1、1(2018高考全国卷)如图,四边形 ABCD 为正方形,E,F 分别为 AD,BC 的中点,以 DF 为折痕把DFC 折起,使点 C 到达点 P 的位置,且 PEBF.(1)证明:平面 PEF平面 ABFD;(2)求 DP 与平面 ABFD 所成角的正弦值解析:(1)证明:由已知可得 BFPF,BFEF ,所以 BF平面 PEF.又 BF平面 ABFD,所以平面 PEF平面 ABFD.(2)如图,作 PHEF,垂足为 H.由(1)得,PH 平面 ABFD.以 H 为坐标原点, 的方向为 yHF 轴正方向,| |为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系 Hxyz.BF 由(1)可得,DEPE.又
2、 DP2,DE1,所以 PE .3又 PF1,EF2,所以 PE PF.所以 PH ,EH .32 32则 H(0,0,0),P ,D ,(0,0,32) ( 1, 32,0) , .DP (1,32,32) HP (0,0,32)又 为平面 ABFD 的法向量,HP 设 DP 与平面 ABFD 所成角为 ,则 sin .|HP DP |HP |DP |343 34所以 DP 与平面 ABFD 所成角的正弦值为 .342(2018长春模拟)如图,四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 为菱形,PA平面ABCD, E 为 PD 的中点(1)证明:PB平面 ACE;(2)设 PA1,ABC60,三
3、棱锥 EACD 的体积为 ,求二面角 DAEC 的余弦38值解析:(1)证明:连接 BD 交 AC 于点 O,连接 OE(图略) 在PBD 中,PE DE,BODO,所以 PBOE .又 OE平面 ACE,PB 平面 ACE,所以 PB平面 ACE.(2)由题易知 VPABCD2V PACD4V EACD ,设菱形 ABCD 的边长为 a,32则 VPABCD SABCDPA (2 a2)1 ,则 a .13 13 34 32 3取 BC 的中点为 M,连接 AM,则 AMAD .以点 A 为坐标原点,分别以 , , 的方向为 x 轴, y AM AD AP 轴,z 轴的正方向,建立如图所示的
4、空间直角坐标系,则 A(0,0,0),E(0, , ),C( , ,0), (0 , , ),32 12 32 32 AE 32 12( , ,0),AC 32 32设 n1(x,y,z)为平面 AEC 的法向量,则Error!即Error!取 x1,则n1(1, , 3)为平面 AEC 的一个法向量3又易知平面 AED 的一个法向量为 n2(1,0,0),所以 cosn 1, n2 ,n1n2|n1|n2| 11 3 9 1313由图易知二面角 DAEC 为锐二面角,所以二面角 DAEC 的余弦值为 .13133(2018高考全国卷)如图,在三棱锥 PABC 中,AB BC2 ,PA PBP
5、CAC 4,O 为 AC 的中点2(1)证明:PO 平面 ABC;(2)若点 M 在棱 BC 上,且二面角 MPAC 为 30,求 PC 与平面 PAM 所成角的正弦值解析:(1)证明:因为 PAPCAC4,O 为 AC 的中点,所以 OPAC,且 OP2 .3如图,连接 OB.因为 ABBC AC,22所以ABC 为等腰直角三角形,且 OBAC,OB AC2.12由 OP2OB 2PB 2 知 POOB.由 OPOB ,OPAC,OBAC O,得 PO平面 ABC.(2)如图,以 O 为坐标原点, 的方向为 x 轴正方向,建立空OB 间直角坐标系 Oxyz.由已知得 O(0,0,0),B(2
6、,0,0),A(0,2,0) ,C (0,2,0),P(0,0,2), (0,2,2 )3 AP 3取平面 PAC 的一个法向量 (2,0,0)OB 设 M(a,2a,0)(0a2),则 ( a,4a,0)AM 设平面 PAM 的法向量为 n(x,y,z)由 n0, n0 得AP AM Error!可取 y a,得平面 PAM 的一个法向量为 n( (a4) , a,a),3 3 3所以 cos ,n .OB 23a 423a 42 3a2 a2由已知可得|cos ,n | cos 30 ,OB 32所以 ,23|a 4|23a 42 3a2 a2 32解得 a4(舍去)或 a .43所以 n
7、 .( 833,433, 43)又 (0,2,2 ),所以 cos ,n .PC 3 PC 34所以 PC 与平面 PAM 所成角的正弦值为 .344(2018青岛模拟)如图,在四棱锥 PABCD 中,PA平面ABCD, ACAD,AB BC,BCA 45,APADAC2,E 为 PA 的中点(1)设平面 PAB平面 PCD l,求证:CDl;(2)求二面角 BCED 的余弦值解析:(1)证明:在四边形 ABCD 中,ACAD,ADAC2,ACD45,BCA45,BCDBCA ACD90,即 DCBC.又 ABBC, ABCD.AB平面 PAB,CD平面 PAB,CD平面 PAB.CD平面 P
8、CD,平面 PAB平面 PCDl,CDl.(2)PA平面 ABCD,AC AD,以 A 为原点,以 AD 所在的直线为 x 轴,AC 所在的直线为 y轴,AP 所在的直线为 z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则P(0,0,2),E (0,0,1),D(2,0,0),C (0,2,0),B(1,1,0) ,设平面 DCE 的法向量为 n1( x1,y 1,z 1), (0 ,2,1), ( 2,0,1),CE DE 由Error! 得Error!,令 x11,则 y11,z 12,n 1(1,1,2)是平面 DCE 的一个法向量设平面 BCE 的法向量为 n2 (x2,y 2,z 2),(1,1,0), (0 ,2,1),BC CE 由Error! 得Error!,令 x21,则 y21,z 22,n 2(1 ,1,2)是平面 BCE的一个法向量则 cosn 1,n 2 ,n1n2|n1|n2| 466 23又二面角 BCED 为钝角, 二面角 BCED 的余弦值为 .23