1、1第一章1.1 集合1. 关于集合的元素的特征（1）确定性（组成元素不确定的如：我国的小河流）（2）互异性（3）无序性集合相等：构成两个集合的元素完全一样(1)若集合 A 中的元素与集合 B 中的元素完全相同则称集合 A 等于集合 B,记作 A=B.(2) B,例：已知 A=1,1+d，1+2d，B=1 ，q，q 2，若 A=B，求的，d，q 的值。解：d= ，q=34 122. 元素与集合的关系；（1）如果 a 是集合 A 的元素，就说 a 属于（belong to）A ，记作 aA（2）如果 a 不是集合 A 的元素，就说 a 不属于（not belong to）A ，记作 a A子集与真
2、子集：如果集合 A 中的每一个元素都是集合 B 中的元素，那么集合 A 叫做集合 B 的子集，记作 或 .B若集合 P 中存在元素不是集合 Q 的元素，那么 P 不包含于 Q，或 Q 不包含 P.记作Q若集合 A 是集合 B 的子集，且 B 中至少有一个元素不属于 A,那么集合 A 叫做集合 B 的真子集. 或 .A子集与真子集的性质：传递性：若 ， ，则CA空集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集.3. 常用数集及其记法非负整数集（或自然数集） ，记作 N正整数集，记作 N*或 N+；整数集，记作 Z有理数集，记作 Q实数集，记作 R4. 集合的表示方法（1） 列举法：把集合中的元素一一
3、列举出来，写在大括号内。如：1 ，2， 3，4，5 ，x 2，3x+2，5y 3-x，x 2+y2，；（2） 描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内。具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或2变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。如：x|x-32，(x,y)|y=x 2+1，直角三角形，；（3） 自然语言描述法：小于 10 的所有正偶数组成的集合。 （2,4,6,8）问：1、1 ， 3，5，7，9如何用自然语言描述法表示？ 2、用例举法表示集合 |18AxN练习：（1）已知集合 M=a，b，c中的三个元素可构成某一三角形的三
4、条边，那么此三角形一定不是（ ）A 直角三角形 B 锐角三角形 C 钝角三角形 D 等腰三角形5. 集合间的基本运算并集（）：一般的由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素组成的集合，成为集合 A 与 B 的并集，记作 AB，即：|,x或,韦恩图如下：交集（）：一般地，由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素组成的集合，称为 A 与 B 的交集，记作 AB，即：|,.ABx且韦恩图如下：全集（U）：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就成这个集合为全集，记为 U。补集：对于一个集合 A，由全集 U 中不属于集合 A 的所有元素组成的集合称为集合 A 相对于全集 U
5、的补集，简称为集合 A 的补集，记作 CUA，即CUA =x xU 且 xA，韦恩图如下：练习：1、若 A=0，2，4，C UA=-1，2， C UB=-1，0，2，求 B= 。2、设 A=x|x-2,B=x|x0,A=1,3,5,7,9,B=1,4,7,10，且，试求 p、q；X,X8、已知集合 A=a+2，(a+1) 2，a 2+3a+3，且 1A，求实数 a 的值9、已知集合 A=x|x25x6=0，B=x|mx1=0，AB=A，求实数 m 的值组成的集合。10、集合 A=x|x2|2，xR，B=y|y=x 2，1x2，则 CR(AB)等于（）A.R B.x|xR，x0 C.0 D. （
6、 空 集 ）11、 已 知 a， b A，且 A 为a，b，c，d，e的真子集，则满足条件的集合 A的个数是（）12、记函数 f（x）=lg（2x3）的定义域为集合 M，函数 g（x）= 的定12 1义域为集合 N，求：（1）集合 M、N；（2）集合 mN，MN13、已知集合 A=x|xa|1，B=x|x 25x40，若 AB= ， 则 实 数 a的 取 值 范 围 是 （ ）41.2 函数函数概念：设 A、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称 f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个
