1、22.3 实际问题与二次函数第 1 课时 二次函数与图形面积01 基础题知识点 二次函数与图形面积1如图，利用一面墙(墙的长度不超过 45 m)，用 80 m 长的篱笆围一个矩形场地当AD20_m 时，矩形场地的面积最大，最大值为 800_m2.2如图，在ABC 中，B90，AB8 cm，BC 6 cm，点 P 从点 A 开始沿 AB 向 B点以 2 cm/s 的速度移动，点 Q 从点 B 开始沿 BC 向 C 点以 1 cm/s 的速度移动，如果 P，Q分别从 A，B 同时出发，当PBQ 的面积为最大时，运动时间 t 为 2s.3将一根长为 20 cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为
2、周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是 cm2.2524已知矩形的周长为 6，设矩形的一边长为 x，它的面积为 y.写出 y 与 x 的函数关系式，并求出当 x 为何值时矩形的面积最大？解：矩形的另一边长为 3x，则 y 与 x 的函数关系式为 yx(3x)x 23x(0x3)整理，得 yx 23x(x )2 .32 940x3 ，当 x 时，矩形的面积最大，其最大值为 .32 945(滨州中考)某高中学校为高一新生设计的学生单人桌的抽屉部分是长方体 ，抽屉底面周长为 180 cm， 高为 20 cm.请通过计算说明 ，当底面的宽 x 为何值时，抽屉的体积 y 最大？最大为多少
3、？(材质及其厚度等暂忽略不计 )解：根据题意，得 y20x( x) 1802整理，得 y20x 21 800x20(x 290x2 025) 40 50020(x45) 240 500.200，当 x45 时，函数有最大值，y 最大值 40 500.即当底面的宽为 45 cm 时，抽屉的体积最大，最大为 40 500 cm3.6手工课上，小明准备做一个形状是菱形的风筝，这个菱形的两条对角线长度之和恰好为60 cm，菱形的面积 S(单位： cm2)随其中一条对角线的长 x(单位：cm )的变化而变化(1)请直接写出 S 与 x 之间的函数关系式 (不要求写出自变量 x 的取值范围)；(2)当 x
4、 是多少时，菱形风筝面积 S 最大？最大面积是多少？解：(1)S x230x.12(2)S x230x (x30) 2450，12 12且 a 0，12当 x30 时，S 有最大值，最大值为 450.即当 x 为 30 cm 时，菱形风筝的面积最大，最大面积是 450 cm2.02 中档题7如图，在 RtABC 中， C90，B30，AB12 cm，点 P 是 AB 边上的一个动点，过点 P 作 PEBC 于点 E，PF AC 于点 F，当 PB6_cm 时，四边形 PECF 的面积最大，最大值为 9 _cm2.38(成都中考)在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角 (两边足够
5、长)，用 28 m 长的篱笆围成一个矩形花园 ABCD(篱笆只围 AB，BC 两边)，设 ABx m .(1)若花园的面积为 192 m2， 求 x 的值；(2)若在 P 处有一棵树与墙 CD，AD 的距离分别是 15 m 和 6 m，要将这棵树围在花园内(含边界 ，不考虑树的粗细 )，求花园面积 S 的最大值解：(1)由题意得 x(28x)192，解得 x112，x 216.x12 或 16.(2)Sx(28x)(x 14) 2196.由题意知 解得 6x13.x 6，28 x 15， )在 6x13 范围内，S 随 x 的增大而增大当 x13 时，S 最大 (13 14) 2196195(
6、m 2)答：花园面积 S 的最大值为 195 m2.9(淮安中考)用长为 32 米的篱笆围一个矩形养鸡场，设围成的矩形一边长为 x 米，面积为 y 平方米(1)求 y 关于 x 的函数关系式；(2)当 x 为何值时，围成的养鸡场面积为 60 平方米？(3)能否围成面积为 70 平方米的养鸡场？如果能，请求出其边长；如果不能 ，请说明理由解：(1)yx(16x)x 216x(0x16)(2)当 y60 时，x 216x60，解得 x110，x 26.当 x10 或 6 时，围成的养鸡场的面积为 60 平方米(3)不能理由：当 y70 时，x 216x70，整理得x216x700.25628024
