1、第 8 讲 三角恒等变换与正余弦定理1.【引全国卷】2018全国卷 已知角 的顶点为坐标原点,始边与 x 轴的非负半轴重合,终边上有两点A(1,a),B(2,b),且 cos 2= ,则|a-b|= ( )23A. B. C. D.115 55 255【荐地方卷】2017江苏卷 若 tan = ,则 tan = .(-4) 16 试做 命题角度 利用恒等变换求值(1)活用三角函数的定义;(2)注意两角和与差公式、二倍角公式的使用.2.(1)2018全国卷 在ABC 中,cos = ,BC=1,AC=5,则 AB=( )2 55A.4 B.2 30C. D.229 5(2)2018全国卷 ABC
2、 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 bsin C+csin B=4asin Bsin C,b2+c2-a2=8,则ABC 的面积为 . 试做 命题角度 三角形的基本量的计算关键一 :利用三角恒等变换得到关于三角形的边或角的等式.关键二:利用正、余弦定理求三角形的基本量 .已知两边和其中一边的对角或已知两角和其中一角的对边可以用正弦定理解三角形;已知两边和它们的夹角、已知两边和一边的对角或已知三边可以用余弦定理解三角形.3.2018全国卷 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若ABC 的面积为 ,则 C= 2+2-24( )A. B. C. D.2 3 4 6
3、试做 命题角度 与三角形面积有关的问题关键一:利用公式 SABC= acsin B= bcsin A= absin C 得到关于三角形的边和角的式子;12 12 12关键二:利用正、余弦定理进行边角转化求解 .小题 1 三角恒等变换与求值1 (1)已知角 的顶点在坐标原点,始边与 x 轴的非负半轴重合,终边经过点(- 1,2 ),则 tan3= ( )(+3)A.- B.-337 37C. D.335 35(2)已知 sin = , ,则 cos =( )1010 (0,2) (2+6)A. B.43-310 43+310C. D.4-3310 33-410听课笔记 【考场点拨】三角恒等变换主
4、要是利用两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式解决相关的三角函数问题.化简与求值要遵循“三看”原则: 一看“角”,通过看角之间的差别与联系,把角进行合理的拆分;二看“ 函数名称 ”,是需进行“切化弦”还是“弦化切”等,从而确定使用的公式;三看“结构特征 ”,了解变式或化简的方向.【自我检测】1.已知角 的顶点在坐标原点,始边与 x 轴的非负半轴重合 ,终边与单位圆交于点 ,则(-55,255)cos 2=( )A. B.- C. D.-15 15 35 352.已知 为锐角, 为第二象限角 ,且 cos(-)= ,sin(+)= ,则 sin(3-)= ( )12 12A.- B. C.
5、- D.12 12 32 323.若 (0,),且 sin +2cos =2,则 tan =( )3 (2-3)A.- B.- C. D.39 35 36 34.已知 cos = , ,则 cos = . 35 (32,2) (-3)小题 2 利用正、余弦定理解三角形角度 1 求解三角形中的角2 (1)在ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,若( a-b)(sin A+sin B)=c(sin C+ sin B),3则 A= ( )A. B.6 3C. D.23 56(2)在ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 = ,(a2-3b2)cos C= ,
6、则 C= ( )sinsin12 A. B.6 3C. 或 D. 或2 6 3 2听课笔记 【考场点拨】利用正、余弦定理求角的失分点:(1)已知两边及其中一边的对角求其他角时,有一解、两解的情况,容易把握不准而出错;(2)在变形时,直接两边约去公因式,没有移项后提公因式,产生漏解.【自我检测】1.已知在ABC 中,C= ,AB=2,AC= ,则 cos B=( )4 6A. B.-12 32C. 或 - D. 或-12 32 12 122.已知在ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 b2=a2-2bc,A= ,则 C= ( )23A. B. 或6 4 34C. D.34
7、43.在ABC 中,a=2,c=4,且 3sin A=2sin B,则 cos C= . 4.在ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,若 =2 sin C,则 C= . sin+sin-sinsin 3角度 2 求解三角形中的边与面积3 (1)在ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 b2-c2+2a=0, =3,则 a= . tantan(2)在ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,若 cos C= ,c=3,且 = ,则ABC 的面积14 cos cos等于 . 听课笔记 【考场点拨】使用正、余弦定理求边和面积时应注意的问题:(1
