1、第二章 方程(组)与不等式(组) 第7讲 一元二次方程,考点梳理过关,考点1 一元二次方程的相关概念,提示判断一个方程是不是一元二次方程时要注意以下两点：(1)化简前，方程是整式方程；(2)化简后，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2.,考点2 一元二次方程的解法 6年4考,拓展十字相乘法分解因式：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项。其实就是运用乘法公式(xa)(xb)x2(ab)xab的逆运算来进行因式分解。十字分解法能用于二次三项式的分解因式(不一定是整数范围内)。对于像ax2bxc(a1xc1)(a2xc2)这样的整式来说，这个方法的关键是把二次
2、项系数a分解成两个因数a1，a2的积，把常数项c分解成两个因数c1，c2的积，并使a1c2a2c1正好等于一次项的系数b。那么可以直接写成结果：ax2bxc(a1xc1)(a2xc2),考点3 一元二次方程的根的判别式及其应用 6年3考,提示(1)运用一元二次方程根的判别式时，先要化为一般形式，再确定a，b，c的值；(2)当二次项系数含字母时注意二次项系数a0；(3)如果说方程有实数根，此时b24ac0，切勿丢掉等号,考点4 一元二次方程根与系数的关系(选学),提示运用前提：(1)首先是一元二次方程，即a0；(2)一元二次方程必须有解，即b24ac0.,几种常见的一元二次方程应用问题： (1)
3、握手或单循环比赛问题 (2)增长率问题：若基数为a，增长率为x，则增长一次后的值为a(1x)，增长两次后的值为b，则有a(1x)2b. (3)面积类问题：解决这类问题的关键是将不规则图形分割或补全成规则图形，找出各部分面积之间的关系，利用面积计算公式列出方程求解 (4)利润类问题：常用的关系有利润售价进价；总利润单个利润销售数量,考点5 一元二次方程的应用 6年1考,典型例题运用,类型1 一元二次方程根的判别式,【例1】2017通辽中考若关于x的一元二次方程(k1)x22(k1)xk20有实数根，则k的取值范围在数轴上表示正确的是( ),技法点拨熟练掌握解一元二次方程的定义和判别式：1.二次项
4、系数不为0；2.b24ac0方程有两个不相等的实数根，b24ac0方程有两个相等的实数根，b24ac0方程无实数根,A,A 关于x的一元二次方程(k1)x22(k1)xk20有实数根， 解得k1.,变式运用2017北京中考关于x的一元二次方程x2(k3)x2k20. (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程有一根小于1，求k的取值范围,解：(1)证明：在方程x2(k3)x2k20中，(k3)241(2k2)k22k1(k1)20， 方程总有两个实数根 (2)x2(k3)x2k2(x2)(xk1)0， x12，x2k1. 方程有一根小于1， k11，解得k0， k的取值范围为k0.,类型2
5、 解一元二次方程,【例2】2016朝阳中考方程2x23x的解为 .,失分警示误用等式性质，把方程直接化为2x3，而错解为x .,x0或x 整理方程，得2x23x0.分解因式，得x(2x3)0.解得x0或x,整理方程，得x22x . 配方，得x22x1 ，即(x1)2 . 开方，得x1解得x11 ，x21,【例3】2017江汉区校级模拟解方程：2x24x1.(用配方法),类型3 一元二次方程的应用,【例4】2017衢州中考根据衢州市统计局发布的统计数据显示，衢州市近5年国民生产总值数据如图1所示，2016年国民生产总值中第一产业，第二产业，第三产业所占比例如图2所示,请根据图中信息，解答下列问题
6、： (1)求2016年第一产业生产总值；(精确到1亿元) (2)2016年比2015年的国民生产总值增加了百分之几？(精确到1%) (3)若要使2018年的国民生产总值达到1573亿元，求2016年至2018年我市国民生产总值的平均增长率(精确到1%),思路分析：(1)2016年第一产业生产总值2016年国民生产总值2016年第一产业国民生产总值所占百分率，列式计算即可求解；(2)先求出2016年比2015年的国民生产总值增加了多少，再除以2015年的国民生产总值即可求解；(3)设2016年至2018年我市国民生产总值的平均增长率为x，那么2017年我市国民生产总值为1300(1x)亿元，20
7、18年我市国民生产总值为1300(1x)(1x)亿元，然后根据2018年的国民生产总值要达到1573亿元即可列出方程，解方程就可以求出年平均增长率,自主解答：(1)13007.1%92(亿元) 答：2016年第一产业生产总值大约是92亿元； (2)(13001204)1204100% 961204100% 8%. 答：2016年比2015年的国民生产总值大约增加了8%； (3)设2016年至2018年我市国民生产总值的年平均增长率为x. 依题意，得1300(1x)21573. 1x1.1. x10%或x2.1(不符合题意，故舍去) 答：2016年至2018年我市国民生产总值的年平均增长率约为1
