1、一、考情分析集合是高考数学必考内容,一般作为容易题. 给定集合来判定 集合间的关系、集合的交、 并、补运算是考查的主要形式,常与函数的定义域、值域、不等式(方程) 的解集相结合 ,在知识交汇处命题,以选择题为主,多出现在试卷的前 3 题中二、经验分享(1)用描述法表示集合,首先要搞清楚集合中代表元素的含义 ,再看元素的限制条件,明白集合的类型,是数集、点集还是其他类型的集合；如下面几个集合请注意其区别： ； ； ； .20x2xy2yx2,xyx(2)二元方程的解集可以用点集形式表示,如二元方程 的整数 解集可表示为.12,1,2,(3)集合中元素的互异性常常容易忽略,求解问题时要特别注意分类
2、讨论的思想方法常用于解决集合问题(4)空集是任何集合的子集,在涉及集合关系时,必须优先考虑空集的情况 ,否则会造成漏解(2)已知两个集合间的关系求参数时,关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系,进而转化为参数所满足的关系.(5)一般来讲,集合中的元素若是离散的,则用 Venn 图表 示；集合中的元素若是连续的实数,则用数轴表示,此时要注意端点的情况(6)解决以集合为背景的新定义问题,要抓住两点：紧扣新定义首先分析新定义的特点 ,把新定义所叙述的问题的本质弄清楚,并能够应用到具体的解题过程之中,这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；用好集合的性质解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些
3、因素,在关键之处用好集合的运算与性质三、知识拓展1若有限集 A 中有 n 个元素,则集合 A 的子集个数为 2n,真子集的个数为 2n1.2ABA BA ABB .UUBB3奇数集： .21, 1,41xxxZZZ4. 数集运算的封闭性,高考多次考查,基础知识如下:若从某个非空数集中任选两个元素(同一元素可重复选出),选出的这两个元素通过某种(或几种) 运算后的得数仍是该数集中的元素 ,那么,就说该集合对于这种(或几种)运算是封闭的.自然数集 N 对加法运算是封闭的 ;整数集 Z 对加、减、乘法运算是封闭的.有理数 集、复数集对四则运算是封闭的.对加、减、乘运算封闭的数集叫数环,有限数集0就是
4、一个数环,叫零环.设 F 是由一些数所构成的集合,其中包含 0 和 1,如果对 F 中的任意两个数的和、差、积、商(除数不为 0),仍是 F 中的数,即运算封闭,则称 F 为数域.四、题型分析(一)与数集有关的基本运算【例 1】 【2018 年理新课标 I 卷】已知集合 ，则A. B. C. D. 【分析】首先利用一元二次不等式的解法，求出 的解集，从而求得集合 A，之后根据集合补集中元素的特征，求得结果.【点评】对于集合的运算,一般先把参与运算的集合化简,解题的过程中，需要明确一元二次不等式的解集的形式以及补集中元素的特征，从而求得结果，要注意端点值 的取舍【小试牛刀】 【2017 全国 1
5、 理 1】已知集合 , ,则（ ）.1Ax31xBA. B. C. D. 0ABxBRAB【答案】A【解析】 , ,所以 , .1x310x0ABx1x故选 A.(二)与点集有关的基本运算【例 2】已知 ,则 （ ）3(,)|,(,)|20,2yMxNxyaMNaA2 B6 C2 D一 2 或6【分析】首先分析集合 是除去点 的直线 ,集合 表示过定点 的直线,(,3)3yx(10)等价于两条直线平行或者直线 过 ,进而列方程求 的值MN20axy(23)a【解析】由 若 ,则：点 在直线 上,即33()2yyxxMN,20xy；：直线 与直线 平行, ,260aa 20axy36a 或 .【
6、点评】分析集合元素的构成,将集合运算的结果翻译到两条直线的位置关系是解题关键【小试牛刀】 【2018 年理数全国卷 II】已知集合 ，则 中元素的个数为A. 9 B. 8 C. 5 D. 4【答案】A【解析】 ，当 时， ；当 时， ；当 时， ；所以共有 9 个，选 A.(三)根据数集、点集满足条件确定参数范围【例 3】设常数 aR,集合 A x|(x1)( xa)0, Bx| xa1,若 ABR ,则 a 的取值范围为( )A(,2) B( ,2 C(2, ) D2, )【分析】先得到 A(,1 a,),B a1,),再根据区间端点的关系求参数范围.【点评】求解本题的关键是对 a 进行讨论
7、.【小试牛刀】已知 Px|20 且 a1）的图象与函数 y=x 的图象有公共点,所以方程组： 有解,消去 y 得 ax=x,y显然 x=0 不是方程的 ax=x 解,所以存在非零常数 T,使 aT=T于是对于 f （x ）=a x ,有f （xT）=a x+T = aTax=Tax =T f （x ）,故 f （x）=a xM【点评】集合与其他知识的交汇处理办法往往有两种：其一是根据函数、方程、不等式所赋予的实数的取值范围,进而利用集合的知识处理；其二是由集合的运算性质,得到具有某种性质的曲线的位置关系,进而转化为几何问题处理【小试牛刀】在直角坐标系 中,全集 ,集合xoy,|)(RyxU,已