8、)当条件为已知两边及其中一边的对角时,要注意解的多样性与合理性;(2)三角形的面积主要是利用 S= absin C 求解,有时可以直接12利用余弦定理求出 ab 的整体值再求面积,而不必分别求出 a,b 的值.【自我检测】1.已知在ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,sin B=3 sin A,a= ,且 C= ,则 AB 边上2 24的高为 . 2.在锐角三角形 ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若 a=4,b=3,且ABC 的面积为 3 ,3则 c= . 3.在ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 =1- ,且 =5,则A
9、BC 的面+ sinsin+sin 积是 . 角度 3 三角形中的最值与范围问题4 (1)在ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 A= ,且 2bsin B+2csin C=bc+ a,则3 3ABC 的面积的最大值为 ( )A. B.332 32C. D.334 34(2)在ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 + = ,且 B= ,则 a+c 的取值范围cos cos 23sin3sin 3是( )A. B.(32, 3 (32, 3C. D.32, 3 32, 3听课笔记 【考场点拨】三角形中的最值与范围问题主要有两种解决方法:一是利用基本不
10、等式求得最大值或最小值; 二是将所求式转化为只含有三角形中某一个角的三角函数形式,结合角的范围确定所求式的范围.【自我检测】1.在ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知( a+b-c)(a+b+c)=3ab,且 c=4,则ABC 的面积的最大值为 ( )A.8 B.43 3C.2 D.3 32.已知在锐角三角形 ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 b2=a(a+c),则 的取值sin2sin(-)范围是( )A. B.(0,22) (12, 32)C. D.(12, 22) (0,32)3.在ABC 中,设 a,b,c 分别为内角 A,B,C
11、所对的边,AD 为边 BC 上的高.若 AD=BC,则 的最大值为 . 小题 3 正、余弦定理的实际应用5 某游轮在 A 处看灯塔 B 在 A 的北偏东 75的方向上,距 A 12 海里处,灯塔 C 在 A 的北6偏西 30的方向上 ,距 A 8 海里处,游轮由 A 处向正北方向航行到 D 处时再看灯塔 B 在南偏3东 60的方向上,则此时灯塔 C 与游轮的距离为 ( )A.20 海里 B.8 海里3C.23 海里 D.24 海里2听课笔记 【考场点拨】解三角形的实际应用主要体现在解决一些实际问题中的测高和测距问题,这样就需要将实际问题中的角度、距离以及待求的距离等融合到一个或几个三角形中,再
12、结合正、余弦定理求解.【自我检测】1.如图 M2-8-1 所示,为测量竖直旗杆 CD 的高度,在旗杆底部 C 所在水平地面上选取相距 4m 的两点 A,B,在 A 处测得旗杆底部 C 在西偏北 20的方向上,旗杆顶部 D 的仰角为 60;21在 B 处测得旗杆底部 C 在东偏北 10的方向上,旗杆顶部 D 的仰角为 45,则旗杆 CD 的高度为 m. 图 M2-8-12.如图 M2-8-2 所示,飞机的航线和山顶在同一个铅垂平面内 ,已知飞机的高度为海拔 15 000 m,速度为 1000 km/h,飞行员先看到山顶的俯角为 15,经过 108 s 后又看到山顶的俯角为 75,则山顶的海拔高度
13、为 m(取 =1.732). 3图 M2-8-2第 8 讲 三角恒等变换与正余弦定理典型真题研析1.【引全国卷】B 解析 假设角 为第一象限角,如图所示,由 cos 2= ,得 2cos2-1= ,即 cos = ,所以23 23 56cos = = ,解得 a= ;cos = = ,解得 b= .所以|a-b|= .12+1 56 55 22+4 56 255 55【荐地方卷】解析 tan =tan = = = .75 (-4+4) (-4)+41-(-4)4 16+11-161752.(1)A (2) 解析 (1)cos C= 2cos2 -1=2 -1=- ,所以由余弦定理得 AB2=1
