1、第九章 概率第一节 随机事件的概率1概率与频率(1)在相同的条件 S 下重复 n 次试验，观察某一事件 A 是否出现，称 n 次试验中事件 A出现的次数 nA为事件 A 出现的频数，称事件 A 出现的比例 fn(A) 为事件 A 出现的频率nAn(2)对于给定的随机事件 A，由于事件 A 发生的频率 fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率 P(A)，因此可以用频率 fn(A)来估计概率 P(A)2事件的关系与运算定义 符号表示包含关系如果事件 A 发生，则事件 B 一定发生，这时称事件 B 包含事件 A(或称事件 A 包含于事件 B)BA(或 AB)相等关系 若 BA 且 A B，那么称事件
2、A 与事件 B 相等 AB并事件(和事件)若某事件发生当且仅当事件 A 发生或事件 B 发生，则称此事件为事件 A 与事件 B 的并事件(或和事件)AB(或 AB)交事件(积事件)若某事件发生当且仅当事件 A 发生且事件 B 发生，则称此事件为事件 A 与事件 B 的交事件(或积事件)AB(或 AB)互斥事件 若 AB 为不可能事件，那么称事件 A 与事件 B 互斥 AB对立事件若 AB 为不可能事件，A B 为必然事件，那么称事件 A 与事件 B 互为对立事件AB且AB3概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：0P(A) 1.(2)必然事件的概率：P(A)1.(3)不可能事件的概率：P(A)
3、0.(4)概率的加法公式如果事件 A 与事件 B 互斥，则 P(AB)P( A)P(B)(5)对立事件的概率若事件 A 与事件 B 互为对立事件，则 AB 为必然事件P( AB)1，P(A)1P( B)1易将概率与频率混淆，频率随着试验次数变化而变化，而概率是一个常数2互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件试一试1甲：A 1，A 2 是互斥事件；乙：A 1，A 2 是对立事件，那么( )A甲是乙的充分但不必要条件B甲是乙的必要但不充分条件C甲是乙的充要条件D甲既不是乙
4、的充分条件，也不是乙的必要条件解析：选 B 两个事件是对立事件，则它们一定互斥，反之不一定成立2在 2013 年全国运动会火炬传递活动中，有编号为 1,2,3,4,5 的 5 名火炬手若从中任选 3 人，则选出的火炬手的编号相连的概率为( )A. B.310 58C. D.710 25解析：选 A 从 1,2,3,4,5 中任取三个数的结果有 10 种，其中选出的火炬手的编号相连的事件有：(1,2,3) ，(2,3,4) ， (3,4,5)，选出的火炬手的编号相连的概率为 P .310利用集合方法判断互斥事件与对立事件1由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥2事件 A 的对
5、立事件 所含的结果组成的集合，是全集中由事件 A 所含的结果组成的A集合的补集练一练1(2014赤峰模拟)先后抛掷硬币三次，则至少一次正面朝上的概率是( )A. B.18 38C. D.58 78解析：选 D 至少一次正面朝上的对立事件的概率为 ，故 P1 .18 18 782从装有 2 个红球和 2 个白球的口袋内任取 2 个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )A至少有 1 个白球，都是白球B至少有 1 个白球，至少有 1 个红球C恰有 1 个白球，恰有 2 个白球D至少有 1 个白球，都是红球解析：选 C 结合互斥事件和对立事件的定义知，对于 C 中恰有 1 个白球，即 1 白 1红，与
6、恰有 2 只白球是互斥事件，但不是对立事件，因为还有 2 只都是红球的情况，故选 C.考点一 事件关系的判断1(2013泉州一模)在一次随机试验中，彼此互斥的事件 A，B，C ，D 的概率分别为0.2,0.2,0.3,0.3，则下列说法正确的是( )AAB 与 C 是互斥事件，也是对立事件BBC 与 D 是互斥事件，也是对立事件CAC 与 BD 是互斥事件，但不是对立事件DA 与 BCD 是互斥事件，也是对立事件解析：选 D 由于 A，B，C，D 彼此互斥，且 ABCD 是一个必然事件，故其事件的关系可由如图所示的韦恩图表示，由图可知，任何一个事件与其余 3 个事件的和事件必然是对立事件，任何
7、两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件2在 5 张电话卡中，有 3 张移动卡和 2 张联通卡，从中任取 2 张，若事件“2 张全是移动卡”的概率是 ，那么概率是 的事件是( )310 710A至多有一张移动卡 B恰有一张移动卡C都不是移动卡 D至少有一张移动卡解析：选 A 至多有一张移动卡包含 “一张移动卡，一张联通卡” “两张全是联通卡”两个事件，它是“2 张全是移动卡”的对立事件，故选 A.3一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标有数字 1,2,3,4,5,6.将这个玩具向上抛掷 1次，设事件 A 表示向上的一面出现奇数点，事件 B 表示向上的一面出现的点数不超过 3，事件 C
