1、第七章 刚体力学 引言 1问题的提出 2刚体：形状和大小完全不变的物体 3讨论：运动速度远小于弹性扰动传播速度 3同一问题视为何种模型，与研究问题的形式有关。 4研究刚体的方法：A将刚体视为不变质点系，用已知的质点系的力学规律研究。B刚体运动：平动、绕固定轴的转动。,研究内容：,1、平动,运动学规律,动力学规律,2、定轴转动,运动学规律,动力学规律,3、平面运动,运动学描述,动力学规律,4、平衡问题,5、介绍旋进运动及应用,7.1 刚体运动的描述 一、刚体的平动 1刚体的平动：在运动中，刚体上的任意一条直线在各个不同时刻的位置都保持平行。 2平动的特点(运动学特点)：,结论：各质元在平动中有相
2、同的速度和加速度，知道 某一质元的运动，就知道了整个刚体的平动。,二、刚体绕固定轴的转动 1定轴转动及特点 A定轴转动,B定轴转动的特点,每一点到转轴的半径在同一时间内转过相同角度。,2三个角量,A角坐标与角位移,运动学方程,（1）规定：面对转轴，逆时针转动 为正。,（2）单位：rad 量纲：1,角位移： 内，角坐标的增量 。,面对转轴：逆时针转 ；顺时针 。,B角速度,面对转轴：逆时针转动 ；反之 。,单位：rads-1 量纲,C角加速度,单位： 量纲：,3运动学方程的求解,A已知 ，求,匀角速转动时,B已知 和初始条件,若为匀加速转动,4线量和角量的关系 A线量：刚体上各质点作圆周运动的位
3、移、速度、加速度。 B角量：描述刚体整体转动的角位移、角速度、角加速度。,C关系,三、角速度矢量,1角位移（有限大小）不是矢量。 2. 瞬时角速度只与无限小角位移相联系，是矢量。 3角速度矢量方向沿转轴，且与旋转运动组成右手螺旋系统。,3角加速度矢量,正交分解形式,转轴与Z轴重合，则：,四、刚体的平面运动什么是平面运动？怎样描述平面运动? （1）位置如何描述 （图形法、描述法） （2）平面运动分析分解（平动、转动）,（3）运动描述,1刚体的平面运动,2确定刚体空间位置的方法,3平面运动的合成（分解）刚体的平面运动=平动+转动（合成）方法1：（1）先平移到末位置，再转动。（2）先转动，再平移到末
4、位置。方法2：把时间分为无穷多个小区间，每一间隔内的运动视为平动与转动，（与实际相同），总的运动效果是各间隔运动的时间积累。 4平面平行运动时，刚体上任一点的速度。,a.建立基本参考系，任选基点B,b.刚体绕通过B点的Z轴转动,特例：圆柱体的无滑滚动条件,任两点A，B：,无滑滚动时，与地面接触点,7.2 刚体的动量和质心运动定理,一、刚体的质心,一般情况下，刚体的质量可视为连续分布。,质量均匀分布时,讨论： （1）质量均匀分布，刚体具有对称轴或对称中心时，其中心必然在对称轴或对称中心上。若有几条这样的对称轴，质心必 在几条对称轴交点上。,（2）虽然质量分布不均匀，但分布与几何形状具有相同的对称
5、 轴，质心也在对称轴上。,（3）若刚体由几部分组成，先求出各部分的质心，再用质点系 的质心公式求出刚体的质心。,二、刚体的动量与质心运动定理,1动量守恒定律,2质心运动定理,刚体的动量：,三、例题,P231 习题7.2.2 质心坐标的计算解：1）如图建立OX坐标系，由于对称性，质心必在OX轴上。,例题2. P231 习题7.2.3 质心运动定理应用举例,解：注意到杆为平面运动，,由质心运动定理，,在任意夹角时,A在此椭园 轨迹上运动。,7.3 刚体定轴转动的角动量 转动惯量,一、定轴转动时对轴上一点的角动量,A对O点的角动量,B轻杆与转轴成夹角不为 时,方向不沿转轴,结论： （1）刚体对轴上某