7、函数。记作： y=f(x)， xA其中， x 叫做自变量， x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合 f(x)| xA 叫做函数的值域构成函数的三要素：定义域、对应关系、值域区间：（1）、开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）、无穷区间；区间的数轴表示例 1：已知函数 f (x) = + ，求函数的定义域。321x例 2：设一个矩形周长为 80，其中一边长为 x，求它的面积关于 x 的函数的解析式，并写出定义域。函数的定义域小结：（1）如果 f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集 R .（2）如果 f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于
8、零的实数的集合 .（3）如果 f(x)是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合.（4）如果 f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合.（即求各集合的交集）（5）满足实际问题有意义.例 3：下列函数中哪个与函数 y=x 相等？（1） y = ( )2 ; （2） y = ( ) ;x3x（3） y = ; （4） y= =242练习：1.求下列函数的定义域（1）y= 12 | 2 1（2） y=（ | ）（3）已知 f（x）的定义域为（1,1），求函数 F（x）=f（1x）f（ ）的1定义域。2.已知 A=1,2,3，k，B
9、=4,7，a 4，a 23a，aN *，xA，yB，f：xy=3x+1 是从定义域 A 到值域 B 的一个函数，求a，k，A，B。解：a=2，k=5，A=1,2,3,5，B=4,7,16,10映射：一般地，设 A、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则 f，使对于集合 A 中的任意一个元素 x，在集合 B 中都有唯一确定的元素 y与之对应，那么就称对应 f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个映射1 25记作“ f：AB”说明：（1）这两个集合有先后顺序，A 到 B 的映射与 B 到 A 的映射是截然不同的，其中 f表示具体的对应法则，可以用多种形式表述（2）“都有唯一”包含两层意
10、思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思例：1.已知 A=x，y，B=a，b，c，从集合 A 到集合 B 的所有不同的映射有（）个。2. 已知 A=x，y，B=a，b，c，从集合 B 到集合 A 的所有不同的映射有（）个。函数的表示方法：解析法、列表法、图像法练习：1.已知 f（x2）=2x 29x13，求 f（x）配凑法答案：f（x）=2x 2x32.已知 f（ 1）=x2 ，求 f（x1），f（x 2）换元法 答案：f（x1）=x 22x，（x0）；f（x 2）=x 41，（x1 或 x1）3.已知 f（x）是一次函数，且有 ff（x）=9x8，求 f（x）待定系数法答案
11、：f（x）=3x2 或 f（x）=3x44.设 f（x）满足关系式 f（x）2f（ ）=3x，求 f（x）消元法1答案：f（x）= x，xx|xR，x026.已知 x0，函数 f（x）满足 f（x ）=x 2 ，则 f（x）的表达式为（）1 1x2A.f（x）=x B.f（x）=x 22 C.f（x）=x 2 D.f（x）=（x ） 21 17.已知函数 f（x）= ，那么 f（5）的值为（）2，（ 4）（ 1） ，（ 4） A.32 B.16 C.8 D.648.若函数 f（2x1）x 22x，则 f（3）=（）9.已知函数 f（x）= ，则 f（1）f（2）f（ ）f（3）f（ ）21 2
12、 12 13f（4）f（ ）的值为（）1410.已知 f（ 1）=lgx，求 f（x）211.已知 f（x）是二次函数，且 f（0）=0，f（x1）=f（x）x1，求f（x）12.定义在（1,1）内的函数 f（x）满足：2f（x）f（x）=lg（x1），求函数 f（x）的解析式.61.3 函数的基本性质增函数：一般地，设函数 y=f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1，x 2，当 x1b ）3()82()144(3)2()ab解： ； ；2()10 ；433 .2abba随堂练习1. 求出下列各式的值(a1)473 43()2()(1(3)a解：