14、2+52-233 (55)2 35215 =32,所以 AB=4 .(-35) 2(2)由 b2+c2-a2=8 得 2bccos A=8,可知 A 为锐角,且 bccos A=4.由已知及正弦定理得 sin Bsin C+sin Csin B=4sin Asin Bsin C,因为 sin B0,sin C0,所以可得 sin A= ,所以 A=30,所以 bccos 1230=4,即 bc= ,所以ABC 的面积 S= bcsin A= = .833 12 12833 122333.C 解析 由三角形的面积公式可得 , = absin C,所以 =sin C.由余弦定理得,2+2-24 1
15、2 2+2-22=cos C,所以 cos C=sin C,又 C(0,),所以 C= .2+2-22 4考点考法探究小题 1例 1 (1)B (2)A 解析 (1)由题意得 tan = =-2 ,23-1 3则 tan = = =- .(+3) +31-3 -23+31-(-23)3 37(2) sin = , ,1010 (0,2) cos = = ,1-231010 sin 2=2sin cos =2 = ,10103101035cos 2=1-2sin2=1-2 = ,(1010)245 cos = cos 2- sin 2= - = .(2+6) 32 12 32 45123543-
16、310【自我检测】1.D 解析 由题意得 cos =- ,所以 cos 2=2cos2-1=- ,故选 D.55 352.B 解析 因为 为锐角, 为第二象限角,cos(-)= 0,sin(+)= 0,12 12所以 - 为第四象限角,+ 为第二象限角,所以 sin(-)=- ,cos(+)=- ,32 32所以 sin 2=sin(-+)=sin(-)cos(+)+cos(-)sin(+)=- + =1.32 (- 32) 1212因为 为锐角,所以 2= ,所以 sin(3-)=sin(2+-)=cos(-)= ,故选 B.2 123.B 解析 因为 sin +2cos =2,3所以 si
17、n =2(1-cos ),3即 2 sin cos =4sin2 .32 2 因为 (0,),所以 ,所以 sin 0,2 (0,2) 2所以 tan = = ,222 32则 tan = = =- ,(2-3) 2- 31+32 32- 31+332 35故选 B.4. 解析 cos = , ,3-4310 35 (32,2) sin =- ,45 cos =cos cos +sin sin = + = .(-3) 3 33512(-45) 32 3-4310小题 2例 2 (1)D (2)D 解析 (1) (a-b)(sin A+sin B)=c(sin C+ sin B),3 (a-b)
18、(a+b)=c(c+ b), a2-c2-b2= bc,3 3 由余弦定理可得 cos A= =- .2+2-22 32 A(0,), A= .故选 D.56(2)由(a 2-3b2)cos C= ,得( a2-3b2)cos C=abcos C,所以 cos C=0 或 a2-3b2=ab.当 cos C=0 时,C= ,满足题意;2当 a2-3b2=ab 时,因为 = ,所以由正弦定理得 = ,即 c=2b,12 12所以由余弦定理得 cos C= = = = ,因为 C(0,), 所以 C= .2+2-22 2+2-(2)22(2-32) 2-322(2-32) 12 3综上所述,C=
19、或 C= .2 3【自我检测】1.D 解析 因为 C= ,AB=2,AC= ,4 6所以由正弦定理 = ,得 sin B= = . 642 32因为 00, c=b, a2=3b2, cos C= = = ,又 C(0,), C= ,故选 A.2+2-22 32232 32 63.- 解析 因为 3sin A=2sin B,所以根据正弦定理可知 3a=2b,又因为 a=2,所以 b= a=3.在14 32ABC 中,由余弦定理可得 cos C= = =- .2+2-22 22+32-42223 144. 解析 =2 sin C,6 +- 3 根据正弦定理可得 =2 sin C.2+2-2 3
20、cos C= ,2+2-22 cos C= sin C,即 tan C= .333 C(0,), C= .6例 3 (1)4 (2) 解析 (1)由题意得 tan C=3tan B,所以 = ,所以由正弦定理、余弦3154 3定理可得 = ,即 3a2+3b2-3c2=a2+c2-b2,故 a2+2b2=2c2,又因为 b2-c2+2a=0,所以 a2=4a,32+32-3222+2-22故 a=4.(2)由已知及正弦定理得 = ,即 tan A=tan B,所以 A=B,即 a=b.由余弦定理得 c2=2a2-2a2cos C= a2=9,所以 a= .因为 cos C= ,所以 sin C