6、一点的角动量等各质元对该点角动量的矢量 和。 （2）刚体绕固定轴转动时，角动量矢量不一定沿角速度方向，可能成一定夹角。(3) 特例：质量分布与几何形状有共同对称轴的刚体，绕该对称轴转动时，刚体对轴上任一点的角动量与角速度方向相同。,二、刚体对一定转轴的转动惯量1举例说明转动惯量2刚体对定轴的转动惯量,定义：转动惯量,是转动惯性大小的量度,（1） 与m有关，m大，转动惯性大. （2） 与轴有关，轴不同， 不同， 不同。 （3） 与质量分布有关，质量分布离轴近， 小，离轴 远， 大。,单位： 量纲：,3转动惯量的计算,若质量视为连续分布,若质量分布均匀,例1.求均匀细棒绕垂直通过质心转轴的转动惯量
7、。,解：设棒长为L，质量为m，则,例2. 均匀薄圆环绕垂直环面通过中心转轴的转动惯量。,解：设圆环半径为R，总质量为m ，由于是薄圆环，所有质元离轴等距离R为常数。,例3.质量为m,半径为R，密度均匀的圆盘，求它对通过盘心与盘面垂直的转轴的转动惯量。,解：设盘厚为 取一质元，其半径为 ，宽为 ，则质元质量,例4.求均匀薄球壳绕直径的转动惯量。,解：设球壳半径为R，总质量为m，则面密度,将薄球壳划分为许多高为 的圆环，则环面积为,或：,例5.求均匀球体绕直径的转动惯量。,解：类似上题，设球体半径为R，质量为m，体密度为 ，将球体划为许多厚为 的圆盘形质元，,利用例3结论，厚为dz 的圆盘,4平行
8、轴定理和正交轴定理,(1)平行轴定理,证明：,讨论：刚体绕通过质心转轴的转动惯量最小。,(2).薄板的正交轴定理,三、刚体转动的角动量定理和转动定理,1角动量定理,刚体对固定转轴z的角动量的增量，等于对该轴外力矩冲量矩的代数和。,2转动定理,刚体绕定轴转动时，刚体对转动轴的转动惯量与角加速度的乘积等于外力对此转轴的合力矩。 转动定理是刚体转动的动力学方程，与牛顿第二定律类似。是转动惯性大小的量度。,积分形式：,四、刚体的重心 1重心：刚体处于不同方位时，重力作用线都要通过的那一点。,2重心坐标,3讨论,重心与质心在概念上不同，失重情况下，谈不上重心。,当物体的线度与它们到地面间的距离相比很小时
9、，上述重心坐标公式才成立。,五. 典型例子,例题2如图(a)表示半径为R的放水弧形闸门，可绕图中左方质点转动，总质量为m,质心在距转轴 处，闸门及钢架对质点的总转动惯量为 ,可用钢丝绳将弧形闸门提起放水，近似认为在开始提升时钢架部分处于水平，弧形部分的切向加速度为a=0.1g，g为重力加速度,不计摩擦,不计水浮力.,（1）求开始提升时的瞬时，钢丝绳对弧形闸门的拉力和质点对闸门钢架的支承力. （2）若以同样加速度提升同样重量的平板闸门图(b)需拉力是多少？,解（1）以弧形闸门及钢架为隔离体，受力如图(a)所示. 建立直角坐标系Oxy，,向x及y轴投影得,根据转动定理,起动时,根据质心运动定理,即