8、知集合 的补集 所对应区域的对称中心为 ,201sin)4(cs|),( xyA ACUM点 是线段 上的动点,点 是 轴上的动点,则 周长的最小值为（ ）P,8yQxMPQA B C D 2410414248【答案】B(五)与数集、点集有关的信息迁移题【例 5】若集合 A 具有以下性质：()0A, 1A；()若 xA,yA,则 xy A ,且 x0 时, A.1x则称集合 A 是“ 好集” 下列命题正确的个数是 ( )(1)集合 B 1,0,1是“好集”；(2)有理数集 Q 是“ 好集” ；(3)设集合 A 是“好集”, 若 xA,yA,则 xyA .A0 B1 C2 D3【分析】抓住新定义
9、的特点, 根据“好集”满足的两个性质, 逐个进行验证【解析】选 C,(1)集合 B 不是 “好集”,假设集合 B 是“ 好集”,因为1B,1B,所以112B,这与2B 矛盾(2)有理数集 Q 是“ 好集”,因为 0Q,1Q,对任意的 xQ,yQ,有 xyQ,且 x0 时, Q ,所1x以有理数集 Q 是“ 好集”(3)因为集合 A 是“好集”,所以 0A,若 xA,yA,则 0yA,即yA,所以x(y) A,即 xy A. 【点评】紧扣新定义,抓住新定义的特点,把新定义叙述的问题的本质搞清楚,并能够应用到具体的解题过程中【小试牛刀】 【2017 浙江温州高三模拟】已知 集合 ,若实数 , 满足
10、：对任意的2(,)|1Mxy,都有 ,则称 是集合 的“和谐实数对”,则以下集合中,存在“和谐实数对”(,)xyM(,)xy(,)的是（ ）A (,)|4B2,|C ()|4D2,|【答案】C.【解析】分析题意可知,所有满足题意的有序实数对 所构成 的集合为 ,(,)(,)|1,1将其看作点的集合,为中心在原点, , , , 为顶点的正方形及其内部,A,B,D 选项分别(1)1表示直线,圆,双曲线,与该正方形及其内部无公共点,选项 C 为抛物线,有公共点 ,故选 C.(0)五、迁移运用1 【 安徽省宿州市 2018 届第三次质检 】已知全集 ，集合 ，集合 ，则 （ ）A. B. C. D.
11、【答案】A2 【 四川省成都市 2018 届模拟 】设 ，则 是 的（ ）A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由 得 或 ，作出函数 和 ，以及 的图象，如图所示，则由图象可知当 时， ，当 时， ，因为 ，所以 “ ”是“ ”的充分不必要条件，故选 A. 点睛：本题主要考查了充分条件和必要条件的判定问题，其中正确作出相应函数的图象，利用数形结合法求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想方法的应用，以及推理与论证能力.3 【 辽宁省葫芦岛市 2018 届第二次模拟 】设集合 ， ，则（ ）A. B. C. D. 【答案
12、】B【解析】 ，的子集个数为 故选 C.4 【 河南省洛阳市 2018 届三模 】设集合 ， ，则 的子集个数为（ ）A. 4 B. 8 C. 16 D. 32【答案】C5 【 安徽省皖江八校 2018 届联考 】设集合 , ,若 ,则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】 ， ，即 ， ，故选 B.6 【 山东省济南 2018 届二模 】设全集 ,集合 ,集合 则下图中阴影部分表示的集合为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题意可得： ， ，故选：D7 【 安徽省江南十校 2018 届二模理 】已知全集为 ，集合 ， ，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解
13、析】因为 ，所以 ，即 8 【2018 届四川成都高三上学期一诊模拟】已知集合 若2|,|30,AxaBx则实数 的取值范围是（）,ABaA. B. C. D. 1a2a【答案】D【解析】集合 , ,则 ,2|,|30|12xaBxx,ABA2a故选 D.9 【2018 届安徽蒙城高三上学期“五校”联考】已知集合 ,若 ,则 的值为,03Aa（ ）A. B. C. D. 2101【答案】A【解析 】 因为 ,且 , 所以 ,所以 ,故选 A.,3BaAB31a2a10 【2018 届湖南省五市十校教研教改共同体高三 12 月联考】已知集合 , 0Mx,则 （ ）1NxyMNA. B. C. D
