1、空间问题的数学描述,第二章 平面问题的基本理论,已知的几何参数和载荷（表面力和体积力），一般都与三个坐标参数x、y、z有关；15个未知函数 6个应力分量：6个应变分量3个位移分量： u、v、w，一般都是三个坐标参数x、y、z的函数； 基本方程式是三维的，但若某一方向变化规律为已知时，维数可相应减少。,第二章 平面问题的基本理论,平面问题的数学描述,已知的几何参数和载荷（表面力和体积力）只与两个坐标，例如x、y有关，而与z无关；15个未知函数中只存在有oxy平面内的分量，且只是x、y的函数，其余分量或不存在，或可以用oxy平面内的分量表示；基本方程式是二维的。,第二章 平面问题的基本理论, 2-
2、1 平面应力问题与平面应变问题,如果所考察的弹性体具有某种特殊的形状，并且承受的是某种特殊的外力，就可以把空间问题简化为近似的平面问题。,平面应力问题,几何形状特征：物体在一个坐标方向（例如z）的几何尺寸远远小于其他两个坐标方向的几何尺寸，如图所示的薄板。 载荷特征：在薄板的两个侧表面上无表面载荷，作用于边缘的表面力平行于板面，且沿厚度不发生变化，或虽沿厚度变化但对称于板的中间平面，体积力亦平行于板面且沿厚度不变。,第二章 平面问题的基本理论,因为板面上不受力，所以 由于剪应力互等，有,这样，只有平行于oxy平面的三个应力分量，即,在平面应力问题中，独立的未知函数有8个，只是x和y的函数，不随
3、z而变化。,注意：,由广义虎克定律得到,平面应变问题,第二章 平面问题的基本理论,几何形状特征：物体沿一个坐标轴（例如z轴）方向的长度很长，且所有垂直于z轴的横截面都相同，即为一等直柱体；位移约束条件或支承条件沿z方向也相同。载荷特征：柱体侧表面承受的表面力以及体积力均垂直于z轴，且分布规律不随z变化。,由于对称（任一横截面都可以看作是对称面），所有各点都只会沿x和y方向移动，而不会有z方向的位移，即 因为所有各点的位移矢量都平行于oxy面，所以称之为平面位移问题，习惯上称为平面应变问题。,由对称条件可知， 根据剪应力互等， 由虎克定律，得出,第二章 平面问题的基本理论,在平面应变问题中，独立
4、的未知函数有8个，只是x和y的函数，不随z而变化。,注意：由于z方向的伸缩被阻止，所以,由广义虎克定律得到,在弹性力学里分析问题，要从三个方面来考虑：静力学方面、几何学方面和物理学方面。首先考虑平面问题的静力学方面，根据平衡条件来导出应力分量与体积力分量之间的关系式，也就是平面问题的平衡微分方程。, 2-2 平衡微分方程,第二章 平面问题的基本理论,根据微元体处于平衡的条件，可以得到三个平衡微分方程。,第二章 平面问题的基本理论,（一）作用于体心M的合力矩为零，即,略去微量，整理，得出,证明了剪应力互等定理。,（二）x方向的合力为零，即,第二章 平面问题的基本理论,整理后，得,（三）y方向的合
5、力为零，即,类似于上式，可得,平面问题的平衡微分方程,x方向PA的正应变,第二章 平面问题的基本理论, 2-3 几何方程,y方向PB的正应变,几何方程表明了应变分量与位移分量之间的关系。,PA与PB所夹直角的改变，即剪应变由两部分组成：x方向线素PA向y方向的转角，记为 ，和 y方向线素PB向x方向的转角，记为 ，即,第二章 平面问题的基本理论,由上图可知，,在小变形下，,，所以,同理，,所以,综合以上所列各式，得出平面问题的几何方程式,第二章 平面问题的基本理论,要保证物体的位移是连续的，则应变分量之间必须满足一定的条件，即变形协调方程，或相容方程。,应变分量与应力分量之间的关系，即物理方程
6、，也称为本构方程。,第二章 平面问题的基本理论, 2-4 物理方程,在完全弹性的各向同性体内，应变分量与应力分量之间的关系由虎克定律导出,E 是弹性模量，G 是剪切弹性模量， 是侧向收缩系数，又称为泊松比。,平面应力问题的物理方程,第二章 平面问题的基本理论,在平面应力问题中，,由虎克定律，得,，可以用来求得薄板厚度的改变。,因为在平面应力问题中有,和,，所以有,和,第二章 平面问题的基本理论,平面应变问题的物理方程,在平面应变问题中，因为物体的所有各点都不沿z方向移动，即w = 0，所以z方向的线段都没有伸缩，即,由虎克定律，得,，代入虎克定律，得,平面应变问题的物理方程,可以看出，在平面应
