1、 习 题 1 1 试由下式求出应变分量，并指出物体受力的状态。 u=f1(x,y)+Az2+Dyz+y -z+a 、 v=f2（ x,y） +Bz2-Dxz- x-z+b 、 w=f3（ x,y） -z（ 2Ax+2By+C） + x+y+c 式中 A、 B、 C、 D， a， b， c， ， ， 是常数 解 ：（ 1） 由 P16 几何方程 (1.23a)得到 应变 分量的表达式 ： x= x yxfx ),(u 1 ， y=y ),(yv 2 yxf， z= CBy2Ax2zw ， x yf )，x（fy ）y，x（yuxv 21xy Dxy ）y，x（zvyw 3yz f Dyy ）y，
2、x（zuxw 3zx f （ 2）由 P77物理方程 (5.3a)（广义 胡克定律 :应变 分量 与 应力分量之间 成线性 关系） = x+ y +z= xyxf ),(1 + y ),(2 yxf CBy2Ax2 x yxf ),(22 1xx y ),(22 2yy yxf ）CBy2Ax2（22 zz ）)，x（fy ）y，x（ 21xyxy x yf ）Dxy ）y，x（ 3yzyz f ） Dyy ）y，x（ 3zxzx f 由第五章空间问题 Lame 弹性常数 与 杨氏弹性模量 E、泊松比 、 剪切弹性模量 G 的关系P77(5.4)得到 ： ）1（2 EG，）21）（1（ E 其
3、中 E 为杨氏弹性模量 ， 为泊松比 ， G 为剪切弹性模量 。 x yxf ),(22 1xx = ）21）（1（ E + ）1（ E x yxf ),(1 yy 2 = ）21）（1（ E + ）1（ E y ),(2 yxf zz 2 = ）21）（1（ E + ）1（ E ）CBy2Ax2（ xyxyxy ）1（2 E yzyzyz ）1（2 E xzxzxz ）1（2 E 由空间问题的平衡微分方程 P76(5.1a)（ 联系应力分量和体力分量的方程 ） 0Xzyx xzxyx 0Yzyx yzyyx 0Zzyx zzyzx 已知 ： )A2yx f（）21）（1（ Exf）21）（1
4、（ ）1（Ex 22212x )B2yx f（）21）（1（ Eyf）21）（1（ ）1（Ey 12222y 0zz )yx fxf（）1（2 Ey 22212xy 0zxz ， 0zyz )xfyx f（）1（2 Ex 22212xy 232xzxf）1（2 Ex 232zyyf）1（2 Ey zyxX xzxyx )A2yx f（）21）（1（ Exf）21）（1（ ）1（E 22212 + )yxfxf（）1（2 E 22212 zyxY yzyyx )xfyx f（）1（2 E 22212 +)B2yx f（）21）（1（ Eyf）21）（1（ ）1（E 12222 zyxZ zzyz
5、x 232xf）1（2 E + 232yf）1（2 E 1.2 已知弹性体内的某一点的应力状态为： =-75Mpa; =0Mpa; =-30Mpa;=50Mpa; =75Mpa; =80Mpa; 试求方向余弦（ 12， 12， 22 ）的微分面上的全应力 SN,正应力 N,以及切应力 N。 解： （ l,m,n） =（ 12， 12， 22 ） (1) 先计算沿坐标轴方向的三个应力 XN,YN,ZN。 XN=lx +myz+ nzx=44.06Mpa YN= lxy +my + nyz=-28Mpa ZN= l zx +m zx + nz=-18.71Mpa (2) 计算斜面上的全应力 SN2
6、=XN2 +YN2 + ZN2=3069.69 SN=55.4Mpa (3) 正应力 N=lXN+mYN+nZN=-5.2Mpa (4) 切应力 N2=SN2-N2=3042.4Mpa N=55.2Mpa; 习题 1.3 解：（ 1）应力不变量： 因为 I1 = x + + ； I2 = y + + 2 2 2 将已知代入上式，得： I1 = 25 MPa ， I2 = 3250 MPa （ 2）求主应力： 由 |x | = 0 , 将已知带入， 即 |55 0 400 0 040 0 30 | = 0 ， 展开，得： ( 55)(+ 30) 1600= 0 ， 化简，整理，得： 3 252