7、0，此方程无实数根不能围成面积为 70 平方米的养鸡场03 综合题10(朝阳中考)如图，正方形 ABCD 的边长为 2 cm，PMN 是一块直角三角板(N30) ， PM2 cm，PM 与 BC 均在直线 l 上，开始时 M 点与 B 点重合，将三角板向右平行移动，直至 M 点与 C 点重合为止设 BMx cm，三角板与正方形重叠部分的面积为 y cm2.下列结论：当 0x 时，y 与 x 之间的函数关系式为 y x2；233 32当 x2 时，y 与 x 之间的函数关系式为 y2x ；233 233当 MN 经过 AB 的中点时，y cm2；32存在 x 的值，使 y S 正方形 ABCD(
8、S 正方形 ABCD 表示正方形 ABCD 的面积)12其中正确的是(写出所有正确结论的序号 )第 2 课时 二次函数与商品利润01 基础题知识点 销售中的最大利润1一台机器原价 60 万元，如果每年的折旧率为 x，两年后这台机器的价位为 y 万元，则y 关于 x 的函数关系式为(A)Ay60(1 x) 2 By60(1x 2)Cy60x 2 Dy60(1x) 22一件工艺品进价为 100 元，标价 135 元售出，每天可售出 100 件根据销售统计，该件工艺品每降价 1 元出售，则每天可多售出 4 件，要使每天获得的利润最大，每件需降价的钱数为(A )A5 元 B10 元C0 元 D6 元3
9、(沈阳中考)某种商品每件进价为 20 元，调查表明：在某段时间内若以每件 x 元(20x30，且 x 为整数)出售，可卖出(30x) 件若使利润最大，每件的售价应为 25元4(毕节中考)某工厂生产的某种产品按产量分为 10 个档次 ，第 1 档次(最低档次)的产品一天能生产 95 件产品，每件利润 6 元(第一档) 每提高一个档次 ，每件利润增加 2 元，但一天产量减少 5 件(1)若生产第 x 档次的产品一天的总利润为 y 元( 其中 x 为正整数，且 1x10)，求出y 关于 x 的函数关系式；(2)若生产第 x 档次的产品一天的总利润为 1 120 元，求该产品的质量档次解：(1)y6
10、2(x1) 955(x1)，整理，得 y10x 2180x400.(2)由10x 2180x4001 120，化简，得x218x720.解得 x16，x 212(不合题意 ，舍去) 该产品为第 6 档次的产品5(玉林中考)某超市对进货价为 10 元/ 千克的某品种苹果的销售情况进行统计，发现每天销售量 y(千克)与销售价 x(元/千克)存在一次函数关系，如图(1)求 y 关于 x 的函数关系式( 不要求写出 x 的取值范围)；(2)应怎样确定销售价，使该品种苹果的每天销售利润最大？最大利润是多少？解：(1)设 ykxb，由(20， 20)，(30，0) 两点代入得 20k b 20，30k b
11、 0. )解得 k 2，b 60. )y 关于 x 的函数关系式是 y2x60.(2)设每天利润为 w 元，则 w(x10)y(x10)( 2x 60)2x 280x6002(x20) 2200.当 x20 时，w 取得最大值当销售价为 20 元时，该品种苹果的每天销售利润最大，为 200 元02 中档题6喜迎圣诞，某商店销售一种进价为 50 元/件的商品，售价为 60 元/ 件，每星期可卖出200 件，若每件商品的售价每上涨 1 元，则每星期就会少卖出 10 件设每件商品的售价上涨 x 元(x 为正整数)，每星期销售该商品的利润为 y 元， 则 y 与 x 的函数关系式为(A)Ay10x 2