13、（1） ； （2 ）（3 ） 3a-344a【例 3】 ：求值： 63125.2)( ;24371分析：（1）题需把各项被开方数变为完全平方形式，然后再利用根式运算性质；解：9负 去 掉 绝 对 值 符 号 。上 绝 对 值 ， 然 后 根 据 正注 意 ： 此 题 开 方 后 先 带2)2(33| )()( )2(2)3(2)2(3246765)1( 奎 屯王 新 敞新 疆632323315.)(26626随堂练习2若 。21,aa求 的 取 值 范 围解： 3计算 34334(8)(2)()解：-9+第二节1、分数指数幂规定：（1）、正数的正分数指数幂的意义为： *(0,)mnanN正数的
14、负分数指数幂的意义与负整数幂的意义相同.即： *1(,)nma（2 ）、 0 的正分数指数幂等于 0，0 的负分数指数幂无意义 .2、分数指数幂的运算性质整数指数幂的运算性质，对于分数指数幂同样适用，即：（1 ） (0,)rsrsaQ（2 ） ()S（3 ） ）rbbrr ,、无理指数幂10思考：若 0，P 是一个无理数，则 该如何理解？apa自主学习：学生阅读教材第页中的相关内容归纳得出： 的不足近似值，从由小于 的方向逼近 ， 的过剩近似值从大222于 的方向逼近 。所以，当 不足近似值从小于 的方向逼近时， 的近似25值从小于 的方向逼近 .525当 的过剩似值从大于 的方向逼近 时，
15、的近似值从大于 的方向逼近252，(如课本图所示) 所以， 是一个确定的实数.2 2总结：一般来说，无理数指数幂 是一个确定的实数，有理(0,)pa是 一 个 无 理 数数指数幂的性质同样适用于无理数指数幂. 这样幂的性质就推广到了实数范围(0,)rsrsaRs(),rrba练习：轻松过关、下列式子中计算正确的是（ D ）A B C D42x63x623x4293a2 下列式子中计算正确的有（ A ）（） ；（） （）a1 61a11abnnA 0 B 1 C 2 D 3、 的值是（ ）33 、下列说法正确的是（ ） 无意义 252542.141.552、用计算器算 ；（保留个有效数字）.10
16、、已知 ，则 ；32121a1a、计算 的值5922(9)解：原式 51310适度拓展、化简： （e=2.718 ）442323ee解：原式 + = 9、已知 求 的值,1a3a 11解原式 ，提示： ）23 21213)(aaa综合提高、已知： ， ，725b求 的值.354314323496aba解：由 ，231)(bb又 1ab， ，从而得 ，35434原式 = =35413209bab354231029ba= .0)(9)( 222310 二、指数函数及其性质定义：一般地，函数 xya（ 0 且 a1）叫做指数函数，其中 x是自变量，函数的定义域为 R.当 a1 时，函数的图象为：当
17、0 a1 时，函数的图象为：- - - - -xy0y=2x12xy- - - - -xy012图象特征 函数性质a1 0 a1 a1 0 a1向 x轴正负方向无限延伸 函数的定义域为 R图象关于原点和 y轴不对称 非奇非偶函数函数图象都在 x轴上方 函数的值域为 R+函数图象都过定点（0，1） 0a=1自左向右，图象逐渐上升自左向右，图象逐渐下降 增函数 减函数在第一象限内的图象纵坐标都大于 1在第一象限内的图象纵坐标都小于 1 x0，xa1 x0， xa1在第二象限内的图象纵坐标都小于 1在第二象限内的图象纵坐标都大于 1 0，x1 0， x1利用函数的单调性，结合图象还可以看出：（1 ）
18、在 ,xabfa上 ()=（ 0 且 a1）值域是 (),(),;fabfa或（2 ）若 0xf x 则 ;取 遍 所 有 正 数 当 且 仅 当 R;（3 ）对于指数函数 x（ 0 且 1），总有 1;f（4 ）当 1 时，若 1 2，则 ()f 2)f；练习：1、函数 ()xf的 定 义 域 和 值 域 分 别 是 多 少 ?,0xRy2、当 ,1()32xxf时 函 数 的 值 域 是 多 少 （ 53，）132.2 对数函数对数与对数运算对数：一般地，若 (0,1)xaNa且 ，那么数 x叫做以 a 为底 N 的对数，记作 logaxN叫做对数的底数， N 叫做真数 .2、对数式与指数
19、式的互化在对数的概念中，要注意：（1 ）底数的限制 a0 ，且 1（2 ） logxx指数式 对数式幂底数 对数底数指 数 x对数幂 N真数恒等式： loga=N负数和零没有对数。Loga1=0；log aa=1两类对数： 以 10 为底的对数称为常用对数， 10logN常记为 lg. 以无理数 e=2.71828为底的对数称为自然对数， oe常记为 lnN.例：求下列各式中 x 的值（1 ） 642log3 （2） l86x （3） lx （4） 2lex分析：将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求出 x.解：（1）223()321()44x（2 ）16668,8所 以（3） 20,x
