1、第四章 机器人动力学,4.1 动力学模型 4.2 牛顿欧拉方程法习题,2018年12月20日星期四,第四章 机器人动力学,2018年12月20日星期四,动力学研究的问题：机器人各个关节的运动与关节需要的驱动力（矩）之间的关系。正问题：已知关节运动，求关节驱动力（矩）。 逆问题：已知关节驱动力（矩），求关节运动。,数学模型：关节运动位移、速度、加速度变化关节驱动力（矩）驱动力或驱动力矩i 动力学方程：， i=1，n正问题：已知 ，求i。 逆问题：已知i ，求 。,第四章 机器人动力学,2018年12月20日星期四,4.1 动力学模型,1、力学分析 2、拉格朗日方程法 3、动力学模型,2018年1
2、2月20日星期四,4.1 动力学模型,1、力学分析,2018年12月20日星期四,（1）静力学分析机器人各个关节处于静止状态。 当负载为一重物时：关节承受的力和力矩：关节需要的驱动力（矩）：,4.1 动力学模型,1、力学分析,2018年12月20日星期四,（1）静力学分析机器人各个关节处于静止状态。 考虑杆件自重时：关节承受的力和力矩：关节需要的驱动力（矩）：,m2g,m1g,4.1 动力学模型,1、力学分析,2018年12月20日星期四,（2）动力学分析机器人各个关节处于运动状态。 当负载为一重物时：关节承受的力和力矩：关节需要的驱动力（矩）：,4.1 动力学模型,2、拉格朗日方程法,201
3、8年12月20日星期四,拉格朗日方程的一般形式为：式中， 广义力，它可以是力，也可以是力矩；系统选定的广义坐标；广义坐标对时间的一阶导数，即速度；拉格朗日函数，又称为拉格朗日算子，它被定义为系统的动能与势能之差L=T-U。,4.1 动力学模型,2、拉格朗日方程法,2018年12月20日星期四,对给定的机器人，可以按以下几个步骤建立拉 格朗日动力学方程：（1）选取完全并独立的广义坐标；（2）选定广义力；（3）求出系统的动能T和势能U，并用其构造拉格 朗日函数L=T-U；（4）将以上结果代入拉格朗日方程式中，即可求 得机器人的动力学方程。,4.1 动力学模型,2、拉格朗日方程法,2018年12月2
4、0日星期四,例：已知二关节机器人如图所示，机器人的两个 连杆长度分别为l1和l2，质量分别为m1和m2，且集 中在各连杆的端部。若将机器人直接悬挂在加速 度为g的重力场中，试用拉格朗日方程建立该机器 人的动力学方程。 解： 选取连杆绕关节的转角 为变量1和2 ，则系统的广义 坐标就可以选为 ，即 转动关节对应的是力矩， 所以广义力就选为 ， 即 。,4.1 动力学模型,2、拉格朗日方程法,2018年12月20日星期四,求出各连杆的动能和势能： 连杆l1的动能为： 连杆l1的势能为： 对连杆l2求动能和势能时，要先写出其质心在直 角坐标系中的位置表达式：然后求微分，则其速度就为：由此可得连杆的速
5、度平方值为：,4.1 动力学模型,2、拉格朗日方程法,2018年12月20日星期四,求出各连杆的动能和势能： 从而连杆l2的动能为：势能为：则可构造出拉格朗日函数为：,4.1 动力学模型,2、拉格朗日方程法,2018年12月20日星期四,求出机器人动力学方程： 先将拉格朗日函数对 和 进行微分，即：,4.1 动力学模型,2、拉格朗日方程法,2018年12月20日星期四,求出机器人动力学方程： 再将拉格朗日函数对 和 进行微分，即：,4.1 动力学模型,2、拉格朗日方程法,2018年12月20日星期四,求出机器人动力学方程： 将以上结果代入方程即可得关节上的力矩分别为：,4.1 动力学模型,3、
