1、第六节 锐角三角函数,第四章 三角形,考点特训营,锐角三角函数,锐角三角函数,直角三角形的边角关系,解直角三角形的实际应用,解直角三角形的基本类型,锐角三角函数,锐角三角函数，如图,锐角三角函数,特殊角的三角函数值，如图，图,三角函数值,三角函数,sin2=(sin)2,cos2=(cos)2,tan2=(tan)2, 如sin230=（sin30）2= ，sin2+cos2=1,直角三角形的边角关系如图,解直角三角形的实际应用,解题步骤,1.审题：画出正确的平面图或截面示意图，并通过图形弄清楚已知量和未知量；2.构造直角三角形：将已知条件转化为示意图中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化
2、, 为解直角三角形的问题，若不能在图中直接体现，则需添加适当的辅助线；3.列关系式：根据直角三角形（或通过作垂线构造直角三角形）元素（边、角）之间的关系解有关, 的直角三角形；,解直角三角形的实际应用,解题步骤,4.检验：解题完毕后，可能会存在一些较为特殊的数据，例如含有复杂的小数等，因此要特别注, 意所求数据是否符合实际意义，同时还要注意，结果有无要求保留的条件，如结果要求精确, 到哪一位，即将结果四舍五入到哪一位，如5.54精确到1是6，精确到0.1是_,解直角三角形的实际应用,解直角三角形的基本类型,解直角三角形的基本类型,重难点突破 一 解直角三角形的实际应用（重点）例 （1）如图，一
3、游客在某城市旅游期间，清晨沿街步行前往著名的电视塔观光，他面前的影子BC长度为100 cm，游客看影子顶端的俯角是30，求该游客的身高AB.（ 1.732，结果保留整数）.,例题图,（2）如图，该游客到达A处后望塔顶C的仰角为30，继续前行260米后到达B处，此时望塔顶的仰角为60.假若游客所走路线直达电视塔底.忽略头顶到眼睛的距离请你计算这座电视塔大约有多高？（ 1.732，结果精确到0.1米）.例题图,（3）如图，该游客到达电视塔CD以后发现电视塔在维修不能观光，于是他去了距离电视塔不远的建筑物AB，在该建筑物的顶部测得电视塔底部的俯角为30，测得电视塔顶部的仰角为60，求建筑物AB与电视
4、塔CD之间的距离.（ 1.732，结果精确到0.01米）.例题图,例题解图,（4）如图，建筑物顶层是美食城，该游客点了一杯饮料，杯子的截面是个四边形，杯壁CD与桌面EF的夹角为83.一支吸管一端在杯底B处，吸管与杯底BC的夹角为60，另一端露出杯口3 cm，过点D作DGEF，若CG长度为1 cm，求吸管PB的长度.（sin600.87，tan838.14，结果精确到0.1 cm）.,例题图,一 海伦秦九韶公式材料 古希腊的几何学家海伦，在数学史上以解决几何测量问题而闻名.在他的著作度量一书中，给出了如下公式：若一个三角形的三边分别为a，b，c，记p （abc）， 那么三角形的面积为：SABC
5、（海伦公式）,数学文化讲堂(四),我国南宋时期数学家秦九韶（约1202约1261），曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式：SABC .海伦公式和秦九韶公式实质上是同一个公式，所以我们一般也称此公式为海伦秦九韶公式.人教八下P16、北师八上P51,1. 若ABC的三边长为5，6，7，DEF的三边长为 请利用上面的两个公式分别求出ABC和DEF的面积.,2. 如图，在ABC中，BC5，AC6，AB9，求ABC的内切圆半径.第2题图,二 赵爽弦图材料 赵爽是中国杰出的数学家之一，在注解周髀算经中给出的“赵爽弦图”证明了勾股定理的准确性.如图所示，四个全等的直角三角形可以围成 一个大的正方形，中间
