1、2.1 三角形,第2章 三角形,第2课时 三角形的高、角平分线和中线,1.了解三角形的高、角平分线与中线的概念，会用工具准确画出三角形的高、角平分线与中线;（重点） 2. 学会用数学知识解决实际问题，发展应用和自主 探究意识，并培养学生的动手实践能力.（难点）,学习目标,复习回顾,导入新课,当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线,把一条线段分成两条相等的线段的点,一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线,画一画,如图，P为线段AB右上方一点，过点P作线段AB的垂线.,P ,讲授新课,问题1 什么是三角形的高？
2、怎样画三角形的高？,定义 如图，从ABC的顶点A向它所对的边BC所在直线画垂线，垂足为D,所得线段AD叫做ABC的边BC上的高.,问题2 由三角形的高你能得到什么结论？,ADB= ADC=90 ,A,B,C,垂足,注意:标明垂直的记号和垂足的字母.,高的叙述方法（如图）：有三种.,ADBC,垂足为D.,点D在BC上，且BDA=CDA=90.,AD是ABC的高.,A,B,C,D,锐角三角形的三条高,问题1:每人画一个锐角三角形. (1) 你能画出这个三角形的三条高吗?,(2) 这三条高之间有怎样的位置关系？,问题2:锐角三角形的三条高是在三角形的内部还是外部?,A,B,C,D,E,F,锐角三角形
3、的三条高交于同一点.,锐角三角形的三条高都在三角形的内部.,探究交流,直角三角形的三条高,问题：在纸上画出一个直角三角形.,A,B,C,(1)画出直角三角形的三条高.,直角边BC边上的高是_;,AB,直角边AB边上的高是 ;,CB,(2)它们有怎样的位置关系？,D,斜边AC边上的高是_.,BD,直角三角形的三条高交于直角顶点.,A,B,C,D,E,F,钝角三角形的三条高,问题： (1) 钝角三角形的三条高交于一点吗？,(2)它们所在的直线交于一点吗？,O,钝角三角形的三条高不相交于一点,钝角三角形的三条高所在直线交于一点,三角形的三条高的特性,高所在的直线是否相交,高之间是否相交,高在三角形内
4、部的数量,钝角三角形,直角三角形,锐角三角形,3,1,1,相交,相交,不相交,相交,相交,相交,三条高所在直线的交点的位置,三角形 内部,直角顶点,三角形 外部,典例精析,方法总结:面积法的应用：若涉及两条高求长度，一般需结合面积(但不求出面积)，利用三角形面积的两种不同表示方法列等式求解.,例1：如图所示，在ABC中，ABAC5，BC6，ADBC于点D，且AD4，若点P在边AC上移动，求BP的最小值.,解：根据垂线段最短，可知当BPAC时，BP有最小值,由ABC的面积公式可知, ADBC BPAC.,代入数值，可解得BP .,问题1 如图，若OC是AOB的平分线，你能得到什么结论？,AOC=
5、 BOC,问题2 你能用同样的方法画出任意一个三角形的一个内角的平分线吗?,D,想一想：三角形的角平分线与角的角平分线相同吗?,相同点是： BAD= CAD; 不同点是：前者是线段，后者是射线.,问题4：请画出这个三角形的另外两条角平分线,你发现了什么？,三角形的三条角平分线交于一点,A,B,C,D,E,F,问题3：一个三角形有几条角平分线？,3,称之为三角形的内心,观察下面三种三角形的三条角平分线，你又有什么发现？,例2：如图，DC平分ACB，DEBC,AED= 80，求ECD的度数.,解：DC平分ACB,又DEBC,AED=ACB=80.,ECD=40.,ECD=BCD= ACB.,问题1
6、 如图，如果点C是线段AB的中点，你能得到什么结论？,AC=BC= AB,问题2 如图，如果点D是线段BC的中点，那么线段AD就称为ABC的中线类比三角形的高的概念，试说明什么叫三角形的中线？,A,B,C,定义： 如图，连接ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D,所得线段AD叫做ABC的边BC上的中线.,想一想：由三角形的中线能得到什么结论？,BD=CD= BC,画一画：如图，分别画出下列三角形的三条中线，并观察它们中线的交点有什么规律？,画图发现,三角形的三条中线交于三角形内部一点.这一点我们称为三角形的重心.,A,B,C,A,B,C,A,B,C,D,E,F,D,D,E,F,E,F,问题3
7、如图所示，在ABC中，AD是ABC的中线，AE是ABC的高试判断ABD和ACD的面积有什么关系？为什么？,答：相等，因为两个三角形等底同高，所以它们面积相等.,问题4 通过问题3你能发现什么规律？,答：三角形的中线能将三角形的面积平分.,例3 如图，AD是ABC的中线， AE是ABC的高. （1）图中共有几个三角形？请分别列举出来;,解: （1）图中有6个三角形，,它们分别是：,ABD，,ADE，,AEC，,ABE，,ADC，,ABC;,（2）其中哪些三角形的面积相等？,解: 因为AD是ABC的中线，,所以 BD=DC.,因为AE是ABC的高，也是ABD和ADC的高，,所以SABD = SAD
8、C .,又SABD = BDAE，,SADC = DCAE，,总结：三角形的中线把三角形分成面相等的两个部分.,如图,在ABC中, 1=2,G为AD中点,延长BG交AC于E,F为AB上一点,CFAD于H,判断下列说法的正误.,A,B,C,D,E,1,2,F,G,H,AD是ABE的角平分线( ),BE是ABD边AD上的中线( ),BE是ABC边AC上的中线( ),CH是ACD边AD上的高( ),例4 如图，ABC中，AD是BC边上的中线，若ABC的周长为35cm，BC=11cm，且ABD与ACD的周长差为3cm，求AB与AC的长.,A,C,D,B,解: AD是ABC的中线， CD=BD. ABC
9、的周长为35cm，BC=11cm， AC+AB=35-11=24（cm）. 又ABD与ACD的周长差为3cm, AB-AC=3cm， AB=13.5cm,AC=10.5cm.,例5：如图，在ABC中，E是BC上的一点，EC2BE，点D是AC的中点，SABC12，求SADFSBEF的值.,SABDSABE(SADFSABF)(SABFSBEF)SADFSBEF，,即SADFSBEFSABDSABE642.,解：点D是AC的中点，AD AC.,SABC12，SABD SABC 126.,EC2BE，SABC12，SABE SABC4.,知识归纳,当堂练习,1下列说法正确的是 （ ） A三角形三条高
10、都在三角形内 B三角形三条中线相交于一点 C三角形的三条角平分线可能在三角形内，也可能在三角形外 D三角形的角平分线是射线,B,2在ABC中，AD为中线，BE为角平分线，则在以下等式中：BAD=CAD；ABE=CBE；BD=DC；AE=EC其中正确的是 （ ） A B C D,D,3.如图，ABC中,C=90，CDAB，图中线段中可以作为ABC的高的有 （ ） A2条 B3条 C4条 D5条,B,D,5.填空： （1）如图，AD,BE,CF是ABC的三条中线，则AB= 2_,BD= _,AE= _.,(2)如图，AD,BE,CF是ABC的三条角平分线，则1= _， 3= _,ACB=2 _.,
11、图,图,AF,DC,AC,2,ABC,4,6.如图，AD是ABC的中线，CE是ACD的中线，SAEC=3cm2，则SABC =_.,12,7.在ABC中,CD是中线,已知BC-AC=5cm, DBC的周长为25cm,求ADC的周长.,解： CD是ABC的中线， BD=AD . BC-AC=5cm, DBC与ADC的周长差是5cm, 又 DBC的周长为25cm， ADC的周长=25-5=20(cm).,能力提升：王大爷有一块三角形的菜地,现在要将它们平均分给四个儿子,在菜地的一角A处有一口池塘,为了使分开后的四块菜地都就近取水,王大爷为此很伤脑筋.你能想出什么办法帮帮王大爷吗？如果不考虑水源,你认为还可以怎样分?,A,（思路提示：想到三角形的中线能把三角形分成面积相等的两部分.）,课堂小结,三角形重要线段,高,中线,会把原三角形面积平分,一边上的中线把原三角形分成两个三角形，这两个三角形的周长差等于原三角形其余两边的差,角平分线,