6、动力学模型,2018年12月20日星期四,将得到的机器人动力学方程简写为如下形式：当机器人有n个关节时，上式可推广为普遍形式：,4.1 动力学模型,3、动力学模型,2018年12月20日星期四,将上式进一步简化为如下所示的矩阵形式：上式也称为机器人的动力学模型。 式中： 是机器人动力学模型中的惯性力项，表示机器人操作机的质量矩阵，它是nn阶的对称矩阵，。 是n1阶矩阵，表示机器人动力学模型中非线性的耦合力项，包括离心力（自耦力）和哥氏力（互耦力）。也是n1阶矩阵，表示机器人动力学模型中的重力项。,4.2 牛顿欧拉方程法,2018年12月20日星期四,1、牛顿欧拉方程 2、递推计算公式 3、递推
7、算法应用,4.2 牛顿欧拉方程法,2018年12月20日星期四,牛顿欧拉方程原理：将机器人的每个杆件看成刚体，并确定每个杆件质心的位置和表征其质量分布的惯性张量矩阵。当确定机器人坐标系后，根据机器人关节速度和加速度，则可先由机器人机座开始向手部杆件正向递推出每个杆件在自身坐标系中的速度和加速度，再用牛顿欧拉方程得到机器人每个杆件上的惯性力和惯性力矩，然后再由机器人末端关节开始向第一个关节反向递推出机器人每个关节上承受的力和力矩，最终得到机器人每个关节所需要的驱动力（矩），这样就确定了机器人关节的驱动力（矩）与关节位移、速度和加速度之间的函数关系，即建立了机器人的动力学方程。,4.2 牛顿欧拉方
8、程法,2018年12月20日星期四,牛顿欧拉方程递推过程： 正向递推：已知机器人各个关节的速度和加速度从1n递推出机器人每个杆件在自身坐标系中的速度和加速度机器人每个杆件质心上的速度和加速度再用牛顿欧拉方程得到机器人每个杆件质心上的惯性力和惯性力矩。 反向递推：根据正向递推的结果从n1递推出机器人每个关节上承受的力和力矩得到机器人每个关节所需要的驱动力（矩）。,4.2 牛顿欧拉方程法,2018年12月20日星期四,1、牛顿欧拉方程,（1）牛顿方程惯性力矢量。质心上的线加速度。,4.2 牛顿欧拉方程法,2018年12月20日星期四,1、牛顿欧拉方程,（2）欧拉方程惯性力矩矢量。质心上的惯性张量矩
9、阵。,4.2 牛顿欧拉方程法,2018年12月20日星期四,1、牛顿欧拉方程,（2）欧拉方程惯性力矩 惯性张量矩阵： a.坐标系：与杆件坐标系同向，位于杆件质心上。 b.元素名称：Icxx，Icyy，Iczz惯性矩； Icxy=Icyx,Icyz=Iczy,Iczx=Icxz惯性积。,4.2 牛顿欧拉方程法,2018年12月20日星期四,1、牛顿欧拉方程,（2）欧拉方程惯性力矩 惯性张量矩阵： 理论计算方法：实验测试法：惯量摆仪器。,4.2 牛顿欧拉方程法,2018年12月20日星期四,2、递推计算公式,（1）正向递推： 已知机器人各个关节的速度和加速度： 从1n递推出机器人每个杆件在自身坐标
10、系中的速度和加速度； 机器人每个杆件质心上的速度和加速度； 机器人每个杆件质心上的惯性力和惯性力矩。,4.2 牛顿欧拉方程法,2018年12月20日星期四,2、递推计算公式,（1）正向递推： 以第一种杆件坐标系为例 杆件速度和加速度递推计算公式 建立相邻两个杆件的坐标系： i-1、i 。,4.2 牛顿欧拉方程法,2、递推计算公式,（1）正向递推： 杆件速度和加速度递推计算公式 已知：i关节速度和加速度i-1杆件速度和加速度计算：i杆件速度和加速度,2018年12月20日星期四,4.2 牛顿欧拉方程法,2、递推计算公式,（1）正向递推： 杆件速度和加速度递推计算公式 分析： I、坐标系:相邻杆件
11、位姿矩阵II、关节速度和加速度的矢量化：,2018年12月20日星期四,4.2 牛顿欧拉方程法,2、递推计算公式,（1）正向递推： 杆件速度和加速度递推计算公式,2018年12月20日星期四,4.2 牛顿欧拉方程法,2、递推计算公式,（1）正向递推： 杆件速度和加速度递推计算公式,2018年12月20日星期四,i,i-1,关节i,Xi-1,Z i-1,Oi-1,Xi,Zi,Oi,4.2 牛顿欧拉方程法,2、递推计算公式,（1）正向递推： 杆件速度和加速度递推计算公式,2018年12月20日星期四,4.2 牛顿欧拉方程法,2、递推计算公式,（1）正向递推： 杆件质心上的速度和加速度,2018年1
12、2月20日星期四,4.2 牛顿欧拉方程法,2、递推计算公式,（1）正向递推： 杆件质心上的惯性力和惯性力矩惯性力：惯性力矩：,2018年12月20日星期四,4.2 牛顿欧拉方程法,2018年12月20日星期四,2、递推计算公式,（1）正向递推： 以第二种杆件坐标系为例 杆件速度和加速度递推计算公式 建立相邻两个杆件的坐标系： i-1、i 。,4.2 牛顿欧拉方程法,2、递推计算公式,（1）正向递推： 杆件速度和加速度递推计算公式 已知：i关节速度和加速度i-1杆件速度和加速度计算：i杆件速度和加速度,4.2 牛顿欧拉方程法,2、递推计算公式,（1）正向递推： 杆件速度和加速度递推计算公式 分析
13、： I、坐标系:相邻杆件位姿矩阵II、关节速度和加速度的矢量化：,2018年12月20日星期四,4.2 牛顿欧拉方程法,2、递推计算公式,（1）正向递推： 杆件速度和加速度递推计算公式,2018年12月20日星期四,4.2 牛顿欧拉方程法,2、递推计算公式,（1）正向递推： 杆件速度和加速度递推计算公式,2018年12月20日星期四,4.2 牛顿欧拉方程法,2、递推计算公式,（1）正向递推： 杆件质心上的速度和加速度,2018年12月20日星期四,4.2 牛顿欧拉方程法,2、递推计算公式,（1）正向递推： 杆件质心上的惯性力和惯性力矩惯性力：惯性力矩：,2018年12月20日星期四,4.2 牛
14、顿欧拉方程法,2018年12月20日星期四,2、递推计算公式,（2）反向递推： 已知机器人各个杆件的惯性力和惯性力矩： 从n1递推出机器人每个关节承受的力和力矩； 机器人每个关节的驱动力或驱动力矩。,4.2 牛顿欧拉方程法,2018年12月20日星期四,2、递推计算公式,（2）反向递推： 以第二种杆件坐标系为例 关节承受的力和力矩递推计算公式建立相邻两个杆件的 坐标系： i-1、i,4.2 牛顿欧拉方程法,2、递推计算公式,（2）反向递推： 关节承受的力和力矩递推计算公式 已知：i-1杆件的惯性力和惯性力矩i关节承受的力和力矩计算：i-1关节承受的力和力矩,2018年12月20日星期四,4.2
15、 牛顿欧拉方程法,2、递推计算公式,（2）反向递推： 关节承受的力和力矩递推计算公式 分析： I、坐标系:相邻杆件位姿矩阵II、i-1杆件受力分析：,2018年12月20日星期四,4.2 牛顿欧拉方程法,2、递推计算公式,（2）反向递推： 关节承受的力和力矩递推计算公式 以i-1杆件为研究对象， 由达朗贝尔原理可得：,2018年12月20日星期四,4.2 牛顿欧拉方程法,2、递推计算公式,（2）反向递推： 关节承受的力和力矩递推计算公式 以i-1杆件为研究对象， 由达朗贝尔原理可得：,2018年12月20日星期四,4.2 牛顿欧拉方程法,2、递推计算公式,（2）反向递推： 关节驱动力（矩） 平
16、移关节：回转关节：则关节驱动力（矩）为：,2018年12月20日星期四,4.2 牛顿欧拉方程法,3、递推算法应用,（1）递推初始条件 正向递推 机座0的速度和加速度：*考虑杆件自重或手部负载为重物时：为描述在机座坐标系0中的标准重力加速度。,2018年12月20日星期四,4.2 牛顿欧拉方程法,3、递推算法应用,（1）递推初始条件 反向递推 机器人手部负载：,2018年12月20日星期四,4.2 牛顿欧拉方程法,3、递推算法应用,（2）递推应用条件 已知机器人的关节变量 及其速度 和加速度 ； 已知任一杆件i相对于与自身坐标系i方向相同的坐标系Ci所描述的惯性张量 及其质心在自身坐标系i中的位