8、0%.,六年真题全练,命题点1一元二次方程的根的判别式及其应用,12017滨州，2,3分一元二次方程x22x0根的判别式的值为( )A4 B2 C0 D4,A (2)24104.,22015滨州，3,3分一元二次方程4x214x的根的情况是( ) A没有实数根 B只有一个实数根 C有两个相等的实数根 D有两个不相等的实数根,C 方程化为一般式为4x24x10，然后把a4，b4，c1代入b24ac，得0，则方程有两个相等的实数根,32013滨州，10,3分对于任意实数k，关于x的方程x22(k1)xk22k10的根的情况为( ) A有两个相等的实数根 B没有实数根 C有两个不相等的实数根 D无法
9、确定,C a1，b2(k1)，ck22k1，b24ac2(k1)241(k22k1)8k280.对于任意实数k，方程有两个不相等的实数根,猜押预测1.不解方程，判别方程2x23 x3的根的情况 ( ) A有两个相等的实数根 B有两个不相等的实数根 C有一个实数根 D无实数根,B 整理方程，得2x23 x30.(3 )242(3)18240，方程有两个不相等的实数根,猜押预测2.已知关于x的一元二次方程(a1)x22x10有两个不相等的实数根，则a的取值范围是 .,a2且a1 关于x的一元二次方程(a1)x22x10有两个不相等的实数根，b24ac0，即44(a1)10.解这个不等式，得a2.又
10、二次项系数是(a1)，a1.故a的取值范围是a2且a1.,42015滨州，5,3分用配方法解一元二次方程x26x100时，下列变形正确的为( ) A(x3)21 B(x3)21 C(x3)219 D(x3)219,命题点2 解一元二次方程,D 移项，得x26x10.配方，得x26x919，即(x3)219.,52013滨州，16,4分一元二次方程2x23x10的解为x11，x2 .,a2，b3，c1，b24ac(3)2810.x x11，x2 .,62012滨州，17,4分方程x(x2)x的根是 .,x10，x23 原方程可化为x(x2)x0，即x(x21)0.x0或x30.解得x10，x23
11、.,72017滨州，20,9分(1)根据要求，解答下列问题： 方程x22x10的解为 ； 方程x23x20的解为 ； 方程x24x30的解为 ； (2)根据以上方程特征及其解的特征，请猜想： 方程x29x80的解为 ； 关于x的方程 的解为x11，x2n. (3)请用配方法解方程x29x80，以验证猜想结论的正确性,解：(1)(x1)20，解得x1x21，即方程x22x10的解为x1x21； (x1)(x2)0，解得x11，x22，所以方程x23x20的解为x11，x22； (x1)(x3)0，解得x11，x23，方程x24x30的解为x11，x23； ,(2)根据以上方程特征及其解的特征，请
12、猜想： 方程x29x80的解为x11，x28； 关于x的方程x2(1n)xn0的解为x11，x2n. (3)x29x8，x29x 8 ，所以x11，x28. 所以猜想正确 答案：x1x21；x11，x22；x11，x23；x11，x28；x2(1n)xn0.,猜押预测3.已知等腰ABC的两条边的长度是一元二次方程x26x80的两根，则ABC的周长是( ) A10 B8 C6 D8或10,猜押预测4.将一元二次方程x26x50化成(xa)2b的形式，则ab .,A 已知x26x80，(x2)(x4)0.x12，x24.由三角形的三边关系，可得(两边之和大于第三边)，腰长是4，底边是2，所以周长是
13、44210.,12 x26x50，x26x5，x26x959，(x3)24，所以a3，b4，ab12.,命题点3 一元二次方程的应用,82012滨州，20,7分滨州市体育局要组织一次篮球赛，赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，计划安排28场比赛，应邀请多少支球队参加比赛？学习以下解答过程，并完成填空,解：设应邀请x支球队参赛，则每队共打 场比赛，比赛总场数用代数式表示为 . 根据题意，可列出方程 . 整理，得 . 解这个方程，得 . 合乎实际意义的解为 . 答：应邀请 支球队参赛,设应邀请x支球队参赛，则每队共打(x1)场比赛，比赛总场数用代数式表示为 x(x1)，根据题意，可列出方程 x
14、(x1)28.整理，得x2x560，解这个方程，得x18，x27.合乎实际意义的解为x8.答：应邀请8支球队参赛,猜押预测5.某种型号的电脑，原售价7200元/台，经连续两次降价后，现售价为4608元/台，则平均每次降价的百分率为 .,20% 设平均每次降价的百分率为x.由题意，得7200(1x)24608.解得x11.8(舍去)，x20.2.,猜押预测6.商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件商品每降价1元，商场每天可多售出2件，设每件商品降低x元据此规律，请回答： (1)商场日销售量增加 件，每件商品盈利 元；(用含
15、x的代数式表示) (2)在上述条件不变，销售正常的情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元？,解：(1)降价1元，可多售出2件，降价x元，可多售出2x件，盈利的钱数为(50x)元 故答案为：2x；50x； (2)由题意，得(50x)(302x)2100. 化简，得x235x3000， 即(x15)(x20)0. 解得x115，x220. 由于该商场为了尽快减少库存，因此降的越多，越吸引顾客，故选x20. 答：每件商品降价20元时，商场日盈利可达到2100元,得分要领1.要熟悉常见问题的等量关系，并会根据关系列出方程；2.能够准确求出方程的解；3.对于方程的解会根据实际情况进行可行性分析，适当选取,