7、力问题的物理方程中，将 E 换为,第二章 平面问题的基本理论,因为在平面应变问题中也有,和,，所以有,和, 换为,，就得到平面应变问题的物理方程。,同样可以看出，在平面应变问题的物理方程中，将 E 换为,， 换为,，就得到平面应力问题的物理方程。,引入记号,第二章 平面问题的基本理论, 2-5 平面问题基本方程式的综合与矩阵表示, 应力分量列阵, 应变分量列阵, 位移分量列阵, 体积力分量列阵, 微分算子矩阵,第二章 平面问题的基本理论,用应力、应变、位移分量表示的基本方程,平衡微分方程,或,几何方程,或,第二章 平面问题的基本理论,物理方程,（平面应力）,（平面应变）,统一写为,用应变表示应
8、力,其中矩阵 D 称为弹性矩阵或应力应变关系转换矩阵,第二章 平面问题的基本理论,（平面应力）,（平面应变）,这样，用应力、应变和位移分量表示的弹性力学平面问题基本方程可以表示为,第二章 平面问题的基本理论,方程组的总数是8个：2个平衡方程，3个几何方程和3个物理方程。 所包含的未知函数也是8个：3个应力分量 ；3个应变分量 ；2个位移分量 。,常从该方程组出发按位移求解。,第二章 平面问题的基本理论,用应力和应变分量表示的基本方程,平衡微分方程,连续性方程,引入二阶微分算子行阵,或,或,第二章 平面问题的基本理论,物理方程,用应力表示应变,（平面应力）,（平面应变）,统一写为,第二章 平面问
9、题的基本理论,其中 C 是弹性矩阵 D 的逆矩阵。,（平面应力）,（平面应变）,第二章 平面问题的基本理论,这样，用应力和应变分量表示的弹性力学平面问题基本方程可以表示为,方程组的总数是6个：2个平衡方程，1个连续性方程和 3 个物理方程。 所包含的未知函数也是6个：3个应力分量 及 3 个应变分量 。,常从该方程组出发按应力求解。,第二章 平面问题的基本理论, 2-6 边界条件,位移边界条件,应力边界条件,设平面弹性体在 Su 边界上给定位移 和 ，它们是边界坐标的已知函数。则在 Su 边界上，位移分量必须等于该点的给定位移，即,设平面弹性体在 边界 上给定表面力分量 和 ，它们是边界坐标的
10、已知函数。则在边界 上，应力分量与给定表面力之间的关系，可由边界上微元体的平衡条件得出。,第二章 平面问题的基本理论,在物体的边界上，取一微元三角形ABC，其斜边BC与物体的边界面重合。N表示边界的外法线方向，N的方向余弦为cos = l，sin = m，则dx = mds,dy = lds,由微元体平衡条件 ，得,略去高阶小量，整理后得,同理，由 ，得,由 略去高阶小量后，得到 。,所以，平面问题的应力边界条件,第二章 平面问题的基本理论,在 上,用矩阵表示为,在 上,当边界面垂直于坐标轴时，应力边界条件将简化：,边界垂直于x 轴，l=1, m= 0,边界垂直于y 轴， l= 0 , m=1
11、,在 上,在 上,第二章 平面问题的基本理论,混合边界条件,物体的一部分边界具有已知位移，因而具有位移边界条件，另一部分具有已知表面力，因而具有应力边界条件。,按照边界情况，弹性力学问题一般分为三类：,位移边界问题：在边界面上全部给定位移，即全部是 Su 边界,应力边界问题：在边界面上全部给定表面力，即全部是 边界。这时，外力（包括体力和面力）应是平衡力系。,混合边界问题：既有Su 边界，又有 边界。二者可以分别在边界表面不同的区域上，或同一区域不同的方向上。,人们研究了局部区域上力的作用方式对于弹性力学解答的影响问题，提出了圣维南原理：如果把物体的某一局部（小部分）边界上作用的表面力改变其分
12、布方式，但保持静力上的等效（即主矢量相同，对于同一点的主矩也相同），则近处的应力分布将有显著的改变，而远处的应力改变极小，可以忽略不计。,第二章 平面问题的基本理论, 2-7 圣维南原理,应用圣维南原理，绝对不能离开 “ 静力等效 ” 的条件。,对于局部区域受一平衡力系作用时，圣维南原理还可叙述如下：如果物体某一局部（小部分）边界表面承受的表面力是一平衡力系（即主矢量和主矩都为零），这个平衡表面力所产生的扰动只限在局部，即只在受力附近产生显著的应力，随着远离受力位置应力迅速衰减甚至消失。,第二章 平面问题的基本理论,第二章 平面问题的基本理论, 2-8 求解平面问题的基本方法,在弹性力学里求解