20、x于 是（4） 22lnln,ee-x由 得 即 ， 所以 2x对数的运算运算性质：如果 ，且 ， ， ，那么：0a10MN ；1 (log)Nalogal ；2 a3 nlal)(Rn14换底公式（ ，且 ； ，且 ； ）abcalogl01a0c10b证明：设 ax=b，所以 logcax=logcb，因为 logcax=xlogca；所以X=logcax/logca=logcb/logca=logab换底公式推论（1 ） ；mnbaaloglog（2 ） bl1对数函数的图象（1 ） xy2log（2） 1（3 ） 3l（4 ） xy1og图象特征 函数性质1a1a01a1a0函数图象都
21、在 y 轴右侧 函数的定义域为（0，）图象关于原点和 y 轴不对称 非奇非偶函数向 y 轴正负方向无限延伸 函数的值域为 R函数图象都过定点（ 1，1） 1自左向右看，图象逐渐上升自左向右看，图象逐渐下降 增函数 减函数第一象限的图象纵坐标都大于 0第一象限的图象纵坐标都大于 00log,1xa 0log,1xa第二象限的图象纵坐标都小于 0第二象限的图象纵坐标都小于 0l,al,xa152.3 幂函数定义：一般地，形如 yx（ R）的函数称为幂孙函数，其中 x是自变量， 是常数.如11234,yx等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数.五种基本幂函数：42-2-4-6
22、-8-10-5 5 10 15yx2yx3yx12yx1yx定义域 R R R |0|0奇偶性 奇 奇 奇 非奇非偶 奇在第象限单调增减性在第象限单调递增在第象限单调递增在第象限单调递增在第象限单调递增在第象限单调递减定点 （1 ，1） （1 ，1） （1 ，1） （1 ，1） （1 ，1）幂函数性质：（1 ）所有的幂函数在（0 ，+）都有定义，并且图象都过点（1 ，1）（原因：x）；（2 ） 0 时，幂函数的图象都通过原点，并且在0，+ 上，是增函数（从左往右看，函数图象逐渐上升）.特别地，当 x1， 1 时， x（0，1）， 2yx的图象都在 yx图象的下方，形状向下凸越大，下凸的程度越大
23、（你能找出原因吗？）当1 时， （0，1）， 2y的图象都在 的图象上方，形状向上凸， 越小，上凸的程度越大（你能说出原因吗？）yx122yxy=x3y=x-116（3 ） 0 时，幂函数的图象在区间（0，+ ）上是减函数.在第一家限内，当 x向原点靠近时，图象在 y轴的右方无限逼近 y轴正半轴，当x慢慢地变大时，图象在 轴上方并无限逼近 x轴的正半轴.例题：证明幂函数 ()0,fx在 上是增函数证：任取 121,)x且 2则12()ff= 12()xx= 12因 12x0， 12x0所以 ()ff，即 (),fx在 上是增函数.17第三章 函数的应用3.1 函数与方程零点定义：对于函数 ，把
24、使 成立的实数 叫做函数)(Dxfy0)(xfx的零点)(Dxfy函数零点的意义：函数 的零点就是方程 实数根，亦即函数 的图象与 轴交点f 0)(f )(xfy的横坐标即：方程 有实数根 函数 的图象与 轴有交点 函数 有零0)(xf)(xfyx)(f点函数零点的求法：求函数 的零点：)(fy（代数法）求方程 的实数根；0)(xf（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数 的图象联系起来，)(xfy并利用函数的性质找出零点二次函数的零点：二次函数)0(2acbxy（） ，方程 有两不等实根，二次函数的图象与 轴有两2x个交点，二次函数有两个零点（） ，方程 有两相等实根（二重根），二
25、次函数的图象2与 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点x（） ，方程 无实根，二次函数的图象与 轴无交点，二02cbxa x次函数无零点零点存在性的探索：（）观察二次函数 的图象：3)(2f 在区间 上有零点_；1,2_， _,)(f f _0（或）f 在区间 上有零点_；4, _0（或）)2(f（）观察下面函数 的图象)(xfy18 在区间 上_(有/无)零点；,ba _0（或）)(f 在区间 上_(有/无)零点；,c _0（或）)(bf 在区间 上_(有/无)零点；,d _0（或）cf3.2 二分法概念：对于在区间a，b上连续不断且 f（a）f（b） 0 的函数 y=f（x），通过不断地把函数 f（x）的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法。求二分法步骤：1. 确定区间a，b，验证 f（a）f（b）0，给定精确度 ；2. 求区间（a，b ）的中点 c；3. 计算 f（c）；（1 ） 若 f（c）=0 ，则 c 就是函数的零点；（2 ） 若 f（a）f（b ）0，则令 b=c（此时零点 x0（a，c）；（3 ） 若 f（c） f（b）0，则令 a=c（此时零点 x0 （c，b）；4. 判断是否达到精确度 ：即若|ab|，则得到零点近似值 a（或 b）；否则重复 2 到 4.
