1、3.1.2 用二分法求方程的近似解（一）教学目标1知识与技能掌握应用二分法求方程近似解的原理与步骤，会用二分法求方程的近似解.2过程与方法体会通过取区间中点，应用零点存在性定理，逐步缩小零点所属区间的范围，而获得零点的近似值即方程的近似解的过程中理解二分法的基本思想，渗透算法思想.3情感、态度及价值观在灵活调整算法，在由特殊到一般的认识过程中，养成良好的学习品质和思维品质，享受数学的无穷魅力.（二）教学重点与难点重点：用二分法求方程的近似解；难点：二分法原理的理解（三）教学方法讲授法与合作交流相结合，通过老师恰当合理的讲授，师生之间默切的合作交流，认识二分法、理解二分法的实质，从而能应用二分法
2、研究问题，达到知能有机结合的最优结果.（四）教学过程教学环节 教学内容 师生互动 设计意图提出问题引入课题1 问题：一元二次方程可用判别式判定根的存在性，可用求根公式求方程的根.但对于一般的方程，虽然可用零点存在性定理判定根的存在性，而没有公式. 求根：如何求得方程的根呢？函数 f (x) = lnx + 2x 6 在区间(2，3) 内有零点.如果能够将零点所在的范师：怎样求方程 lnx + 2x 6 = 0 的根.引导：观察图形生：方程的根在(2，3)区间内由旧到新设疑、析疑导入课题，实例分析了解二分法、进一步师生合作尝试二分法.围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，我们可以得到零点的近似值
3、.通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围.取区间(2，3)的中点2.5，用计算器算得 f (2.5)0.084.因为 f (2.5)f (3)0，所以零点在区间(2.5，3)内.再取内间(2.5，3)的中点 2.75，用计算器算得 f (2.75)0.512.因为 f (2.5)f (2.75)0，所以零点在区间(2.5，2.75)内.由于(2，3) (2.5，3)(2.5，2.75) ，所以零点所在的范围确实越来越小了.例如，当精确度为 0.01时，由于|2.539 062 5 2.531 25| = 0.007 812 50.01，所以，我们可以将 x = 2.531 25 作为函数f
4、 (x) = lnx + 2x 6 零点的近似值，也即方程 lnx + 2x 6 = 0 根的近似值.师：能否用缩小区间的方法逼近方程的根生：应该可用师：我们现用一种常见的数学方法二分法，共同探究已知方程的根.师生合作，借助计算机探求方程根的近似值.区间 中点的值 中点函数近似值(2,3) 2.5 0.084(2.5,3) 2.75 0.512(2.5,2.75) 2.625 0.215(2.5,2.625) 2.5625 0.066(2.5,2.5625) 2.53125 0.009(2.53125,2.5625) 2.546875 0.029(2.53125,2.546875) 2.539
5、0625 0.010(2.53125,2.5390625) 2.53515625 0.001形成概念1对于区间a，b上连续不断且 f (a)f (b)0 的函数 y = f (x)，通过不断地把师生合作回顾实例：求方程 lnx + 2x 6 = 0 的近似解( 精确度 0.01)的操作过程.掌握二分法，由特殊到一般形成概念，归纳总结应 函数 f (x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.2给定精确度 ，用二分法求函数 f (x)零点近似值的步聚如下：（1）确定区间a，b，验证 f (a)f (b)0，给定精确度 ；（2）求区间(a，b)的
6、中点c；（3）计算 f (c)；若 f (c) = 0，则 c 就是函数的零点；若 f (a)f (c)0，则令 b = c(此时零点 x0(a，c )；若 f (c)f (b)0，则令 a = c(此时零点 x0(c ，b).（4）判断是否达到精确度：即若|a b| ，则得到零点近似值 a(或 b)；否则重复 24.总结应用二分法的步骤师：讲授二分法的定义.生：总结应用二分法的步骤.学生交流总结，学生代表口述步骤，老师完善并板书.用二分法的步骤.应用举例 例 1 借助计算器或计算机用二分法求方程 2x + 3x = 7的近似解(精确度 0.1).师生合作应用二分法，遵循二分法的步骤求解，并借