13、问题，有三种基本方法：按位移求解，按应力求解和混合求解。按位移求解时，以位移分量为基本未知函数，由一些只包含位移分量的微分方程和边界条件求出位移分量以后，再用几何方程求出应变分量，从而用物理方程求出应力分量。按应力求解时，以应力分量为基本未知函数，由一些只包含应力分量的微分方程和边界条件求出应力分量以后，再用物理方程求出应变分量，从而用几何方程求出位移分量。在混合求解时，同时以某些位移分量和应力分量为基本未知函数，由一些只包含这些基本未知函数的微分方程和边界条件求出这些基本未知函数以后，再用适当的方程求出其它的未知函数。,按位移求解,第二章 平面问题的基本理论,在平面应力问题中，物理方程是,求
14、得应力分量,将几何方程 代入，得,第二章 平面问题的基本理论,再将上式代入平衡微分方程,简化后，得到用位移表示的平衡微分方程,第二章 平面问题的基本理论,代入应力边界条件,简化后，得到用位移表示的应力边界条件,对于平面应变问题，须在上面的各个方程中将 E 换为 ，将 ,换为,将平面问题几何方程中x对 y的二阶导数和y对x的二阶导数 相加，得到,第二章 平面问题的基本理论,按应力求解, 变形协调方程或相容方程,对于平面应力问题，将物理方程代入变形协调方程，得到,利用物理方程将变形协调方程中的应变分量消去，使之只包含应力分量（基本未知函数）。,第二章 平面问题的基本理论,利用平衡微分方程，将上式简
15、化为只包含正应力而不包含剪应力。将平衡微分方程写成如下形式,将前一方程对x求导，后一方程对y求导，然后相加，并注意,得,代入，简化后，得到平面应力问题的相容方程,将 换为 ，可得到平面应变问题的相容方程,第二章 平面问题的基本理论,小结,按位移求解平面应力问题,位移分量须满足,边界条件,在 上,在 Su 上,平衡微分方程,对于按位移求解平面应变问题，须在上面的平衡微分方程和边界条件中将 E 换为 ，将 换为 。,按位移求解平面应变问题,第二章 平面问题的基本理论,求出位移分量后，用几何方程求得应变分量,然后用右式求得应力分量。,第二章 平面问题的基本理论,按应力求解平面应力问题,应力分量须满足
16、,边界条件,在 上,平衡微分方程,相容方程,第二章 平面问题的基本理论,对于按应力求解平面应变问题，须在上面的相容方程中将 换为 。,按应力求解平面应变问题,求出应力分量后，用物理方程求得应变分量,然后对几何方程积分求得位移分量，并使其满足位移边界条件。,在 Su 上,第二章 平面问题的基本理论, 2-9 应力函数,由上节可知，按应力求解平面应力问题时，在体积力为常量时，应力分量 应当满足平衡微分方程,以及相容方程,并在边界上满足应力边界条件。,在 上,第二章 平面问题的基本理论,平衡微分方程是一个非齐次微分方程组，它的解包含两部分，即，任意一个特解及下列齐次微分方程的通解：,特解可以取为,也
17、可以取为,等形式。,为了求得齐次微分方程的通解，将其中前一个方程改写为,第二章 平面问题的基本理论,根据微分方程理论，这就一定存在某一个函数 A (x,y) ，使得,同样，将第二个方程改写为,可见也一定存在某一个函数 B (x,y) ，使得,由剪应力互等，可得,因而又一定存在某一个函数 ，使得,第二章 平面问题的基本理论,将上式代入，即得通解,将通解与任一组特解叠加，即得微分方程的全解,称为平面问题的应力函数，也称Airy（艾瑞）应力函数。,将微分方程的上述解代入相容方程，得,当 X 及 Y 为常量，上式简化为,第二章 平面问题的基本理论,展开为,这就是用应力函数表示的相容方程。它是一个重调和
18、方程。应力函数 (x,y)是重调和函数。上式可简写为,如果体积力不计，则微分方程的解可简化为,所以，对于按应力求解平面问题，如果体积力是常量，问题就变为要找出一个应力函数 (x,y)，使其满足重调和方程，然后由上式确定应力，并使其满足应力边界条件。如果需要，再利用物理方程确定应变，由几何方程求出位移。,第二章 平面问题的基本理论,显然，应力函数的确定是用应力法求解问题的关键。由于重调和方程是高阶偏微分方程，它的解一般都不可能直接求出。因此，在具体求解问题时，只能采用逆解法或半逆解法。所谓逆解法，就是先设定各种形式的、满足相容方程的应力函数 (x,y)，用公式求出应力分量，然后根据应力边界条件来