10、起动瞬时绳对闸板的拉力为 ，质点O 对闸门钢架的支承力竖直向上，大小等于29mg/90.,(2) 用 表示提升平板形闸门所用的拉力，对闸门应用牛顿第二定律，得：,比较上面结果，可见提升弧形闸门所用的拉力较小.,例题3如图表示一种用实验方法测量转动惯量的装置。待测刚体装在转动架上，线的一端绕在转动架的轮轴上，线与线轴垂直，轮轴的轴体半径为r，线的另一端通过定滑轮悬挂质量为m的重物，已知转动架惯量为I0 ，并测得m自静止开始下落 h 高度的时间为 t ,求待测物体的转动惯量I，不计两轴承处的摩擦，不计滑轮和线的质量，线的长度不变.,解分别以质点 m 和转动系统 I+I0 作为研究对象，受力分析如图
11、.,例题：P233题目7.3.7 转动定理与质点动力学方程结合应用 解:选OZ轴通过O点垂直纸面指向外,设滑轮的转动惯量为I,则,联解以上各式可得：,7.4 刚体定轴转动的动能定理,一、力矩的功,若力矩为恒量,功率,定轴转动中，恒力矩的功率等于力矩与角速度的乘积。,二、刚体定轴转动的动能定理,刚体的转动动能，就是各质元作圆周运动的动能之和。,力所做的功等于该力对于转轴的力矩对角坐标的积分。,刚体为不变质点系,刚体绕定轴转动的动能定理:,定轴转动时，转动动能的增量等于刚体所受外力矩作功的代数和。,三、刚体的重力势能,结论：刚体的重力势能只取决于刚体重心距零点势能的高度，与刚体方位无关。,例题1装
12、置如图所示，均质圆柱体质量为m1，半径为R，重锤质量为m2 ，最初静止，后将重锤释放下落并带动柱体旋转，求重锤下落 h 高度时的速率v，不计阻力，不计绳的质量及伸长.,解 方法1. 利用质点和刚体转动的动能定理求解.,由质点动能定理,由刚体动能定理,约束关系,联立得,方法2. 利用质点系动能定理求解,将转动柱体、下落物体视作质点系,由质点系动能定理,约束关系,联立得,例题2均质杆的质量为m，长为l,一端为光滑的支点.最初处于水平位置，释放后杆向下摆动，如图所示. （1）求杆在图示的竖直位置时，其下端点的线速度v； （2）求杆在图示的竖直位置时，杆对支点的作用力.,解(1)由机械能守恒得,联立得
13、,(2)根据质心运动定理,分量式,杆处于铅直位置时不受力矩作用，由转动定理，角加速度为零，所以,方向向上 .,又,7.5 刚体平面运动的动力学,一、刚体平面运动的基本动力学方程,1选择基点:一般选质心。,2建立坐标系,（1） 坐标系：研究质心平动,（2） 坐标系：研究刚体绕轴的定轴转动,3建立动力学方程,（1）O系中的平动：用质心运动定理,分量形式：,（2）C系中的定轴转动：角动量定理 转动定理,平面运动 = 平动+定轴转动,二、作用于刚体上的力,1两种效果、滑移矢量,2力偶和力偶矩,(1).力偶：大小相等、方向相反、彼此平行的一对力。,特点：合力为零，不影平动，合力矩一般不为零，对转动可能产
14、生影响。,两种效果:平动；转动。,特点：施于刚体的某个点的力,决不可以随便移到另一点去.,(2) 施于刚体的力是滑移矢量,力的三要素:大小、方向和作用线.,作用于刚体上的力可等效为 ：,作用线通过质心的力平动 ；力偶转动 。,分析刚体受力的简单方法： （1）将各力的合力求出，作用于质心。 （2）转动力矩的和等效为一力偶作用于刚体。,力偶矩对刚体的影响是产生角加速度，因此，两力的大小、方向、作用线挪动以后，只要力偶矩保持不变，则与原力偶矩等效。,力偶矩大小等于力偶中一力与力偶 臂的乘积， 方向与二力成右手螺旋。,(2).力偶矩 ：,例题1.将一根质量为m的均匀长细杆 ，用细绳从两端水平挂起，其中
