1、振动力学习题集(含答案)1.1 质量为 m 的质点由长度为 l、质量为 m1 的均质细杆约束在铅锤平面内作微幅摆动,如图 E1.1 所示。求系统的固有频率。mlm1x图 E1.1解:系统的动能为: 212xIlmT其中 I 为杆关于铰点的转动惯量: 210212013ldlxdlI则有: 212126xlmlmlT系统的势能为: 2121241 coscosglxglxllU利用 和 可得:xnTlmn1321.2 质量为 m、半径为 R 的均质柱体在水平面上作无滑动的微幅滚动,在 CA=a 的 A点系有两根弹性刚度系数为 k 的水平弹簧,如图 E1.2 所示。求系统的固有频率。k kACaR
2、 图 E1.2解:如图,令 为柱体的转角,则系统的动能和势能分别为: 2222 4311 mRmRITB22akakU利用 和 可得:n mkRakn 343421.3 转动惯量为 J 的圆盘由三段抗扭刚度分别为 , 和 的轴约束,如图 E1.3 所1k23示。求系统的固有频率。k1 k2 k3J图 E1.3解:系统的动能为: 21JT和 相当于串联,则有:2k3 3232 ,k以上两式联立可得: 32323 ,kk系统的势能为: 232123221 kkU利用 和 可得:nT3213kJn1.4 在图 E1.4 所示的系统中,已知 ,横杆质量不计。求固有bamik , 32,1 和频率。k2
3、k1a bk3mmgbaF2mga bx1 x2x0mgbF1图 E1.4 答案图 E1.4解:对 m 进行受力分析可得:,即3xkmg3kmg如图可得: 2211 ,kbaFxkbaFxmg212110kkbax0321230 则等效弹簧刚度为: 21323121kkke 则固有频率为: 21321 bkabakmen1.7 质量 在倾角为 的光滑斜面上从高 h 处滑下无反弹碰撞质量 ,如图 E1.7 所1m2m示。确定系统由此产生的自由振动。hkm1m2x0x2xx12图 E1.7 答案图 E1.7解:对 由能量守恒可得(其中 的方向为沿斜面向下):1m1v,即21mghghv对整个系统由
4、动量守恒可得:,即021v21令 引起的静变形为 ,则有:2m2x,即2sinkxgkgmsin2令 + 引起的静变形为 ,同理有:1212kxsi21得: gmin1210则系统的自由振动可表示为: txtxnnsico00其中系统的固有频率为: 21mkn注意到 与 方向相反,得系统的自由振动为:0vx tvtxnnsico001.9 质量为 m、长为 l 的均质杆和弹簧 k 及阻尼器 c 构成振动系统,如图 E1.9 所示。以杆偏角 为广义坐标,建立系统的动力学方程,给出存在自由振动的条件。若在弹簧原长处立即释手,问杆的最大振幅是多少?发生在何时?最大角速度是多少?发生在何时?是否在过静
5、平衡位置时?kacO aklc图 E1.9 答案图 E1.9解:利用动量矩定理得:,lcakI 231mlI,0322lml 2lkan,nlc233 12mklcmcn,aklg020kagl1.12 面积为 S、质量为 m 的薄板连接于弹簧下端,在粘性流体中振动,如图 E1.12 所示。作用于薄板的阻尼力为 ,2S 为薄板总面积,v 为速度。若测得薄板无阻尼Fd自由振动的周期为 ,在粘性流体中自由振动的周期为 。求系数 。0TdT图 E1.12解:平面在液体中上下振动时: 02kxSxm,0TkndndT21,nnmSmS 2kS22k221200202 TSmkTdd 2.1 图 E2.
6、2 所示系统中,已知 m,c, , , 和 。求系统动力学方程和稳态响1k20F应。c1 c2k1 k2 x2x1mk2 c2k1 c1mx1mxk2c21x1图 E2.1 答案图 E2.1(a) 答案图 E2.1(b)解:等价于分别为 和 的响应之和。先考虑 ,此时右端固结,系统等价为图(a) ,受1x21x力为图(b) ,故: xckckm 12121 (1)tAxcossin, ,2121kmn21(1)的解可参照释义(2.56) ,为: (2)22112211 cossintkstkAtY 其中:,ns121stg21212121 kckcs 2121121 12122 kcmk 故(
7、2)为: 212112211212111 sincossintcmkAtAtktxmkctgkmctgstg 2112121121 12ct考虑到 的影响,则叠加后的 为:tx2 tx iiii iiii kctgmkctgcmkAt 1211 2122 sn2.1 一弹簧质量系统沿光滑斜面作自由振动,如图 T 2-1 所示。已知, ,m = 1 30kg,k = 49 N/cm,开始运动时弹簧无伸长,速度为零,求系统的运动规律。mk mgx0 x图 T 2-1 答案图 T 2-1解:, cm0sinkxmg1.04928.1sinkmgrad/s710492ncmttxncos.cos02.
