 h(x)在( 0,1)上单调递增,则 h(x)0)
5、,f(x)在 x=1 处取得极值,f(1)=0,即 a-1=0,a=1.经检验,当 a=1 时,f(x)在 x=1 处取得极小值.(2)f(x)= ,令 g(x)=2ax2-ax-1(x1).当 a=0 时,f(x)= 0 时,二次函数 g(x)的图像开口向上 ,对称轴为直线 x= ,过点(0,- 1).(i)当 g(1)0,即 a1 时,g (x)0 在1 ,+)上恒成立,f(x)0,从而 f(x)在1 ,+)上单调递增.又 f(1)=0,当 x1 时,f(x)0,满足 f(x)0 在1, +)上恒成立.(ii)当 g(1)1,使得当 x(1,x0)时, g(x)0,f (x)单调递增 ,f
6、(x0)0,解得 01,则函数 g(x)在(0,1)上单调递增, 在( 1,+)上单调递减, 故 g(x)max=g(1)=-1.要使函数 f(x)有两个零点,则函数 g(x)的图像与直线 y=m 有两个不同的交点 ,则 m(x-2)ex+ln x-x.设 h(x)=(x-2)ex+ln x-x,x ,则 h(x)=(x-1) .设 u(x)=ex- ,则 u(x)=ex+ 0,则 u(x)在 上单调递增,又 u = -20,存在 x0 ,使得 u(x0)=0,即 = ,ln x0=-x0.当 x 时,u(x)0;当 x(x0,1时,u(x)0 ,h(x)0.函数 h(x)在 上单调递增, 在
7、( x0,1上单调递减,h(x)max=h(x0)=(x0-2) +ln x0-x0=(x0-2) -2x0=1- -2x0.设 (x)=1- -2x,则 (x)= -2= ,当 x 时,(x) 0 恒成立,则 (x)在 上单调递增,(x)0,得 x1,f(x)在( 1,+)上为增函数;令 f(x)0 对于任意 x(0,+)恒成立,f(x)-m-1 对于任意 x(0,+)恒成立.f(x)=exx-(m-1),分类讨论:当 m1 时,f (x)在(0,+ )上为增函数,f(x)-m,又-m-m-1 恒成立, m1.当 m1 时, f(x)在(0,m- 1)上为减函数 ,在(m-1, +)上为增函数,f(x)min=f(m-1)=-em-1,-em-1-m-1,em-1-m-11),则 g(m)=em-1-10(m1),g(m)在 (1,+)上单调递增,又 g(2)=e-30,在 (1,+)上存在唯一的 m0 使得 g(m0)=0,且 2m03,故实数 m 的最大整数值为 2.