7、3250 = 0 ，解得 1 =46 MPa , 2 = 0 MPa , 3 = 71 MPa （ 3）主方向： l（ ) + + = 0 + ( ) + = 0 + + ( ) = 02 +2 +2 = 1 第一主方向：将 1 = 46 MPa 及个分量代入上式，有： 101l+ 40= 046 = 040+ 16n= 02 + 2 + 2 = 1 21l+8n = 046 = 02 +2 +2 = 1 , 解得： l = 8505 = 0 = 21505即 (l1,1,1) = ( 8505， 0， 21505) 同理可得， 第二主方向： (l2,2,2) = (， )； 第三主方向： (
8、l3,3,3) = (， ). （ 4）主切应力：（ 1 2 3） 习题 8.6 图 8.20 为一受集中力 P 作用的结构，设 E 为常量， 16v ， 1t 。试按平面应力问题计算，采用三角形单元，求出节点位移。 解：（ 1）定义单元 单元定义和有关数据列于表 1 中。在表 1 中 ,c,c,cimj m i j mj m i j m ii j m i jb y y x xb y y x xb y y x x 表 1 单元定义与有关数据 i j m ib jb mb ic jc mc 单 元 号 1 (0,1) 2 (1,1) 4 (0,0) 12 1 -1 0 -1 0 1 2 (1,1
9、) 4 (0,0) 5 (1,0) 12 0 -1 1 1 0 -1 2 (1,1) 5 (1,0) 6 (2,0) 12 0 -1 1 1 -1 0 2 (1,1) 3 (2,1) 6 (2,0) 12 1 -1 0 0 -1 1 (2)求各单元的刚度矩阵 从表 1 中可看出，单元 的刚度矩阵为： 1 1 1 2 1 312 1 2 2 2 33 1 3 2 3 3( i 1 , j 2 , 3 )K K KK K K K mK K K 其中子阵表达式为： 221122 ( r , s i, j, m )114 ( 1 )221 1 8114 ( 1 ) 3 54 ( 1 )62r s r
10、s r s r srsr s r s r sb b c c b c c bEtKb c c c b bE t E E 111 7 1 718 1 2 1 21 7 1 7351 2 1 2iiEKK125118 1215356 1 2ijEKK221018535 012jjEKK 335 0181235 01mm EKK135118 1 2 6535 112imEKK231018 6535 012jmEKK由对称性可知： 21 12TKK 13 31TKK 23 32TKK 将上述各子式代入单元 刚度矩阵中，得： 117 7 5 5 1112 12 12 12 67 17 1 5 5112 1
11、2 6 12 12111 1 0 018 6635 5 5 5 50012 12 12 125 5 5 50012 12 12 12111 0 0 166EK 同理，可求得单元 、 、 的刚度矩阵： 25 5 5 50012 12 12 12110 1 0 166110 1 0 118 665 5 5 5350012 12 12 125 1 5 17 7112 6 12 12 125 1 5 7 17112 6 12 12 12EK 35 5 5 50012 12 12 12110 1 1 0665 1 17 7 5118 12 6 12 12 125 7 17 1 535112 12 12
12、6 12110 1 1 0665 5 5 50012 12 12 12EK 4111 0 0 0665 5 5 50012 12 12 125 17 7 5 1018 12 12 12 12 61 5 7 17 53516 12 12 12 125 5 5 50012 12 12 12110 1 0 166EK （ 3）总体刚度矩阵为： 17 7 12 5 0 0 5 2 0 0 0 07 17 2 5 0 0 5 12 0 0 0 012 2 34 0 0 2 0 7 10 0 0 75 5 0 34 5 5 7 0 0 24 7 00 0 0 5 17 7 0 0 0 0 5 20 0 2
13、 5 7 17 0 0 0 0 5 12185 5 0 7 0 0 17 0 12 2 0 035 122 12 7 0 0 0 0 17 5 5 0 00 0 10 0 0 0 12 5 34 0 12 50 0 0 24 0 0 2 5 0 34 2 50 0 0 7 5 5 0 0 1EK 2 2 17 00 0 7 0 2 12 0 0 5 5 0 17 （ 4）求总体荷载列阵 1 1 2 2 3 4 4 5 5 6 6 Tx y x y x x y x y x yK P P P P P P P P P P P P （ 5）引入边界条件，求解刚度方程 本题中的几何边界条件为： 140
14、经处理后的总体刚度方程变为： 1223345500 34 0 0 2 10 0 0 70 0 34 5 5 0 24 7 00 0 5 17 7 0 0 5 22 5 7 17 0 0 5 12180 10 0 0 0 34 0 12 535 120 0 24 0 0 0 34 2 50 0 7 5 5 12 2 17 00 7 0 2 12 5 5 0 170vuvuvP Evuv 66uv求解上述反防尘即可得节点位移为： 12233455660.6179- 3.60 321.1516- 10.6 447- 2.48 07- 4.16 20- 3.54 91- 9.58 66vuvuv Pv
15、 Euvuv1.4.试证明在 ( 33 ， 33 ， 33 )方向上的正应力 N 和切应力 N 与不变量的关系为： N =31 1 , N =31 )3(2 221 解：根据书 P11 页可以知道，第一应力不变量 1 =1 + 32 ， 2 = 133221 ， 又斜面法向应力表达式为： 322212 nmlN ， 22322212232222212 )( nmlnmlN ，又33 nml ,则 322212 nmlN = )(31 321 = 131 ，22322212232222212 )( nmlnmlN = 2321232221 )(91)(31 = 23213231212321 )(
16、91)(2)(31 = 21221 91)2(31 =221 3292 ， 既 )3(2316231221221 N，综上所述，原题的证。 1.5 试利用坐标轴旋转，证明各向同性的线弹性体的主应力状态与主应变状态重合。 证明： 如上图所示设 1， 2， 3 轴为物体内某点的应变主轴对应的剪应变 23= 31= 12=0.现取 x， y，z 轴分别为 1， 2， 3 轴，则由广义胡克定律第 4 式得： 23=C41 1+C42 2+C43 3 （ a） 式中 1， 2和 3为改点主应变（对应 1， 2， 3 轴）。 将此坐标系绕 2 轴转 1800,得新的坐标轴 1 ,2 ,3 ,以 (l1,m
17、1,n1),(l2,m2,n2),和 (l3,m3,n3)分别表示 1 ,2 ,3 轴对原坐标系 0123 各轴的方向余弦 ,知 : l1=n3=cos1800=-1 m2=cos00=1 l2=l3=m1=m3=n1=n2=cos900=0 因此，新坐标轴也指向应变主轴方向，剪应变也应该等于零，且因各项同性时，弹性系数C41,C42和 C43 应该不随方向面改变，故取 x， y， z 分别为 1 ,2 和 3 轴，同样由式（ 4-3）第 4 式得： 2 3 =C41 1 +C42 2 +C43 3 (b) 式中， 1 ， 2 ， 3 为该点主应变（对应 1 ， 2 ， 3 轴），而由转轴应力
18、分量变化公式得： 2 3 =n3m2 23=- 23 又由转轴应变分量变换公式（ 3-12）得： 1 =l12 1= 1 1 x 3 3 2 2 1 (l1,m1,n1) (l2,m2,n2) y (l3,m3,n3) 2 =m22 2= 2 (d) 3 =n32 3= 3 (c)， (d)， (b)则有 - 23=C41 1+C42 2+C43 3 （ e） （ a）与（ e）比较，可知： 23=- 23 欲使上式成立，只有 23=0.同理可证 23= 31=0.这说明，若 1， 2， 3 是应变主轴，也是应力主轴。从而证明对各向同性弹性体内任一点，应变主轴与应力主轴重合。 习题 2.1 单