6、空的是一个小正方形. 通过对这个图形的切割，拼接，巧妙地利用 面积关系证明了勾股定理.证明方法如下：,设直角三角形的三边中较短的直角边为a，另一直角边为b，斜边为c，朱实面积2ab，黄实面积（ba）2b22aba2，朱实面积黄实面积a2b2大正方形面积c2. 人教八下P30、北师八下P16、华师八上P124,3. 如图是“赵爽弦图”的示意图，ABH、BCG、CDF和DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，若AB10，EF2，则AH_第3题图,4. 如图是“赵爽弦图”的示意图，若较短的直角边BC5，将四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到图所示的“数学风车”
7、，若BCD的周长是30，则这个风车的外围周长是_第4题图,【解析】依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，AC长为y，则x24y252，BCD的周长是30， x2y530，则x13，y6. 风车的外围周长为：4(xy)41976.,5. 如图是“赵爽弦图”示意图，若直角三角形的两边长分别为3和5，则小正方形的面积为_第5题图,1或4,【解析】分两种情况：5为斜边时，由勾股定理得，另一直角边长 4， 小正方形的边长431， 小正方形的面积121； 3和5为两条直角边长时，小正方形的边长532，小正方形的面积224； 综上所述，小正方形的面积为1或4.,6. 赵爽弦图是由四个全等的直
8、角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，若这四个全等直角三角形的两条直角边分别平行于x轴和y轴，大正方形的顶点B1，C1，C2，C3，Cn在直线y 上，顶点D1，D2，D3，Dn在x轴上，则第n个阴影小 正方形的面积为_第6题图,三 泰勒斯全等材料 泰勒斯，古希腊第一位闻名世界的大数学家，泰勒斯在数学方面最重要的贡献是引入了命题证明的思想，并最先证明了全等的一条判定定理：两个三角形的一条边和这条边相邻的两个角对应相等，则这两个三角形全等.他为数学具有理论上的严密性和应用上的广泛性奠定了基础.,7. 相传泰勒斯利用三角形全等的方法求出岸上一点到海中一艘船的距离.如图，B是观察点
9、，船A在B的正前方，过B作AB的垂线，在垂线上截取任意长BD，C是BD的中点，观察者从点D沿垂直于BD的DE方向走，直到点E、船A和点C在一条直线上，那么ABCEDC，从而量出DE的距离即为船离岸的距离AB，这里判定ABCEDC的方法是（ ） A. SAS B. ASA C. AAS D. SSS,D,第7题图,四海岛算经材料 海岛算经是中国最早的一部测量数学专著，也是中国古代高度发达的地图学的数学基础.由刘徽于三国魏景元四年所撰，海岛算经共九问，都是用表尺重复从不同位置测望，取测量所得的差数，进行计算从而求得山高或谷深. 北师九上P104,8. 该书中提出九个测量问题，其中一个为：有望深谷，
10、偃矩岸上，令勾高六尺.从勾端望谷底，入下股九尺一寸.又设重矩于上，其矩间相去三丈.更从勾端望谷底，入上股八尺五寸.问谷深几何？题目的大意是：测量一个山谷AE的深度，拿一个高AB为6尺的矩尺ABD放在岸上，从B端看 谷底EG（D在BG上），下股AD为9尺1寸，向 上平移矩尺3丈，现从B端看谷底EG，上股 AD为8尺5寸，试求谷深AE.（1丈10尺 100寸）,第8题图,9. 王老师根据海岛算经中的问题，编了这样一道题：如图，甲、乙两船同时由港口A出发开往海岛B，甲船沿北偏东60方向向海岛B航行，其速度为15海里/小时；乙船速度为20海里/小时，先沿正东方向航行1小时后，到达C港口接旅客，在C港口停留0.5小时后再沿东北方向 开往B岛，B岛建有一座灯塔，在灯塔方圆 5海里内都可以看见灯塔，问甲、乙两船哪 一艘先看到灯塔，两船看到灯塔的时间相 差多少？（精确到分钟， 1.73， 1.41 ）,第9题图,