15、一根绳子突然被剪断，另一根绳内的张力是多少？,解：建立OY系研究质心平动，建立一质 心系研究对通过质心轴（与杆垂直）的转动。,由质心运动定理,投影方程,由转动定理,解法二：,由质心运动定理,投影方程,取绳未剪断的一端，通过杆，垂直纸面向里为转轴z。,由转动定理,例题1如图，固定斜面倾角为 ，质量为 m 半径为 R 的均质圆柱体顺斜面向下作无滑滚动，求圆柱体质心的加速度ac 及斜面作用于柱体的摩擦力F .,解,根据质心运动定理,y 轴上投影,对质心轴的转动定理,无滑滚动,P238例题1,例题2质量为m的汽车在水平路面上急刹车，前后轮均停止转动. 前后轮相距L，与地面的摩擦因数为 .汽车质心离地面
16、高度为h，与前轮轴水平距离为l .求前后车轮对地面的压力.,3.对刚体平面运动的动力学问题研究,平面运动=质心平动 +绕质心转动,若刚体作二维平动,若研究问题中仅用质心运动定理就够用时，可视为质点。 否则，还有力矩平衡问题要考虑。,解 汽车受力如图.,y 轴投影,对质心轴的转动定理,根据质心运动定理,由上面方程可解出,根据牛顿第三定律，前后轮对地面的压力大小分别为FN1、FN2 ，但方向向下.,三、刚体平面运动的动能,由克尼希定理,动能定理,解：由机械能守恒律,1）圆柱：,无滑滚动的条件为,2）薄球壳：,3）对球体：,例4 ：计算从同一高度 自静止状态沿斜面无滑滚下时，均匀圆柱，薄球壳，球体的
17、质心所获得的速度。,解：设碰撞后小球和杆的质心速度分别为 ，杆绕质心的角速度为,（1）从惯性参考系看，系统动量守恒。,建立OX轴,（2)从杆的质心参考系看，角动量守恒。,例5：光滑的桌面上有一质量为M，长为2L的细杆，一质量为m的小球沿桌面以 垂直撞击细杆的一端。设碰撞是完全弹性的，求碰后球和杆的运动情况。在什么情况下，细杆旋转半圈后会第二次撞上小球。,欲使细杆转半圈后再次击中小球，则杆的质心速度 必须与碰撞后球速度相等。,76 刚体的平衡,一、平面力系中刚体的平衡方程,1.平衡的充分必要条件：,2.平衡条件的第一种形式,3.平衡条件的第二种形式：,4.平衡条件第三种形式,写成对不在一条直线上
18、的三个转轴的力矩平衡方程,例：一架均匀的梯子，重为W，长为2 上端靠与光滑的墙上，下 端置于粗糙地面上，梯子与地面的静摩擦系数为 ，有一体重为 的人登上距梯下端 的地方，求梯子不滑动的条件。,解：梯子不滑动的力平衡条件为,建立如图所示的0-xy坐标系,对于参考点C的力矩平衡方程为,1.当 一定时，人能攀登的高度为：,梯子不滑动的条件为：,2.若要求攀到一定高度，则要求满足,二天平的灵敏度,是一个刚体绕定点转动的平衡问题， 只需一个力矩平衡方程。,比例系数 为灵敏度，与自身结构有关。,物理意义：,思考：如何提高灵敏度？,7.7 自转与旋进,一、 常平架回转仪,绕转轴运动的角动量守恒,1.常平架回
19、转仪的构造,2.常平架回转仪的原理,转动体自转轴方位保持不变.,支架 外环 内环 转动体,3.应用,安装在导弹、飞机、坦克或舰船中，随时纠正导弹等的方向和姿态.,具有轴对称性和绕对称轴有较大转动惯性量。 陀螺仪不受重力的矩，且能在空间任意取向。,二、 回转仪的旋进,旋进(进动)高速自转物体的轴,在空间转动的现象.,1. 杠杆陀螺的进动,陀螺高速自转,有重力矩,仅方向不同.,t 很小时,角动量增量,矢量式,旋进角速度,因此,2. 玩具陀螺的进动,与 并不一致，因陀螺的形状是对称的，外力矩较小，近似认为一致.,进动原理同杠杆陀螺.,三、 地球的旋进与章动,章动 的夹角发生周期性的变化.,三、例题,