12、100x2 000By10x 2100x2 000Cy10x 2200xDy10x 2100x2 0007出售某种文具盒，若每个获利 x 元，一天可售出(6x)个，则当 x3 元时，一天出售该种文具盒的总利润最大8(红河期末)某水果批发商销售每箱进价为 40 元的苹果 ，物价部门规定每箱售价不得高于 55 元，市场调查发现，若每箱以 50 元的价格出售，平均每天销售 90 箱，价格每提高 1元，平均每天少销售 3 箱(1)求平均每天销售量 y(箱)与销售价 x(元/箱)之间的函数关系式；(2)求该批发商平均每天的销售利润 w(元)与销售价 x(元/箱)之间的函数关系式；(3)当每箱苹果的销售价
13、为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？解：(1)由题意，得 y903(x 50)，即 y3x240.(2)由题意，得 w(x40)y(x40)( 3x 240)3x 2360x9 600.(3)w3x 2 360x9 600.a30，抛物线开口向下当 x 60 时，w 有最大值b2a又x60，w 随 x 的增大而增大当 x55 元时，w 的最大值为 1 125 元当每箱苹果的销售价为 55 元时，可以获得 1 125 元的最大利润03 综合题9(茂名中考)某公司生产的某种产品每件成本为 40 元， 经市场调查整理出如下信息：该产品 90 天内日销售量(m 件)与时间( 第 x 天)满足
14、一次函数关系，部分数据如下表：时间(第 x 天) 1 3 6 10 日销售量(m 件) 198 194 188 180 该产品 90 天内每天的销售价格与时间(第 x 天) 的关系如下表：时间( 第 x 天) 1x50 50x90销售价格( 元/件) x60 100(1)求 m 关于 x 的一次函数表达式；(2)设销售该产品每天利润为 y 元，请写出 y 关于 x 的函数表达式 ，并求出在 90 天内该产品哪天的销售利润最大？最大利润是多少？提示：每天销售利润日销售量( 每件销售价格每件成本)(3)在该产品销售的过程中，共有多少天销售利润不低于 5 400 元，请直接写出结果解：(1)m 与
15、x 为一次函数关系，设 mkxb.将 x1，m198，x3，m194 代入，得解得k b 198，3k b 194， ) k 2，b 200. )所以 m 关于 x 的一次函数表达式为 m2x200.(2)设销售该产品每天利润为 y 元，y 关于 x 的函数表达式为：y 2x2 160x 4 000（1 x50）， 120x 12 000（50 x 90）， )当 1x50 时，y2x 2160x4 0002(x40) 2 7 200.20，当 x40 时，y 有最大值，最大值是 7 200；当 50x90 时，y120x12 000.1200，y 随 x 增大而减小，即当 x50 时，y 的
16、值最大，最大值是 6 000.综上所述，当 x40 时，y 的值最大，最大值是 7 200，即在 90 天内该产品第 40 天的销售利润最大，最大利润是 7 200 元(3)在该产品销售的过程中，共有 46 天销售利润不低于 5 400 元第 3 课时 实物抛物线01 基础题知识点 1 二次函数在桥梁、隧道等建筑问题中的应用1. (铜仁中考)河北省赵县的赵州桥是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数关系式为 y x2.当水面离桥拱顶的高度是 4 m 时，这时水面宽度 AB 为( C)125A20 m B 10 mC20 m D10 m2某隧道横截面由抛物线与矩形的三边组成，尺寸如
17、图所示以隧道横截面抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为 y 轴，建立直角坐标系，求得该抛物线对应的函数关系式为y x2133(崇左中考)崇左市政府大楼前广场有一喷水池，水从地面喷出 ，喷出水的路径是一条抛物线如果以水平地面为 x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线 yx 24x(单位：米 )的一部分，则水喷出的最大高度是 4 米4有一个抛物线形的立交拱桥，这个拱桥的最大高度为 16 m，跨度为 40 m，现把它的图形放在坐标系中(如图)若在离跨度中心 5 m 处的 M 点垂直竖立一铁柱支撑拱顶，则这根铁柱的长为 15m.5(潜江、天门、仙桃中考)如图是一个横截面为抛