8、表示向上的一面出现的点数不小于 4，则( )AA 与 B 是互斥而非对立事件BA 与 B 是对立事件CB 与 C 是互斥而非对立事件DB 与 C 是对立事件解析：选 D 根据互斥事件与对立事件的意义作答， AB 出现点数 1 或 3，事件A，B 不互斥但不对立；B C ，BC ，故事件 B，C 是对立事件类题通法判断事件关系时的注意事项(1)利用集合观点判断事件关系；(2)可以写出所有试验结果，看所求事件包含哪几个试验结果，从而判断所求事件的关系考点二 随机事件的概率典例 (2013广州模拟)将一枚骰子先后抛掷两次，观察向上的点数(1)求点数之积是 4 的概率；(2)设 a，b 分别是将一枚骰
9、子先后抛掷两次向上的点数，求式子 2ab 1 成立的概率解 将一枚骰子先后抛掷两次，向上的点数共有 36 种不同的结果(1)将一枚骰子先后抛掷两次，向上的点数分别记为 a，b ，点数之积是 4 对应以下 3 种情况：Error!Error!Error!因此，点数之积是 4 的概率为 P1 .336 112(2)由 2ab 1 得 2ab 2 0，ab 0，ab.而将一枚骰子先后抛掷两次向上的点数相等对应以下 6 种情况：Error!Error!Error!Error!Error!Error!因此，式子 2ab 1 成立的概率为 P2 .636 16在本例条件不变的情况下求：(1)在得到点数之和
10、不大于 6 的条件下，先后出现的点数中有 3 的概率；(2)两颗骰子向上的点数均大于等于 4 的概率.解：(1)由题意可知，在得到点数之和不大于 6 的条件下，先后出现的点数中有 3 的概率为 .55 4 3 2 1 13(2)此事件对应(4,4) ，(4,5) ，(4,6)，(5,4)，(5,5)，(5,6) ，(6,4)，(6,5)，(6,6)9 种情况，P .936 14类题通法求解随机事件的概率关键是准确计算基本事件数，计算的方法有：(1)列举法，(2)列表法，(3) 利用树状图列举针对训练(2013江苏高考)现有某类病毒记作 XmYn，其中正整数 m， n(m7，n9)可以任意选取，
11、则 m，n 都取到奇数的概率为 _解析：基本事件总数为 N7 963，其中 m，n 都为奇数的事件个数为M4 520，所以所求概率 P .MN 2063答案：2063考点三 互斥事件与对立事件的概率典例 (2014唐山统考)已知甲、乙两人下棋，和棋的概率为 ，乙胜的概率为 ，则甲12 13胜的概率和甲不输的概率分别为( )A. ， B. ，16 16 12 23C. ， D. ，16 23 23 12解析 “甲胜”是“和棋或乙胜”的对立事件，所以“ 甲胜”的概率为 1 .12 13 16设“甲不输”为事件 A，则 A 可看做是“甲胜”与“和棋”这两个互斥事件的和事件，所以 P(A) .(或设“
12、甲不输”为事件 A，则 A 可看做是“乙胜”的对立事件，所以16 12 23P(A)1 )13 23答案 C类题通法求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算二是间接求法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式 P(A)1P ( )，即运用逆向思维 (正难则反)，特别是“至A多” ， “至少”型题目，用间接求法就显得较简便针对训练(2013北京东城模拟)有编号为 1,2,3 的三个白球，编号 4,5,6 的三个黑球，这六个球除编号和颜色外完全相同，现从中任意取出两个球(1)求取得的两个球颜色相同的概率；(2
13、)求取得的两个球颜色不相同的概率解：从六个球中取出两个球的基本事件是：(1,2)，(1,3)，(1,4) ，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4) ，(2,5)，(2,6)，(3,4) ，(3,5)，(3,6) ，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共计 15 个(1)记事件 A 为“取出的两个球是白球” ，则这个事件包含的基本事件是 (1,2)，(1,3)，(2,3)，共计 3 个，故 P(A) ；记“取出的两个球是黑球”为事件 B，同理可得 P(B)315 15.15记事件 C 为“取出的两个球的颜色相同 ”，A，B 互斥，根据互斥事件的概率加法公式，得 P(C)P (AB)P (