17、置矢量 （可用实验等方法确定）； 已知相邻杆件的位姿矩阵及必要的初始数据。,2018年12月20日星期四,4.2 牛顿欧拉方程法,3、递推算法应用,（2）递推应用条件 第二种坐标系下递推算法 正向递推:,2018年12月20日星期四,4.2 牛顿欧拉方程法,3、递推算法应用,（2）递推应用条件 第二种坐标系下递推算法 反向递推:,2018年12月20日星期四,4.2 牛顿欧拉方程法,3、递推算法应用,例：已知二自由度机器人如图所示，机器人两个杆件的长度分别为 和 ，且其质量 和 都集中在杆件的端头。若用第二种方法建立机器人的坐标系，当机器人各个关节的位移 、速度 和加速度 已知时，试用牛顿欧拉
18、递推算法计算各关节的驱动力矩。,2018年12月20日星期四,4.2 牛顿欧拉方程法,3、递推算法应用,解：建立坐标系如图所示。相邻杆件的位姿矩阵为：,2018年12月20日星期四,4.2 牛顿欧拉方程法,3、递推算法应用,解： (1)正向递推 已知关节速度和加速度分别为 ，由于考虑杆件的重量，所以机座的运动参数（初始条件）设为：,2018年12月20日星期四,4.2 牛顿欧拉方程法,3、递推算法应用,解：(1)正向递推,2018年12月20日星期四,4.2 牛顿欧拉方程法,3、递推算法应用,解：(1)正向递推,2018年12月20日星期四,4.2 牛顿欧拉方程法,3、递推算法应用,解：(1)
19、正向递推,2018年12月20日星期四,4.2 牛顿欧拉方程法,3、递推算法应用,解：(1)正向递推,2018年12月20日星期四,4.2 牛顿欧拉方程法,3、递推算法应用,解：(1)正向递推,2018年12月20日星期四,4.2 牛顿欧拉方程法,3、递推算法应用,解：(1)正向递推,2018年12月20日星期四,4.2 牛顿欧拉方程法,3、递推算法应用,解：(1)正向递推,2018年12月20日星期四,4.2 牛顿欧拉方程法,3、递推算法应用,解：(1)正向递推,2018年12月20日星期四,4.2 牛顿欧拉方程法,3、递推算法应用,解：(1)正向递推,2018年12月20日星期四,4.2
20、牛顿欧拉方程法,3、递推算法应用,解：(1)正向递推,2018年12月20日星期四,4.2 牛顿欧拉方程法,3、递推算法应用,解：(1)正向递推,2018年12月20日星期四,4.2 牛顿欧拉方程法,3、递推算法应用,解：(1)正向递推,2018年12月20日星期四,4.2 牛顿欧拉方程法,3、递推算法应用,解：(2)反向递推由于机器人手部无负载，所以初始条件为：,2018年12月20日星期四,4.2 牛顿欧拉方程法,3、递推算法应用,解：(2)反向递推关节2受的力和力矩：,2018年12月20日星期四,4.2 牛顿欧拉方程法,3、递推算法应用,解：(2)反向递推关节2受的力和力矩：,2018
21、年12月20日星期四,4.2 牛顿欧拉方程法,3、递推算法应用,解：(2)反向递推关节2的驱动力矩：,2018年12月20日星期四,4.2 牛顿欧拉方程法,3、递推算法应用,解：(2)反向递推关节1受的力和力矩：,2018年12月20日星期四,4.2 牛顿欧拉方程法,3、递推算法应用,解：(2)反向递推关节1受的力和力矩：,2018年12月20日星期四,4.2 牛顿欧拉方程法,3、递推算法应用,解：(2)反向递推关节1受的力和力矩：,2018年12月20日星期四,4.2 牛顿欧拉方程法,3、递推算法应用,解：(2)反向递推关节1的驱动力矩：,2018年12月20日星期四,4.2 牛顿欧拉方程法,3、递推算法应用,解：(2)反向递推关节1和2的驱动力矩为：,2018年12月20日星期四,习 题,机器人动力学解决什么问题？什么是动力学正问题和逆问题？ 写出动力学模型，并简述各项的含义? 什么是牛顿方程？什么是欧拉方程？有何作用？ 什么是惯性张量矩阵？如何计算？ 正向递推的作用是什么?分哪几步实现？ 反向递推的作用是什么?分哪几步实现？ 正向递推和反向递推的初始条件各是什么？当考虑杆件自重或手部负载为重物时，初始条件有何变化？,2018年12月20日星期四,习 题,2018年12月20日星期四,第四章完！,