18、物线形状的拱桥 ，当水面宽 4 米时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面 2 米当水面下降 1 米时，水面的宽度为 2 米6知识点 2 二次函数在体育中的应用6王大力同学在校运动会上投掷标枪，标枪运行的高度 h(m)与水平距离 x(m)的关系式为h x2 x2，则大力同学投掷标枪的成绩是 48m.148 23247(曲靖中考)一名男生推铅球，铅球行进高度 y(单位：m)与水平距离 x(单位：m)之间的关系式是 y x2 x ，铅球运行路线如图112 23 53(1)求铅球推出的水平距离；(2)通过计算说明铅球行进高度能否达到 4 m.解：(1)当 y0 时， x2 x 0，112 23 53解得 x
19、110，x 22(不合题意 ，舍去) 所以推铅球的水平距离是 10 米(2)y x2 x (x28x16) (x4) 23.112 23 53 112 43 53 112当 x4 时，y 取最大值 3.所以铅球行进高度不能达到 4 m，最高能达到 3 m.02 中档题8某种火箭被竖直向上发射时，它的高度 h(m)与时间 t(s)的关系可以用公式h5t 2150t10 表示经过 15s，火箭达到它的最高点9某大学的校门是一抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为 8 米，两侧距地面 4 米高处各有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为 6 米则校门的高为 9.1 米(精确到0.1 米，水泥建筑物
20、厚度忽略不计)10如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为 6 米，底部宽度 OM 为 12 米现以 O 点为原点，OM 所在直线为 x 轴建立直角坐标系(1)直接写出点 M 及抛物线顶点 P 的坐标；(2)求这条抛物线的解析式；(3)若要搭建一个矩形“支撑架”ADDCCB，使 C、D 点在抛物线上，A 、B 点在地面 OM 上，则这个“支撑架 ”总长的最大值是多少？解：(1)M(12， 0)，P(6，6)(2)设抛物线解析式为ya(x 6)26.抛物线 ya(x6) 26 经过点 (0，0)，0a(0 6) 26，即 a .16抛物线解析式为：y (x6) 26，16即 y x22x.1
21、6(3)设 A(m，0)，则 B(12m， 0)，C(12m， m22m)，D(m， m22m)16 16“支撑架”总长 ADDCCB( m22m)(122m)( m22m)16 16 m22m12 (m3) 215.13 13此二次函数的图象开口向下，当 m3 米时，ADDCCB 有最大值为 15 米03 综合题11(天水中考)如图，排球运动员站在点 O 处练习发球，将球从 O 点正上方 2 m 的 A 处发出，把球看成点，其运行的高度 y(m)与运行的水平距离 x(m)满足关系式 ya(x6) 2h.已知球网与 O 点的水平距离为 9 m，高度为 2.43 m，球场的边界距 O 点的水平距
22、离为 18 m.(1)当 h2.6 时，求 y 与 x 的关系式；(2)当 h2.6 时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由解：(1)点(0 ， 2)在 ya(x6) 2h 的图象上，2a(0 6) 2h，a ，2 h36函数可写成 y (x6) 2h.2 h36当 h2.6 时，y 与 x 的关系式是 y (x6) 22.6.160(2)球能越过球网，球会出界理由：当 x9 时，y (96) 22.62.452.43， 所以球能越过球网；160当 y0 时， (x6) 22.60，解得 x162 18，x 262 (舍去) ，故球160 39 39会出界另解：当 x18 时，y (186) 22.60.20，所以球会出界160