14、A)P (B) .25(2)记事件 D 为 “取出的两个球的颜色不相同 ”，则事件 C，D 对立，根据对立事件概率之间的关系，得 P(D)1P( C)1 .25 35课堂练通考点1围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出 2 粒都是黑子的概率为 ，都是白子的17概率是 .则从中任意取出 2 粒恰好是同一色的概率是( )1235A. B.17 1235C. D11735解析：选 C 设“从中取出 2 粒都是黑子”为事件 A， “从中取出 2 粒都是白子”为事件 B， “任意取出 2 粒恰好是同一色”为事件 C，则 CA B ，且事件 A 与 B 互斥所以P(C)P (A)P( B) .即任意取出
15、 2 粒恰好是同一色的概率为 .17 1235 1735 17352(2013昆明调研)从 3 个红球、 2 个白球中随机取出 2 个球，则取出的 2 个球不全是红球的概率是( )A. B.110 310C. D.710 35解析：选 C “取出的 2 个球全是红球 ”记为事件 A，则 P(A) .因为“取出的 2 个310球不全是红球”为事件 A 的对立事件，所以其概率为 P( )1P(A)1 .A310 7103(2013黄冈一模)设集合 AB 1,2,3,4,5,6，分别从集合 A 和 B 中随机取数 x 和y，确定平面上的一个点 P(x，y) ，我们记“点 P(x，y)满足条件 x2y
16、 216”为事件 C，则C 的概率为 ( )A. B.29 112C. D.16 12解析：选 A 分别从集合 A 和 B 中随机取数 x 和 y，得到 (x，y)的可能结果有 36 种情况，满足 x2y 216 的(x ，y )有(1,1)，(1,2)，(1,3) ，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1) ，(3,2)这 8 种情况，故所求概率为 P(C) ，故选 A.836 294(2014潍坊模拟)连续 2 次抛掷一枚骰子 (六个面上分别标有数字 1,2,3,4,5,6)，记“两次向上的数字之和等于 m”为事件 A，则 P(A)最大时，m_.解析：m 可能取到的值有 2,3,4,
17、5,6,7,8,9,10,11,12，对应的基本事件个数依次为1,2,3,4,5,6,5,4,3,2,1，两次向上的数字之和等于 7 对应的事件发生的概率最大答案：75(2014绍兴调研)黄种人人群中各种血型的人所占的比例见下表：血型 A B AB O该血型的人所占的比例/% 28 29 8 35已知同种血型的人可以互相输血，O 型血的人可以给任一种血型的人输血，任何人的血都可以输给 AB 型血的人，其他不同血型的人不能互相输血小明是 B 型血，若他因病需要输血，问(1)任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？(2)任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？解：(1)对任一人，其血型为 A，
18、B ，AB，O 型血分别记为事件A，B，C ，D，它们是互斥的由已知，有 P(A) 0.28，P(B)0.29，P (C)0.08，P (D )0.35.因为 B，O 型血可以输给 B 型血的人，故 “任找一个人，其血可以输给小明”为事件BD ，根据概率加法公式，得 P(BD)P( B )P(D )0.290.350.64.(2)由于 A，AB 型血不能输给 B 型血的人，故“任找一个人，其血不能输给小明 ”为事件 A C，且 P(AC )P(A)P( C) 0.280.080.36.课下提升考能第组：全员必做题1从 1,2,3,4,5 中随机抽三个不同的数，则其和为奇数的概率为( )A. B
19、.15 25C. D.35 45解析：选 B 从 1,2,3,4,5 中随机抽三个不同的数共有 (1,2,3)、(1,2,4)、(1,2,5) 、(1,3,4)、(1,3,5)、(1,4,5)、(2,3,4) 、(2,3,5)、(2,4,5)、(3,4,5)共 10 种情况，其中(1,2,4) 、(1,3,5)、(2,3,4)、(2,4,5)中三个数字和为奇数，所以概率为 .252甲、乙两人喊拳，每人可以用手出 0,5,10 三个数字，每人则可喊 0,5,10,15,20 五个数字，当两人所出数字之和等于某人所喊数字时喊该数字者获胜，若甲喊 10，乙喊 15 时，则( )A甲胜的概率大 B乙胜
20、的概率大C甲、乙胜的概率一样大 D不能确定谁获胜的概率大解析：选 A 甲、乙两人喊拳，每人用手出 0,5,10 三个数字，有(0,0) ，(0,5)，(0,10)，(5,0)，(5,5)，(5,10) ，(10,0)，(10,5)，(10,10)，共 9 种情况若甲喊 10，则有(0,10) ，(5,5)，(10,0)，共 3 种情况获胜，所以甲胜的概率为 ；乙喊 15 时，有(5,10) ，(10,5)，共 2 种情况13获胜，所以乙胜的概率为 .所以甲胜的概率大293连续抛掷两颗骰子得到的点数分别为 m，n，向量 a( m，n)与向量 b(1,0)的夹角记为 ，则 的概率为 ( )(0，4