8、2 如图 T 2-2 所示,重物 悬挂在刚度为 k 的弹簧上并处于静平衡位置,另一重物1W从高度为 h 处自由下落到 上而无弹跳。求 下降的最大距离和两物体碰撞后的运动2W2规律。khW2W1 xx0x1x12平衡位置图 T 2-2 答案图 T 2-2解:, 221vghgh动量守恒:,122vWvg21平衡位置:,1kx1,21k2故: Wx21202121kgkn 故: tvtxxnnsico 12002.4 在图 E2.4 所示系统中,已知 m, , , 和 ,初始时物块静止且两弹簧均1k20F为原长。求物块运动规律。k2 mk1 tFsin0x1 x2 tFsin0m1k12x2x12
9、k图 E2.4 答案图 E2.4解:取坐标轴 和 ,对连接点 A 列平衡方程:1x20sin0121 tFxk即:(1)ti0212对 m 列运动微分方程: 122xkxm即:(2)122由(1) , (2)消去 得:1x(3)tkFxkmsin210212故: 212kn由(3)得: ttkmFtx nnsisi221022.5 在图 E2.3 所示系统中,已知 m,c,k, 和 ,且 t=0 时, , ,求0F0x0v系统响应。验证系统响应为对初值的响应和零初值下对激励力响应的叠加。ckmtFcos0图 E2.3解: tAtDtCetxddt cossinco0, 221kFA 21gco
10、s cos00xx tAtDtCetx ddt sinssin i0 ddCvAv i 0 00 求出 C,D 后,代入上面第一个方程即可得。2.7 由一对带偏心质量的等速反向旋转齿轮构成的振动机械安装在弹簧和阻尼器构成的支承上,如图 E2.7 所示。当齿轮转动角速度为 时,偏心质量惯性力在垂直方向大小为。已知偏心重 W = 125.5 N,偏心距 e = 15.0 cm,支承弹簧总刚度系数 k = tmesin2967.7 N/cm,测得垂直方向共振振幅 ,远离共振时垂直振幅趋近常值cmX07.1。求支承阻尼器的阻尼比及在 运行时机器的垂直振幅。cX32.0 in3rtmesin221e21
11、e图 E2.7解:,tsMmetxin21 21stgs=1 时共振,振幅为:(1)cmeX07.11远离共振点时,振幅为:(2)M32.2由(2) 2XmeM由(1) 15.02112 Xe, ,min30rMk010s故: mseX32208.12.7 求图 T 2-7 中系统的固有频率,悬臂梁端点的刚度分别是 及 ,悬臂梁的质量1k3忽略不计。mk1k2k3k4无质量mk1k2k3k4图 T 2-7 答案图 T 2-7解:和 为串联,等效刚度为: 。 (因为总变形为求和)1k2 212k和 为并联(因为 的变形等于 的变形) ,则:12312k32133213123 kk和 为串联(因为
12、总变形为求和) ,故:123k4 4213212444123 kkkke 故: men2.9 如图 T 2-9 所示,一质量 m 连接在一刚性杆上,杆的质量忽略不计,求下列情况系统作垂直振动的固有频率:(1)振动过程中杆被约束保持水平位置;(2)杆可以在铅锤平面内微幅转动;(3)比较上述两种情况中哪种的固有频率较高,并说明理由。k2k1ml1 l2 mglF21mgl1 l2x1x2xmglF21图 T 2-9 答案图 T 2-9解:(1)保持水平位置: mkn21(2)微幅转动: mgkllll gkllkgl mlllllxkFx21222112 1221211211 故: 212klem
13、en2.10 求图 T 2-10 所示系统的固有频率,刚性杆的质量忽略不计。k1k2malF1mgx1 xA图 T 2-10 答案图 T 2-10解:m 的位置: AAxkgx22, ,aFml1gl1akmglx,lxA1 12llAmgkal mgkalka21 12122 ,21le ken2.11 图 T 2-11 所示是一个倒置的摆。摆球质量为 m,刚杆质量可忽略,每个弹簧的刚度为 。2k(1)求倒摆作微幅振动时的固有频率;(2)摆球质量 m 为 0.9 kg 时,测得频率 为 1.5 Hz,m 为 1.8 kg 时,测得频率为nf0.75 Hz,问摆球质量为多少千克时恰使系统处于不
14、稳定平衡状态?almk/2k/2 零平衡位置零平衡位置cosl图 T 2-1 答案图 T 2-11(1) 答案图 T 2-11(2)解:(1) 221mlI222211 cosglkaglkaU利用 ,maxaTmaxn 1222 mglkalklgkn-(2)若取下面为平衡位置,求解如下: 221lITmgllkamgllkaU 2222 211 sin1cos,0Tdt 0ll2glka2mln2.17 图 T 2-17 所示的系统中,四个弹簧均未受力,k 1= k2= k3= k4= k,试问:(1)若将支承缓慢撤去,质量块将下落多少距离?(2)若将支承突然撤去,质量块又将下落多少距离?