19、位厚度矩形截面悬臂梁如图所示 ,不计体积力 ,位移分量分别表示为 : Mu l x yEI , 2 222MMv l x yE I E I 其中 , 312hI .试证明这一组位移分量是基本问题的弹性力学问题解答 . 解 :这是一个位移边值问题 .欲证明这一组位移分量是基本问题的弹性力学问题解答 ,只需证明在弹性体内满足平衡方程 ,在位移边界上能够满足位移边界条件即可 . 将这一组位移分量带入位移表示的平衡方程 : 2 2 22 2 211 01 2 2E u v u v v Xv x y x y 2 2 22 2 211 01 2 2E v v v v u Yv y x x y 因为体积力
20、X=0,Y=0,则有 : 上 2h 部分 =21Ev 0 0 0 0 0 下 2h 部分 =2 11 001 2 2E M V M V Mv E I E I E I 两式均满足 .再考虑位移边界条件 ,由于悬臂梁上下两部分相同高度都为 2h ,沿 X轴是对称的 ,所以 u=0,且因为无论是 x=0 还是 x=L,均有 v=0,所以能够满足位移边界条件 . 2.2 已知应力分量为： 若不计体积力，试证明它是弹性力学问题的解，并确定系数 C，在图 2.12 所示平面构件边界上画出边界面力分布。 解：欲证明是否为弹性力学问题的解，则需证 明在弹性体内部满足式（ 2.24），在应力边界上能够满足式（
21、2.13）。 由不计体积得 X=0， Y=0， 由平衡方程和应力表示的应变协调方程得： 得： 2qC 由圣维南原理知： 1,0 lm ， xX ， xyY ，（ 2.13）可知： 所以是弹性力学问题的解。 所以边界面力分布如下图所示 3.1 已知应力函数 32()A x xy ，试求对于 下图所示正方形板在图示坐标系中的应力边界（不计体积力）。 解 :将应力函数 32()A x xy 代入应力函数表示的协调方程 4 4 44 2 2 420x x y y 显然该应力方程恒满足协调方程。 由于不计体力，对应的应力分量为 22 2x Axy 22 6y Axx ， 2 2xy Ayxy x 代表了
22、一个沿 x 轴方向上的应力场，如下图 x 6y Ax 代表了一个沿 x 轴方向上的应力场，如下图 切应力 2 2xy Ayxy 的应力场分布如下图 边界上的应力由上述上图的边界面力叠加得到。 则由比较法，该正方形板的应力边界条件： 上边： 0 , 6 , 2y x yy A x A a 下边： , 6 , 2y x yy a A x A a 左边： , , 22 x x yax A a A a 右边： , , 22 x x yax A a A a 习题 3.2 试证明表达式 223P (3 4 )2h xy h y 是一个应力函数，试画出对于如图 3.12所示矩形板在坐标系中的边界面力。如果
23、hl，短边面力用一组合力表示，则适合解决什么问题 (不计体积力 )？ 解： (1)将应力函数带入相容条件 4x4 +2 4x2 y2 + 4y4 = 0 由于 4x4 = 0, 4x2 y2 = 0, 4y4 = 0 因此应力函数是满足相容条件的 (2)应力分量表达式 = 2y2 = 123 , = 2x2 = 0,= 2xy = 32(1 422 ) (3)矩形板各边上的面力 (如下图 )： AB 面 : l = cos(,) = 1 m = cos(,) = 0 所以 = (1) ()=0 = (123 )=0= 0 = (1) ()=0 = 23(32 122) 其分布形状为抛物线形，
24、合成为 = 23 2 2 (32 122) = AD 面： l = cos(,) = 0 m = cos(,) = 1 所以 = (1) ()=2= 23 (32 12 24 )= 0 = 0 DC 面： l = cos(,) = 1 m = cos(,) = 0 所以 = 1 ()= = 123 按直线规律分布 = ()= = 23 (32 122) Oyxl h/2 h/2 按抛物线规律分布 = 12ply3 2 2 = 0 = ()= 2 2 = = p23 2 2 (3h2 122) = 由以上分析可知，该应力函数可解 决悬臂梁受集中力的弯曲问题。 3.3 试给出 = A5+B23+