21、= ,所以 SABC= absin C= 6 = .32 6 14 154 12 12 154 3154【自我检测】1. 解析 由 sin B=3 sin A 及正弦定理可得 b=3 a,则由 a= 可得 b=6,则由余弦定32613 2 2 2理知 cos C=cos = ,得 c= .设 AB 边上的高为 h,由等面积法可得 absin C= ch,所以42+2-22 26 12 12h= ,故 AB 边上的高为 .32613 326132. 解析 由题意得 3 = absin C,所以 sin C= ,又因为 ABC 为锐角三角形,所以 C= .13 312 32 3由余弦定理得 c2=
22、a2+b2-2abcos C=42+32-243 =13,所以 c= .12 133. 解析 =1- , 结合正弦定理得 =1- ,化简得 bc=b2+c2-a2, 由余弦532 + + + +定理得 cos A= , 00),则 t+ , 5 25 15 1 5即 t ,所以 的最大值是 .5-12 5+12 5+12小题 3例 5 B 解析 如图所示,在 ABD 中,DAB=75, ADB= 60, B=180 -75-60=45,由正弦定理得 = , AD= = =24.1262232在ACD 中,AD=24,AC=8 ,CAD=30,3由余弦定理得CD2=AD2+AC2-2ADACco
23、s 30=242+(8 )2-2248 =192,3 332 CD=8 .故选 B.3【自我检测】1.12 解析 设 CD=x, 在 RtBCD 中,CBD=45, BC=x. 在 RtACD 中,CAD=60, AC= = .60 3在ABC 中, CAB=20,CBA=10, ACB=180-20-10 =150, 由余弦定理得 AB2=AC2+BC2-2ACBCcos 150,即(4 )2= x2+x2+2 x = x2,2113 3 32 73 x=12.2.6340 解析 如图所示, 108 s=0.03 h, AB=10000.03=30(km). C= 75-15=60,= ,
24、BC= =20 sin 15(km), C 到 AB 边的距离 h=BCsin 75=20 sin 1560 15 1560 3 3sin 75=10 sin 30=5 =51.732=8.66(km), 山顶的海拔高度为 15 000-8660=6340(m).3 3备选理由 例 1 涉及弦切互化问题,技巧性强,特别添加分母 1,将所求式直接转化为正切的形式;例 2 考查二倍角公式、诱导公式、两角和与差的正弦公式; 例 3 的难点在解题思路,第一个难点就是把 化简成 ,第二个难点是得到 = = tan A 后,求 tan A 的2+22 6 2+22126112最大值可转化成利用基本不等式求
25、 cos A 的最小值;例 4 为平面几何中解三角形的应用.例 1 配例 1 使用 已知 =5,则 cos2+ sin 2 的值是 ( )+33- 12A. B.-35 35C.-3 D.3解析 A 当 cos =0 时, =-15, cos 0, = =5,解得 tan =2,+33- +33-+33- cos2+ sin 2=cos2+sin cos = = = = .12 2+2+2 1+2+11+222+135故选 A.例 2 配例 1 使用 若 2cos2 =1+3sin(-), ,则 = . (4-2-2) (0,2) 答案 2解析 因为 2cos2 =1+3sin(-),所以 1
26、+cos =1+3sin(-),(4-2-2) (2-)所以 sin(+)=3sin(-),所以 sin cos =2cos sin ,因为 , ,所以 cos 0,cos 0,所(0,2)以 tan =2tan ,即 =2.例 3 配例 4 使用 在ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,设ABC 的面积为 S,若3a2=2b2+c2,则 的最大值为 . 2+22答案 1424解析 由题意得 3a2=3b2-b2+3c2-2c2, b2+2c2=3(b2+c2-a2)=6bccos A, = = tan A.2+22126112由题意得 a2= , cos A= = = =
27、,当且仅当 b= c 时取等22+23 2+2-22 2+2-22+232 2+226226 23 2号, tan A= = ,12-1 92-1 142 的最大值为 .2+22 1424例 4 配例 4 使用 如图所示,平面四边形 ABCD 的对角线的交点位于四边形的内部 ,AB=1,BC= ,AC=CD,ACCD,当ABC 变化时,对角线 BD 的最大值为 . 2答案 3解析 设ABC=,ACB=,(0,180),则在ABC 中 ,由余弦定理可得 AC2=3-2 cos ,2由正弦定理可得 sin = . AC=CD,ACCD, BD2=BC2+CD2-2BCCDcosBCD,3-22即 BD2=BC2+AC2-2BCACcos(90+)=2+3-2 cos -2 cos(90+)=5-22 2 3-22cos +2 sin =5+4sin(-45), 当 =135时,BD 2 取得最大值 9, 则 BD 的最大值为 3.2 2