15、k1k2 k3k4m图 T 2-17解: kkkk213241234123(1) ,01234xkmgmg(2) ,ttncoskx0a2.19 如图 T 2-19 所示,质量为 m2 的均质圆盘在水平面上可作无滑动的滚动,鼓轮绕轴的转动惯量为 I,忽略绳子的弹性、质量及各轴承间的摩擦力,求此系统的固有频率。m1 m2IR2R1 k2k1rx图 T 2-19解:系统动能为:221 222221 3 1xmxRI rxmxTe系统动能为: 221212 xkRxkxVe根据: ,maxVTmaxn212123RIkn2.20 如图 T 2-20 所示,刚性曲臂绕支点的转动惯量为 I0,求系统的固
16、有频率。k3k2m2m1k1ab l图 T 2-20解:系统动能为:2210 lmaIlT系统动能为: 2321 23 bklakV根据: ,maxTmaxn21032lIkkn2.24 一长度为 l、质量为 m 的均匀刚性杆铰接于 O 点并以弹簧和粘性阻尼器支承,如图 T 2-24 所示。写出运动微分方程,并求临界阻尼系数和无阻尼固有频率的表达式。kalcO aklc图 T 2-24 答案图 T 2-24解:利用动量矩方程,有:,lcakJ 231mlJ0322kml2lan,nmlc321323mklakn2.25 图 T 2-25 所示的系统中,刚杆质量不计,写出运动微分方程,并求临界阻
17、尼系数及阻尼固有频率。kalbcm ablkclm图 T 2-25 答案图 T 2-25解: 0bkaclm22mkln2,nmlca2klbcaln22 422242 4111 aclmllcklbnd 由 kab22.26 图 T 2-26 所示的系统中,m = 1 kg,k = 144 N / m,c = 48 Ns / m,l 1 = l = 0.49 m,l 2 = 0.5 l, l3 = 0.25 l,不计刚杆质量,求无阻尼固有频率 及阻尼 。nl1mkcl2l3mO2lk1l3lc图 T 2-26 答案图 T 2-25解:受力如答案图 T 2-26。对 O 点取力矩平衡,有: 0
18、231lklclm2416kc32mnsrad/ nc2165.0nm4.7 两质量均为 m 的质点系于具有张力 F 的弦上,如图 E4.7 所示。忽略振动过程中弦张力的变化写出柔度矩阵,建立频率方程。求系统的固有频率和模态,并计算主质量、主刚度、简正模态,确定主坐标和简正坐标。m ml l lFFFy1 y2F F3图 E4.7 答案图 E4.7(1)解:, ,ly11sin ly122sin ly23sin根据 和 的自由体动力平衡关系,有:1m2 1212121sii ylFylFFy 322n故: 0212110ylym当 = 时,令:1m2, ,tYysin1tYysin2Fml2代
19、入矩阵方程,有: 0213213,12,,mlFl121mlFl2根据 得:0221Y,11212Y1.0 1.01.0-1.0第一振型 第二振型答案图 E4.7(2)4.11 多自由度振动系统质量矩阵 M 和刚度矩阵 K 均为正定。对于模态 和 及自然ixj数 n 证明:,01jTixK01jTix解:,等号两边左乘jjj21K,等号两边左乘jjjj xMx211 Tix,当 时0jTijjTiKji重复两次:,等号两边再左乘jjx21 1K,等号两边左乘jjj1Tix,当 时0221 jTijjTi MKx j重复 n 次得到: 1jnTix,等号两边左乘jjjKx21KjjjMx121故
20、:,等号两边左乘jjjMx12Ti,当 时0jTijjTi xKj即 ,当 时ji i重复运算: jjj Mxx2121,当 时021 jTijjTi KMKxji重复 n 次。2.10 图 T 4-11 所示的均匀刚性杆质量为 m1,求系统的频率方程。k1k2m1bam2图 T 4-11解:先求刚度矩阵。令 , ,得:10x212akbakbk21令 , ,得:0xak21答则刚度矩阵为: 221kabkK再求质量矩阵。令 , ,得:10x,23am1令 , ,得:x,0122则质量矩阵为: 2103maM故频率方程为: 2K5.1 质量 m、长 l、抗弯刚度 EI 的均匀悬臂梁基频为 3.