25、3 + 2 + 2可以作为应力函数的条件，确定图 3.13 所示受均布载荷作用的单位厚度矩形悬臂梁时的各系数及应力分量（ h l，且不计体力）。 解：（ 1）相容条件： 将 = A5+B23+ 3 + 2 + 2带入相容方程，得 120A+ 24B = 0,若满足相容方程，有： A = 15B. (a) （ 2）应力分量表达式 = 22 = 203 302 +6, = 22 = 103 +2 + 2, A D C B 32 62 +62 = 2 = 302 2。 （ 3）考察边界条件：主要边 界 y = 2 上，应精确满足应力条件 ()= 2 = 0 ,得 108 3 +2 + = 0; (b
26、) ()= 2 = ,得 108 3 +2 + = ; (c) ()= 2 = ,得 E154 2 = 0; (d) 在次要边界 x = 0上 ,主矢和主矩都为零，应用圣维南原理用三个积分的边界条件代替： ()=022 = 0 ,满足条件； ()=022 = 0 ,得 52 +3 = 0 ； (e) ()=022 = 0 ,满足。 联立求解 (a)， (b)， (c)， (d)， (e),得： A = 53， B = 3， C= 10， D = 4， E = 34。 将各系数带入应力分量表达式，得： = ( 422 35 622 )， = 2 ( 1 3 4 33 )， = 32 (1 422
27、 ). 3.4 受端荷载作用的单位厚度矩形悬臂梁 如图所示，试取应力函数形式： = A + B2 + 3 确定各系数及应力分量（ hl,且不计体积力）。 解：由题知，不计体积力，所以 X=Y=0，将所假设的应力函数代入平衡方程，则应力分量为： = 22 = 2 +6 = 22 = 0 = 2 = (+ 2 + 32)根据圣维南原理，得： = 0, ()= = (2 +6) =12122 = 01212可得 B=0 即 = 6 = 0 = ( +32)由边界条件确定 A,C，并求出应力分量： ()=2= 0, ()=2= 0, ()=0 = 0, = ()=0 + = 01212得： A + 3
28、42 = 0A +142 = 即 = 32 = 23所以 = 123 = 0 = 32 + 63 23.5 、设有单位厚度三角形悬臂梁（如图 3.15 所示），密度为 ，试取应力函数为纯三次多项式： = 3 +2 +2 +3 图 3.15 习题 3.5 图 解：应力函数 : = 3 +2 +2 +3 满足平衡方程的相应的应力分量表达式为 : x = 2y2 = 2 + 6 y = 22 = 6 +2 xy = 2 = 2 2 （ 1）、上边界有 (y)y=0 = 0 , (xy)y=0 = 0 , 解得 : A=0， B=0。即 x = 2 + 6 y = xy = 2 （ 2）、在斜边界上
29、: l=cos(90。 + )= sin ， m = cos sin x + cosxy = 0, sinxy +cosy = 0 (2 + 6) 2 = 0 2 = 0 , x = y = 1 即： (2 +6 ) 2 = 0 2 = 0 得： 2C = cot , 6D=cot2 即应力分量形式为： x = （ xcot 2ycot2） y = xy = cot y g x 题 8.6：如图所示：为一个受到集中力 P 作用的结构，假设 E 为弹性模量，泊松比 =61 ，t=1。试按平面应力问题计算，采用三角形单元，求出节点位移。 1、将结构划成单元，并对其编号。 2、定义单元 单元定义和有
30、关数据见下表。 jimjimimjimjmjimjixxcyybxxcyybxxcyyb,： 3、 求各单元的刚度矩阵 从上表可以看出， 4 个单元刚度不同通过 MATLAB 编程求解得到 i j m ib jb mb ic jc mc 单 元 号 1 （ 0,1） 2 （ 0， 0） 3 （ 1， 1） 21 -1 0 1 1 -1 0 2 （ 0， 0） 4 （ 1， 0） 3 （ 1， 1） 21 -1 1 0 0 -1 1 3 （ 1， 1） 4 （ 1， 0） 5 （ 2， 0） 21 0 -1 1 1 -1 0 3 （ 1， 1） 5 （ 2， 0） 6 （ 2， 1） 21 -1