19、考察，在各种形状的弹性体上，这些应力分量对应于什么样的表面力，从而得知所设定的应力函数可以解决什么问题。所谓半逆解法，就是针对所要求解的问题，根据弹性体的边界形状和受力情况，假设部分或全部应力分量为某种形式的函数，从而推出应力函数 (x,y)，然后来考察，这个应力函数是否满足相容方程，以及，原来所假设的应力分量和由这个应力函数求出的其余应力分量，是否满足应力边界条件。如果相容方程和各方面的条件都能满足，自然也就得出正确的解答；如果某一方面不能满足，就要另做假设，重新考察。,第二章 平面问题的基本理论, 2-10 多项式应力函数及其应用举例,例1 设物体所占区域为一矩形域，其坐标系和受力情况如图
20、所示（忽略体积力） ，并设边界应力 均为常数。试写出应力函数及各应力分量。,由应力函数的性质及图示边界受力情况，可知应力函数 (x,y)只能是x、y的二次多项式，即有,可以看出此应力函数满足相容方程 ，相应的应力分量为,第二章 平面问题的基本理论,不难看到，这个应力分量也满足物体的边界条件。因此，上图所示的矩形物体的应力状态为均匀应力状态，它可由二次多项式应力函数给出。并且，还可以看到以下几点： （1）的线性项C4x+C5y+C6不影响应力分布，对于单连通区域可以不考虑。 （2）若单独取中每一个二次单项式，则分别得到以下三种应力状态：（a）x方向的简单拉伸，这时有（b）y方向的简单拉伸，这时有
21、（c）x和y方向的纯剪切，这时有 因而如图所示应力状态亦是上述三种简单应力状态的迭加。,第二章 平面问题的基本理论,例2 如图所示为长为L，高为2h，单位厚度的纯弯曲梁（忽略体积力） 。该梁两端作用有弯矩M，对应的应力分布x如图所示，并且关于x轴是反对称的。试写出应力函数及各应力分量。,设 ，则由应力函数的性质可知，应力函数 (x,y)应是 x, y的三次多项式才能给出纯弯曲梁两端的线性应力分布，所以设,不难看出， (x,y)满足相容方程 ，对应的应力分布为,但是因为梁的上下表面不受力，两端剪应力亦为零，所以有 。,第二章 平面问题的基本理论,根据材料力学中纯弯曲梁的平截面假设，可得 ，其中，
22、 为截面得惯性矩。所以，得到如图所示纯弯曲梁的应力分布,第二章 平面问题的基本理论, 2-11 斜面上的应力、主应力及斜方向的应变,已知任一点P处的应力分量 可以求得经过该点平行于z轴而倾斜于x轴和y轴的任何斜面上的应力。N代表斜面AB的外法线方向，其方向余弦为cos(N,x)=l，cos(N,y)=mXN和YN代表斜面AB上的应力s在x轴和y轴上的投影。由PAB的平衡条件得,命斜面AB上的正应力为N，则由投影可得,斜面上的应力、主应力,第二章 平面问题的基本理论,将XN和YN上式代入，得,命斜面AB上的正应力为 N，则由投影可得,将XN和YN上式代入，得,如果经过P点的某一斜面上的剪应力等于
23、零，则该斜面上的正应力称为P点的一个主应力，而该斜面称为P点的一个应力主面，该斜面的法线方向（即主应力的方向）称为P点的一个应力主方向。,第二章 平面问题的基本理论,斜方向的应变,已知任一点P处的应变分量，可以求得经过该点平行于xy面的任何斜向微小线段PN的正应变，也可以求得经过该点平行于xy面的任何两个斜向微小线段PN与PN之间夹角的改变。P点的坐标为(x,y) ，N点的坐标为(x+dx,y+dy), PN的长度为dr，PN的方向余弦为cos(PN,x)=l，cos(PN,y)=mPN在坐标轴上的投影为dx=ldr,dy=mdr,第二章 平面问题的基本理论,变形之后，线段PN移到P1N1，在
24、坐标轴上的投影成为,令线段PN的正应变为N，则该线段在变形后的长度为dr+ N dr，而这一长度的平方就等于上式中两个方向的投影的平方和,除以 ，并应用dx=ldr,dy=mdr，得,设P点的位移分量为u、v，则N点的位移分量为,第二章 平面问题的基本理论,略去微小量，化简为,由于,，可以由上式得出,应用几何方程，得到,第二章 平面问题的基本理论,线段PN与PN之间夹角的改变,变形之后，PN成为P1N1，方向余弦为l1和m1 。线段PN在变形之前的方向余弦是l，m，在变形之后线段PN成为P1N1，它的方向余弦为l1和m1。N是PN的正应变。令线段PN和PN 在变形前后的夹角分别为及1。,求出1 以后，即可求得PN和PN 之间夹角的改变1。,