7、助函数图象检验.例 1 解：原方程即 2x + 3x 7 = 0，令 f (x) = 2x + 3x 7，用计算器或计算机作出函数 f (x) = 2x + 3x 7 的对尝试体验二分法，培养应用二分法从而固化基本理论技能应值表与图象x 0 1 2 3 4f(x)=2x+3x7 6 2 3 10 21x 5 6 7 8f(x)=2x+3x7 40 75 142 273观察图或表可知 f(1)f(2)0，说明这个函数在区间(1，2)内有零点 x0.取区间(1，2) 的中点 x1=1.5，用计算器算得 f(1.5)0.33.因为 f(1)f(1.5)0,所以 x0(1，1.5).再取(1，1.5)
8、 的中点 x2=1.25，用计算器算得 f(1.25)0.87.因为f(1.25)f(1.5)0,所以x0(1.25 ，1.5).同理可得 x0(1.375，1.5)，x0(1.375 ，1.4375)由于|1.375 1.4375| = 0.06250.1，所以，原方程的近似解可取为1.4375.巩固练习1借助计算器或计算机，用二分法求函数 f(x) = x3 + 学生动手尝试练习，师生借助计算机合作完成求解.1解：由题设可知 f(0)= 1.40，f(1)=1.60，进一步体验二分法，巩固应用二分法的方法与1.1x2 + 0.9x 1.4 在区间(0，1)内的零点( 精确度 0.1).2借
9、助计算器或计算机，用二分法求方程 x = 3 lgx在区间(2，3) 内的近似解( 精确度 0.1).于是 f(0)f(1)0，所以，函数 f(x)在区间(0，1)内有一个零点.下面用二分法求函数 f(x) = x3 + 1.1x2 + 0.9x 1.4 在区间(0，1) 内的零点取区间(0，1) 的中点 x1=0.5，用计算器可算得 f(0.5)= 0.55.因为f(0.5)f(1)0，所以 x0(0.5 ，1).再取区间(0.5，1)的中点 x2=0.75，用计算器可算得 f(0.75)0.32.因为 f(0.5)f(0.75)0，所以 x0(0.5 ，0.75).同理可得 x0(0.62
10、5，0.75)，x0(0.625 ，0.6875) ，x0(0.65625，0.6875)由于|0.6875 0.65625|=0.31250.1，所以原方程的近似解可取为 0.65625.2解原方程即 x + lgx 3 = 0，令f(x) = x + lgx 3，用计算器可算得f(2)0.70，f(3)0.48，于是 f(2) f(3)0，所以，这个方程在区间(2，3)内有一个解.下面用二分法求方程 x = 3 lgx 在区间(2，3)内的近似解.取区间(2，3) 的中点 x1 = 2.5，用计算器可算得 f(2.5)0.10.因为 f(2.5)f(3)0，所以 x0-技巧及注意事项.(2
11、.5，3).再取区间(2.5，3)的中点 x2 = 2.75，用计算器可算得 f(2.75)0.19.因为f(2.5)f(2.75)0，所以 x0-(2.5，2.75).同理可得 x0(2.5，2.625)，x0(2.5625，2.625).由于|2.625 2.5625|=0.06250.1，所以原方程的近似解可取为 2.5625.课后练习 3.1 第三课时 习案 学生独立完成巩固二分法应用技能备选例题例 1 用二分法求函数 f (x) = x3 3 的一个正实数零点(精确到 0.1).【解析】由于 f (1) = 20，f (2) = 50，因此可以确定区间1，2 作为计算的初始区间，用二
12、分法逐步计算，列表如下：端点或中点的横坐标 计算端点或中点的函数值 定区间a0 = 1，b 0 = 2 f(1)= 2，f(2)=5 1，2.5xf (x0) = 0.3750 1，1.51.2f (x1) = 1.04690 1.25，1.52.51.37xf (x2) = 0.40040 1.375，1.5345f (x3) = 0.02950 1.4375，1.541.71.6872xf (x4) = 0.16840 1.4375，1.468755.345.32f (x5)0 1.4375，1.453125x6 = 1.4453125 f (x6)0 1.4375，1.4453125由上表的计算可知区间1.4375 ，1.4453125 的左、右端点精确到 0.1 所取的近似值都是1.4，所以 1.4 可作为所求函数的一个正实数零点的近似值.