31、 0 1 0 -1 1 单元 的刚度矩阵为： 3332312322211312111KKKKKKKKKK 3,2,1 mji 其中子矩阵表达式为： srsrsrsrsrsrsrsrrs bbvcccbbcbccbccvbbEtK2121 2121)1(4 2 mjisr , EEEEEEt2,22210944.110944.121)611(401.0)1(4 )3,2,1(0.2143 0 0 0.2143- 0.2143- 0.2143 0 0.5143 0.0857- 0 0.0857 0.5143- 0 0.0857- 0.5143 0 0.5143- 0.0857 0.2143- 0
32、0 0.2143 0.2143 0.2143- 0.2143- 0.0857 0.5143- 0.2143 0.7286 0.3000- 0.2143 0.5143- 0.0857 0.2143- 0.3000- 0.7286 1 mjiEK)3,4,2(0.5143 0 0.5143- 0.0857 0 0.0857- 0 0.2143 0.2143 0.2143- 0.2143- 0 0.5143- 0.2143 0.7286 0.3000- 0.2143- 0.0857 0.0857 0.2143- 0.3000- 0.7286 0.2143 0.5143- 0 0.2143- 0.21
33、43- 0.2143 0.2143 0 0.0857- 0 0.0857 0.5143- 0 2 mjiEK)5,4,3(0.2143 0 0.2143- 0.2143- 0 0.2143 0 0.5143 0.0857- 0.5143- 0.0857 0 0.2143- 0.0857- 0.7286 0.3000 0.5143- 0.2143- 0.2143- 0.5143- 0.3000 0.7286 0.0857- 0.2143- 0 0.0857 0.5143- 0.0857- 0.5143 0 0.2143 0 0.2143- 0.2143- 0 0.2143 3 mjiEK)6,5
34、,3(0.7286 0.3000 0.5143- 0.2143- 0.2143- 0.0857- 0.3000 0.7286 0.0857- 0.2143- 0.2143- 0.5143- 0.5143- 0.0857- 0.5143 0 0 0.0857 0.2143- 0.2143- 0 0.2143 0.2143 0 0.2143- 0.2143- 0 0.2143 0.2143 0 0.0857- 0.5143- 0.0857 0 0 0.5143 4 mjiEK4、总体刚度矩阵组装 单元编号 整体编码 1,2,3 2,4,3 3,4,5 3,5,6 局部编码 ,ijm ,ijm ,i
35、jm ,ijm 以整编码体表示的单元刚度矩阵 133132131123122121113112111KKKKKKKKK233234232243244242223224222KKKKKKKKK 355354353345344343335334333KKKKKKKKK 466465463456455453436435433KKKKKKKKK 总体刚度矩阵为： 666564636261565554535251464544434241363534333231262524232221161514131211KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK通过 MATLAB 求解
36、得到： 总体刚度矩阵 5、求总体载荷列阵 Tyxyxyxyxyxyx PPPPPPPPPPPPP 665544332211 E式子中 yxyx PPPP 2211 , 限制了结构的刚体位移。 6、引入几何边界条件为： 02211 vuvu 根据划 0 置 1 法 ,经过处理的总体矩阵为： 6655443355544330.5143 0 0.5143- 0.0857 0 0 0 0.0857- 0 0.2143 0.2143 0.2143- 0 0 0.2143- 0 0.5143- 0.2143 1.7572 0.3000- 0.5143- 0.0857 0.2143- 0 0.0857 0.2143- 0.3000- 1.1571 0.2143 0.2143- 0 0.5143- 0 0 0.5143- 0.2143