21、)A. B.518 512C. D.12 712解析：选 B 依题意得 a(m ，n) 共有 36 种情况，其中与向量 b(1,0)的夹角 需满足 1，即 mn，则有(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(6,1)，(3,2)，(4,2) ，(5,2)，(6,2) ，(0，4) nm(4,3)，(5,3)，(6,3) ，(5,4)，(6,4)，(6,5)，共 15 种情况所以所求概率为 .1536 5124在平面直角坐标系 xOy 中，不等式组 Error!表示的平面区域为 W，从 W 中随机取点M(x，y) 若 xZ，yZ，则点 M 位于第二象限的概率为( )A. B.16 13C
22、1 D16解析：选 A 画出平面区域，列出平面区域内的整数点如下：( 1,0)，(1,1)，( 1,2)，(0,0)，(0,1)，(0,2) ，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0) ，(2,1)，(2,2) ，共 12 个，其中位于第二象限的有(1,1)，( 1,2)，共 2 个，所以所求概率 P .165(2014安庆一模)将一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为 a，第二次出现的点数记为 b，设两条直线 l1：axby2 与 l2：x 2y2 平行的概率为 P1，相交的概率为 P2，则点 P(36P1,36P2)与圆 C：x 2y 21 098 的位置关系是( )A点 P 在圆
23、C 上 B点 P 在圆 C 外C点 P 在圆 C 内 D不能确定解析：选 C 易知当且仅当 时两条直线相交，而 的情况有三种：a1，b2，ab 12 ab 12此时两直线重合；a2，b4，此时两直线平行；a3，b6，此时两直线平行，而投掷两次的所有情况有 36 种，所以两条直线平行的概率 P1 .两条直线相交的概率 P21236 118 ，点 P(2,33)，点 P 与圆心(0,0)的距离为 ，故点 P 在圆336 1112 4 1 089 1 093 1 098C 内6某城市 2013 年的空气质量状况如下表所示：污染指数 T 30 60 100 110 130 140概率 P 110 16
24、 13 730 215 130其中污染指数 T50 时，空气质量为优；50T 100 时，空气质量为良；100T 150时，空气质量为轻微污染，则该城市 2013 年空气质量达到良或优的概率为_解析：由题意可知 2013 年空气质量达到良或优的概率为 P .110 16 13 35答案：357(2013北京海淀区期末)一个袋子中有红球 5 个，黑球 4 个，现从中任取 5 个球，则至少有 1 个红球的概率为_解析：“从中任取 5 个球，至少有 1 个红球”是必然事件，必然事件发生的概率为 1.答案：18抛掷一粒骰子，观察掷出的点数，设事件 A 为出现奇数点，事件 B 为出现 2 点，已知 P(
25、A) ，P(B) ，则出现奇数点或 2 点的概率为_ 12 16解析：由题意知“出现奇数点”的概率是事件 A 的概率， “出现 2 点”的概率是事件 B的概率，事件 A，B 互斥，则“出现奇数点或 2 点”的概率为 P(A)P(B) .12 16 23答案：239从装有编号分别为 a，b 的 2 个黄球和编号分别为 c，d 的 2 个红球的袋中无放回地摸球，每次任摸一球，求：(1)第一次摸到黄球的概率；(2)第二次摸到黄球的概率解：(1)第一次摸球有 4 种可能的结果：a，b，c，d，其中第一次摸到黄球的结果包括：a，b，故第一次摸到黄球的概率是 0.5.24(2)先后两次摸球有 12 种可能
26、的结果：( a，b)、(a，c) 、(a，d)、( b，a)、(b，c) 、(b，d)、(c，a)、( c，b) 、(c ，d)、(d，a) 、( d，b)、( d，c )，其中第二次摸到黄球的结果有 6 种：(a，b) 、(b，a) 、(c， a)、(c，b) 、(d，a)、( d，b)故第二次摸到黄球的概率为 0.5.61210为加强大学生实践、创新能力和团队精神的培养，促进高等教育教学改革，教育部门主办了全国大学生智能汽车竞赛该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，参加决赛的队伍按照抽签方式决定出场顺序通过预赛，选拔出甲、乙、丙三支队伍参加决赛(1)求决赛中甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率；(2)求决赛中甲、乙两支队伍出场顺序相邻的概率解：基本事件空间包含的基本事件有：甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲，共 6 个(1)设“甲、乙两支队伍恰好排在前两位”为事件 A，事件 A 包含的基本事件有：甲乙丙，乙甲丙，共 2 个，则 P(A) .26 13