21、515(EI / ml3)1/2,在梁自由端放k21 m2m1k11ba2x答案图 T 4-11(1)k22m2m1k12 2答案图 T 4-11(2)m21m2m1m11答案图 T 4-11(3)置集中质量 m1。用邓克利法计算横向振动的基频。解:,315.mlEI312lI5.212IlmEl113.08.65.2 不计质量的梁上有三个集中质量,如图 E5.2 所示。用邓克利法计算横向振动的基频。l/4 l/4 l/4 l/4m m 3m图 E5.2解:当系统中三个集中质量分别单独存在时:, ,EIlf124/93EIlf124/63EIlf124/93Imlffm33212321 lI8
22、4.15.3 在图 E5.3 所示系统中,已知 m 和 k。用瑞利法计算系统的基频。k 2kmk2m m图 E5.3解:近似选取假设模态为: T5.21系统的质量阵和刚度阵分别为:,mdiag2MkkK03由瑞利商公式: 2175.kRTm46.015.9 在图 E5.9 所示系统中,已知 k 和 J。用传递矩阵法计算系统的固有频率和模态。k kJJ/21 2(1)(2)图 E5.9解:两端边界条件为:固定端: ,自由端: 。100RTX012RTXkJkJR 22201 101XS kJkJkJJkR 22222212 11SX由自由端边界条件得频率方程: 0222 kJkJ, J765.0
23、1J84.12代入各单元状态变量的第一元素,即: 221kJ得到模态:,T41.)1(T41.)2(5.10 在图 E5.10 所示系统中,已知 GIpi ( i = 1 , 2),l i ( i = 1 , 2)和 Ji ( i = 1 , 2)。用传递矩阵法计算系统的固有频率和模态。J1GIp1J2l1 l2GIp2图 E5.10解:两自由端的边界条件为: , 。011LTX012RTX121211 0JJLPR XS1212115.1. JkkRFLR 21214124112225.121 JkJJkJkR XS其中: , 。1lGIkp2lIkp由自由端边界条件得频率方程:,02121
24、4124 JkJJ112122lIJGIpp代入各单元状态变量的第一元素,即: 211221kJ得到模态:,T)1(TJ21)2(5.11 在图 E5.11 所示系统中悬臂梁质量不计,m 、l 和 EI 已知。用传递矩阵法计算系统的固有频率。mEIl(1)(0)图 E5.11解:引入无量纲量:, , ,lyEIMlIlFS2EIml23定义无量纲的状态变量: TSFMyX边界条件:左端固结: ,右端自由:TSR00 TRy01X根据传递矩阵法,有: FPR011其中点传递矩阵和场传递矩阵分别为:,101PS10261FS得: 01621SFM利用此齐次线性代数方程的非零解条件导出本征方程: 3162mlEI5.12 在图 E5.12 所示系统中梁质量不计,m 、l 和 EI 已知,支承弹簧刚度系数 k = 6EI / l3。用传递矩阵法计算系统的固有频率。klEI ml(1)(0.5)(0)图 E5.12解: