1、工程力学,第三章 力矩与平面力偶系,31 力矩的概念和计算 32 力偶的概念 33 平面力偶系的合成与平衡,第三章 力矩与平面力偶系,3-1力矩的概念和计算,3-1力矩的概念和计算,力对物体可以产生,（1）用扳手拧螺母；,（2）开门，关门。,（一）力对点之矩,由上图知，力 F 使物体绕 o 点转动的效应，不仅与力F 的大小， 而且与 o 点到力的作用线的垂直距离 d 有关，故用乘积 Fd 来 度量力的转动效应。该乘积根据转动效应的转向取适当的正 负号称为力 F 对点 o 之矩，简称力矩，以符号 表示。,3-1力矩的概念和计算,F,即,力矩的正负号： 力使物体绕逆时针方向转动为正，反之为负。,应
2、注意：力对点之矩只取决于力矩的大小及其旋转方向（力矩的正负），因此它是一个代数量。,o 点称为力矩的中心，简称矩心；o 点到力 F 作用线的垂直距离 d ,称为力臂。,力矩的单位：国际制 ， 工程制 公斤力米,3-1力矩的概念和计算,（1）力对任一已知点之矩，不会因该力沿作用线移动而改变；（2）力的作用线如通过矩心，则力矩为零；反之，如果一个力其大小不为零，而它对某点之矩为零，则此力的作用线必通过该点；（3）互成平衡的二力对同一点之矩的代数和为零。,力矩的性质：,3-1力矩的概念和计算,力矩计算,简支刚架如图所示，荷载F=15kN，=45 ,尺寸如图。试分别计算F对A、B两点之矩。,d,解:,
3、1、力F对A点的力矩,2、力 F 对B点的力矩,注意：负号必须标注，正号可标也可不标。一般不标注。,（二）合力矩定理,表达式：,而,3-1力矩的概念和计算,则,( ),( b ),( c ),由式（ a ），该汇交力系的合力 ，它对矩心的矩,比较（ b ）、（ c ）两式有,3-1力矩的概念和计算,3-1力矩的概念和计算,平面汇交力系的合力矩定理： 平面汇交力系的合力对作用面内任一点的矩 等于力系中各分力对同一点之矩的代数和。,12,（三）、力矩的解析表达式,Mo(F)= xFy-yFx,x、y是力F作用点A的坐标，而Fx 、 Fy是力F在x、y轴的投影，计算时用代数量代入。,合力FR对坐标原
4、点之矩的解析表达式,例题.图示F=5kN, sin=0.8试求力F对A点的矩.,解:(1),h,C,D,CD =18.750.6 = 11.25,AC = 20 -11.25 = 8.75,h = 8.75 0.8 = 7,mo(F) = hF= 7 5 = 35,(2),Fx,Fy,Fx = Fcos= 5 0.6 = 3,Fy = Fsin= 5 0.8 = 4,D,mo(Fx) = - BD Fx = -15 3 = -45,mo(Fy) = AD Fy = 20 4 = 80,mo(F) = mo(Fx) + mo(Fy) = -45 + 80 = 35,例题讲解,【例题1】作用于扳手
5、的力F=200N，l=0.40m,=60o, 试计算力F对O点之矩。,解一：,绕着O点顺时针转动，为负。,例题讲解,【例题】作用于扳手的力F=200N，l=0.40m,=60o, 试计算力F对O点之矩。,解二：取坐标系oxy如图所示，则,由合力矩定理,18,如图所示圆柱直齿轮，受到啮合力Fn的作用。设Fn=1400 N。压力角=20o ，齿轮的节圆（啮合圆）的半径 r = 60 mm，试计算力 Fn 对于轴心O的力矩。,r,h,O,Fn,例题讲解,19,计算力Fn对轴心O的矩，按力矩的定义得,或根据合力矩定理，将力Fn分解为圆周力F 和径向力Fr ,解：,则力Fn对轴心O的矩,力对点之矩, 例
6、题,解法一,解法二,20,A,B,q,x,水平梁AB受三角形分布的载荷作用，如图所示。载荷的最大集度为q， 梁长l。试求合力作用线的位置。,力对点之矩, 例题,集中力或集中荷载：力或 荷载的作用面积很小或与整个 构件的尺寸相比很小，可以认 为集中作用在一点上。例如， 道路给轮子的力等。,几种分布荷载,（1）体分布荷载：荷载（力）分布在整个构件内部各点上。 例如，构件的自重等。,（2）面分布荷载：分布在构件表面上的荷载（力）。例如， 风压力、压力等。,（3）线分布荷载：荷载分布在狭长范围内，如沿构件的轴线分布。,荷载：施加在结构上的集中力或分布力,分布荷载: 分布在较大范围内，不能看作集中力的荷
7、载称分布荷载。,（1）集中荷载的单位，即力的单位为（N,kN)。,荷载的单位,分布荷载的大小用集度表示，指密集程度。,（2）体分布荷载的单位：,（3）面分布荷载的单位：,（4）线分布荷载的单位：,平行分布线荷载,若分布荷载可以简化为沿物体中心线分布的平行力，则称此力系为平行分布线荷载，简称线荷载。,结论： 1、合力的大小等 于线荷载所组成几何图形 的面积。 2、合力的方向与线荷载的方向相同。 3、合力的作用线通过荷载图的形心。,平行分布线荷载的简化,1、均布荷载,2、三角形荷载,3、梯形荷载,如图4-13所示的均布荷载，其合力为：,作用线则通过梁的中点。,（1）均布荷载：集度为常数的分布荷载。
8、,分布荷载的计算方法,F,q=10.91kN/m,16 m,如图3-11所示坝体所受的水压力为非均布荷载，其计 算方法见前。,（2）非均布荷载：荷载集度不是常数的荷载。,A,B,C,27,在梁上距A端为x的微段dx上，作用力的大小为q dx，其中q 为该处的载荷集度 ，由相似三角形关系可知,x,A,B,q,x,dx,h,l,F,因此分布载荷的合力大小,解：,力对点之矩, 例题,28,设合力F 的作用线距A端的距离为h，根据合力矩定理，有,将q 和 F 的值代入上式，得,x,A,B,q,x,dx,h,l,F,力对点之矩, 例题,3-2力偶的概念,（一）力偶和力偶矩,1. 力偶的概念,3-2力偶的
9、概念,举例,3. 力偶的性质,（1）力偶在任何坐标轴上的投影等于零；,（2）力偶不能合成为一力，或者说力偶没有合 力，即它不能与一个力等效，因而也不能被一个力平衡；,（3）力偶对物体不产生移动效应，只产生转动 效应，既它可以也只能改变物体的转动状 态。,3-2力偶的概念,2. 力偶的三要素,（1）力偶矩的大小；,（2）力偶的方向；,（3）力偶的作用面。,(4) 力偶对其所在平面内任一点的矩恒等于力偶矩，而 与矩心的位置无关，因此力偶对刚体的效应用力偶 矩度量。,4.力偶的表示方法用力和力偶臂表示，或用带箭头的弧线表示，箭头表示力偶的转向，M表示力偶的大小。,5. 力偶矩,其转动效应力对点之矩，
10、即用力偶中的两个力对其作用面内任一点之矩的代数和来度量。,或,3-2力偶的概念,逆时针转动，力偶矩为正,（二）平面力偶等效定理,定理：在同一平面内的两个力偶，如它们的力偶矩的大小相等，而且转向相同，则此两力偶等效。,例如：方向盘,3-2力偶的概念,推论1 力偶可以在其作用面内任意转移而不改变它对刚体的转动效应,如下图(a)、(b)所示。,3-2力偶的概念,推论2 在保持力偶矩的大小和转向不变的条件下，可以任意改变力偶中力和力偶臂的大小而不改变力偶对刚体的转动效应。,如下图(a)、(b)所示。,3-2力偶的概念,上述所有的结论都只适用于刚体,关于力偶性质的推论,只要保持力偶矩矢量不变，力偶可在作
11、用面内任意移动，其对刚体的作用效果不变。,只要保持力偶矩矢量不变，力偶可在作用面内任意移动，其对刚体的作用效果不变。,关于力偶性质的推论,保持力偶矩矢量不变，分别改变力和力偶臂大小，其作用效果不变。,关于力偶性质的推论,只要保持力偶矩矢量大小和方向不变 ,力偶可在与其作用面平行的平面内移动。,关于力偶性质的推论,M=Fdk,3-3 平面力偶系 的合成与平衡,平面力偶系:作用在物体同一平面的许多力偶叫平面力偶系,1、两个力偶的合成,d,d,3-3平面力偶系的合成与平衡,（一）合 成,结论:,平面力偶系合成结果还是一个力偶,其力偶矩为各力偶矩的代数和。,3-3平面力偶系的合成与平衡,2. 任意个力
12、偶的情况,平面力偶系平衡的充要条件是:所有各力偶矩的代数和等于零。,3-3平面力偶系的合成与平衡,利用这个平衡条件，可以求解一个未知量。,（二）平衡条件,例题讲解,【例题3】简支梁AB作用一力偶，其力偶矩的大小为m，梁长为L，不计自重，求支座A、B的反力。,解： mB = 0 -RAL+ m = 0 RA = RB = m/L,例题讲解,m,B,A,长为4m 的简支梁的两端 A、B 处作用有二个力偶矩，各为 。求 A 、B 支座的约束反力。,例题讲解,作 AB 梁的受力图，如图（ b ）所示。AB梁上作用有二个力偶组成的平面力偶系，在 A 、B 处的约束反力也必须组成一个同平面的力偶 （ ，
13、）与之平衡。,【解】,【例题4】,RA 、RB为正值，说明图中所示RA 、RB 的指向正确。,由平衡方程,例题讲解,作 AB 梁的受力图，如图（ b ）所示。AB梁上作用有二个力偶组成的平面力偶系，在 A 、B 处的约束反力也必须组成一个同平面的力偶 （ ， ）,与之平衡。,【解】,【例题5】在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等直径的孔,每个钻头的力偶矩为 求工件的总切削力偶矩和A 、B端水平反力?,解: 各力偶的合力偶距为,根据平面力偶系平衡方程有:,由力偶只能与力偶平衡的性质，力NA与力NB组成一力偶。,例题讲解,如图所示，机构 ，在图示位置平衡。已知：OA400mm， 600mm，作用在OA上的力偶矩之大小 1Nm。试求力偶矩 的大小和杆AB 所受的力F。各杆的重量及各处摩擦均不计。,例题讲解,【例题6】,例题讲解,所以 AB杆件受到的是5kN的拉力,分析 杆，有,例题讲解,（方向：逆时针）,如图所示盘由O点处的轴承支持，在力偶 M 和力 的作用下处于平衡。能不能说力偶M 被力 所平衡？为什么？,【分析与讨论】,直角杆CDA和T字型杆BDE在D处铰结，并支承如图。若系统受力偶矩为M的力偶作用，不计各杆自重，求A支座反力的大小和方向。,【分析与讨论】,