14、. 2x12x0x【答案】A【解析】 ,选 A. |1,NN11.已知集合 ， ，则 的元素个数为（ ）A B C D 【答案】B12设集合 ， ，记 ，则点集 所表示的轨迹长度为（ ）A B C D 【答案】D【解析】由题意 的圆心为 ，半径为 1，而圆心（-3sin，-3cos） ，满足（-3sin） 2+（-3cos） 2=9，故圆心在以（0，0）圆心，半径为 3 的圆上，集合 A 对应的几何图形为圆 x2+y2=4 和 x2+y2=16 之间的圆环区域，13.【2017 全国 2 理 2】设集合 , .若 ,则 （）.124A240Bxm1ABA B C D1,3,01,35【答案】C
15、【解析】由题意知 是方程 的解,代入解得 3m,所以 2430x的解为 1x或 3,1x24xm从而 13B，.故选 C.14若集合 ,则 等于（ ）2|870,|3xMxNxPNMPA. B. 3,64,5C. D.24527【答案】C【解析】因为 ,所以2|870|17=2,3456,|3xMxNxxNPN,故选 C. 245P15已知集合 ,则集合 B 不可能是（ ）AxyA,1A 1xB ),(yC 1xD )12(log2xy【答案】D【解析】 , ,故选 D.A 1)2(log2yxy16.已知集合 M 是由具有如下性质的函数 组成的集合：对于函数 ,在定义域内存在两个变量)fx(
16、)fx且 时有 则下列函数 ； ；12,x12x1212()ff0feln()xf； 在集合 M 中的个数是()fsinxA1 个 B2 个 C3 个 D4 个【答案】B对于 ,函数 在 单调递增,在定义域内存在两个变量 且1(),()02fxfx()fx0)12,x时,在 单调增区间时有 ,此时只须 时可得 .满足题意12f 1f1x0()fx对于 ,函数 在 单调递减,在定义域内存()1sin,()cosfxfx()fx32,)(2kkZ在两个变量 且 时,在 单调减区间时有 ,满足题意.2,2f ()0f17设 是公比为 的等比数列, ,令 ,若数列 有连续四项在集合naq|1q1nba
17、 nb中 ,则 （ ）53,19,78A B C D2432332【答案】A18.已知集合 A( x,y)|x2y 21,x,yZ ,B(x,y)| x|2,|y|2,x,yZ,定义集合 A B(x 1x 2,y1y 2)|(x1,y1)A,( x2,y2)B ,则 A B 中元素的个数为 ( )A77 B49 C45 D30【答案】C【解析】如图,集合 A 表示如图所示的所有圆点“ ”,集合 B 表示如图所示的所有圆点“ ”所有圆点“ ”,集合A B 显然是集合( x,y)|x|3,|y|3,x,yZ中除去四个点(3,3),( 3,3),(3,3),(3,3)之外的所有整点(即横坐标与纵坐标
18、都为整数的点),即集合 A B 表示如图所示的所有圆点“ ”所有圆点“ ”所有圆点“ ”,共45 个故 A B 中元素的个数为 45.故选 C.19.非空集合 关于运算 满足：（1）对任意 , ,都有 ；（2）存在 ,使得对一切GaGbabGe,都有 ,则称 关于运算 为“融洽集 ”现给出下列集合和运算：aea, 为整数的加法； , 为整数的乘法； , 为平面向非 负 整 数 偶 数 平 面 向 量 量的加法； , 为多项式的加法； , 为复数的乘法其中 关于运G二 次 三 项 式 G虚 数 G算 为“融洽集” 的是（ ）A B C D【答案】B20若集合 , ,|04,0,4,Epqrsps
19、qsrspqrsN且,用 表示集合 中的元素个数,则,|,FtuvwtuvwtuvN且 cadX（ ）cardrFA50 B100 C150 D200【答案】D【解析】 ,故选 D. 33124102cardErF21 【2018 届江苏省南京市多校高三上学期第一次段考】已知集合 ,集合 ,若1,2Am2B,则实数 _BAm【答案】1【解析】由题意得 ,验证满足2122.设 是一个数集,且至少含有两个数,若对任意 、 ,都有 、 、 、 （除数 ）PabPabaPb0,则称 是一个数域,例如有理数集 是数域,有下列命题：Q数域必含有 0,1 两个数；整数集是数域；若有理数集 ,则数集 必为数域
20、；数域必为无限QM集其中正确的命题的序号是 【答案】【解析】当 时, ,故可知正确；当 不满足条件,故可知不正确；ab0,1aPb1,2abZ对当 中多一个元素 则会出现 所以它也不是一个数域；故可知不正确；根据数据的性质MiiM易得数域有无限多个元素,必为无限集,故可知正确,故答案为.【点评】本题考查简单的合情推理、新定义问题以及转化与划归思想,属于难题.新定义题型的特点是：通过给出一个新概念,或约定一种新运算,或给出几个新模型来创设全新的问题情景,要求考生在阅读理解的基础上,依据题目提供的信息,联系所学的知识和方法,实现信息的迁移,达到灵活解题的目的.遇到新定义问题,应耐心读题,分析新定义的特点,弄清新定义的性质,按新定义的要求,“照章办事”,逐条分析、验证、运算,使问题得以解决.本题的解答都围绕新概念“数域” 对任意 、 ,都有 、 、 、 这一性质abPabaPb展开的.