20、P231 习题7.2.2 质心坐标的计算解：1）如图建立OX坐标系，由于对称性，质心必在OX轴上。,例题2. P231 习题7.2.3 质心运动定理应用举例,解：注意到杆为平面运动，,由质心运动定理，,在任意夹角时,A在此椭园 轨迹上运动。,7.3.6 均质杆可绕支点O转动，当与杆垂直的冲力作用某点A时， 支点O对杆的作用力并不因此冲力之作用而发生变化，则A点称 为打击中心.设杆长为L，求打击中心与支点的距离.,第7章 习题,解 答 先进行打击前后的受力分析。建立如图坐标系，z轴垂直纸面向外。,由质心运动定理得：,由转动定理,建立切向和法向单位矢量，则投影方程为,例题：P233题目7.3.7
21、转动定理与质点动力学方程结合应用 解:选OZ轴通过O点垂直纸面指向外,设滑轮的转动惯量为I,则,联解以上各式可得：,7.3.8斜面倾角为，位于斜面顶端的卷扬机鼓轮半径为R，转动 惯量为I，受到驱动力矩M，通过绳所牵动斜面上质量为m的物 体，物体与斜面间的摩擦系数为，求重物上滑的加速度，绳 与斜面平行，不计绳质量。,解：隔离鼓轮与重物，受力分析.,对重物,对鼓轮应用转动定理,在坐标轴与斜面分别平行和垂直的坐标系投影,例题：P233题目7.3.9,解:将重物视为质点，建立铅直向下oy坐标系，则,将轮盘视为刚体，根据转动定理，,根据线量和角量关系,解：设碰撞后小球和杆的质心速度分别为 ，杆绕质心的角
22、速度为,（1）从惯性参考系看，系统动量守恒。,建立OX轴,（2)从杆的质心参考系看，角动量守恒。,例：光滑的桌面上有一质量为M，长为2L的细杆，一质量为m的小球沿桌面以 垂直撞击细杆的一端。设碰撞是完全弹性的，求碰后球和杆的运动情况。在什么情况下，细杆旋转半圈后会第二次撞上小球。,欲使细杆转半圈后再次击中小球，则杆的质心速度 必须与碰撞后球速度相等。,7.4.2 质量为2.97kg，长为1.0m的匀质等截面细杆可绕水平光滑 的轴线o转动，最初杆静止于铅直方向。一弹片质量为10g，以水 平速度200m/s射出并嵌入杆的下端，和杆一起运动，求杆的最大 摆角.,解：将子弹、杆构成的物体系作为研究对象
23、，整个过程可分为两个阶段研究。,第一阶段，子弹与杆发生完全非弹性碰撞，获得共同的角 速度。由于在此过程中，外力矩为零，因此角动量守恒。,第二阶段，子弹与杆以共同的初角速度摆动到最大角度， 由于在此过程中，只有重力做功，所以物体系的机械能守恒。,=3034,例3 一质量为 的子弹以水平速度射入一 静止悬于顶端的长棒的下端，穿出后速度损失 ，求子弹穿出后棒的角速度 ，已知棒长，质量为 。,解法1： 设棒对子弹阻力为 ，由动量定理,对于棒，由角动量定理,解法二. 将子弹和棒视为一个系统，子弹穿越棒前后，外力对转轴力矩为零，系统角动量守恒。,例题.p257习题7.5.2,解：只有重力作功，机械能守恒。,AB边达水平位置时,根据质心运动定理,例题.p257习题7.5.6,解：隔离圆柱，由质心定理：,对圆柱应用转动定理：,隔离木板，应用牛顿第二定律（或质心定理）,只滚不滑的条件：,
