1、1,附录 数学准备(二),矢量代数 梯度、散度和旋度 关于散度和旋度的一些定理 算符运算公式 曲线正交坐标系 轴对称情形下拉普拉斯方程的通解 并矢和张量,2,在一般曲线正交坐标系中，空间一点P的位置，用三个坐标表示,5. 曲线正交坐标系,沿这些坐标增加方向的单位矢量,单位矢量按一定规则改变方向,3,以极坐标为例,4,在P点上任一矢量可以写为,沿这三个方向的线元,5,在曲线正交坐标系中有一般公式,6,7,常用的曲线正交坐标系：,（1）柱坐标系,8,9,（2）球坐标系,10,11,6. 轴对称情形下拉普拉斯方程的通解,在轴对称情形下，拉普拉斯方程用球坐标表示为,12,用分离变量法解此方程。设,此式
2、左边为r的函数，右边为的函数，只有当它们都等于常数时才有可能相等。,13,令此常数为n(n+1), 则得两个方程：,14,容易求出解,为任意常数，由边界条件确定,15,作代换变换角度方程,16,上式称为勒让德方程，只有当n为整数时才存在-1 1区间的有限解，其解称为勒让德多项式，记为,得通解,17,用简单方法求出Pn(cos)的显示式:,当r0时点电荷电势为拉普拉斯方程的解。,将下式描述的电势代入即可验证,18,对拉普拉斯方程作用算符,为一解,若,亦为一解,亦为解,19,因此，拉普拉斯方程具有特解,这些特解都具有形式,20,比较并按习惯定义所选的常数因子，得,21,可以证明Pn(cos)的一般
3、表达式为,22,7. 并矢和张量,一般, 两矢量ab并列即为并矢,并矢是张量的一种特殊情形，为什么引入并矢?,即为并矢,一变形物体在外力作用下其各部分有内力相互作用。为研究其内力，将变形物体沿某个截面切开，切面的法向单位为n。在截面上某一点单位面积上作用的力矢量为f。 f 对截面的拉伸：,23,并矢：两矢量并列，不做任何运算有9个分量,24,以动量流密度T 来说明张量的意义,设ABC为一面元S，这面元的三个分量分别等于OBC，OCA和OAB的面积。OABC是一个体积元V 。,25,通过界面OBC单位面积流入体内的动量三个分量为T11 ，T21 ， T31,通过界面OCA单位面积流入体内的动量三
4、个分量为T12 ，T22 ， T32,通过界面OAB单位面积流入体内的动量三个分量为T13 ， T23 ，T33,26,当体积V 0时，通过这三个面流入体内的动量等于从面元ABC流出的动量。因此，通过ABC面流出的动量各分量为,27,写成矢量形式为,这就是通过面元 s 流出的动量。则通过闭合曲面内流出的总动量为,张量T 的分量Tij的意义： 通过 垂直于 j 轴的单位面积 流过的 动量 i 分量。,28,单位面积内力矢量,29,张量是具有9个分量的物理量,当这9个分量在坐标系转动下按一定方式变换时，由它们组成的物理量就称为张量。并矢是张量的一种特殊情形。,30,可参考 平面向量(二维, 2个分
5、量)的旋转变换 空间向量(三维, 3个分量)的旋转变换,31,Ox与Ox轴、Oy轴、Oz轴夹角1、1、1 Oy与Ox轴、Oy轴、Oz轴夹角2、2、2 Oz与Ox轴、Oy轴、Oz轴夹角3、3、3,32,一般张量可以写为,（i,j=1，2，3),三个对角分量为1，其它分量为0。,单位张量,33,可以作为张量的9个基,直角坐标系的单位基矢,是在这9个基上的分量,34,并矢与矢量的点乘是一个矢量。,（2）张量的代数运算,并矢与矢量的点乘规则：,一般而言,35,张量和矢量的点乘,单位张量和任意矢量的点乘等于该矢量,36,两并矢的双点乘: 两两缩并,37,（3）张量分析,38,关于张量和并矢有积分变换式,
