1、高三数学 第 1 页（共 14 页）20132014 学年度苏锡常镇四市高三教学情况调查（一）数学试题 20143参考公式：柱体的体积公式：V 柱体 = ，其中 S 是柱体的底面积，h 是高直棱柱的侧面积公式：S 直棱柱侧 =ch，其中 c 是直棱柱的底面周长，h 是高一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分请把答案填写在答题卡相应位置上1已知集合 ， ，若 ，则 1,234A,47Bm1,4ABAB2若复数 z = （ 为虚数单位） ，则 | z | = i3已知双曲线 的离心率为 ，则实数 m 的值为 218xy34一个容量为 20 的样本数据分组后，分组与频数分别
2、如下：，2；10,，3； ，4； ，5； ，4； ，2则,0,0,60,70样本在 上的频率是 1,55执行如图所示的算法流程图，则最后输出的 等于 y6设函数 ，若 ，则 的值为 2()sinfxax(1)0f(1)f7 四棱锥 P ABCD 的底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，PA底面 ABCD且 PA = 4，则 PC 与底面 ABCD 所成角的正切值为 8从甲，乙，丙，丁 4 个人中随机选取两人，则甲乙两人中有且只有一个被选取的概率为 9已知 ， ，则 的值为 2tan()5b1tan3tan+4p注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1本试卷共 4 页包含
3、填空题（第 1 题第 14 题） 、解答题（第 15 题第 20 题） 本卷满分160 分，考试时间为 120 分钟考试结束后请将答题卡交回2答题前请您务必将自己的姓名、准考证号用 05 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置3请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答在其他位置作答一律无效作答必须用 05 毫米黑色墨水的签字笔请注意字体工整笔迹清楚4如需作图须用 2B 铅笔绘、写清楚线条、符号等须加黑、加粗5请保持答题卡卡面清洁不要折叠、破损一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔结束 开始 x 1 y 1 y 2y 1 输出 y N Y （第 5 题） x5 x x 1 Y 高
4、三数学 第 2 页（共 14 页）10设等差数列 的前 项和为 ，若 ， ， ，则正整数 = nanS13a12k1kSk11已知正数 满足 ，则 的最小值为 ,xy2y8xy12如图，在ABC 中，BO 为边 AC 上的中线， ，设 2BGOCD，若 ，则 的值为 AG15DABC()R13已知函数 ，若函数2(e,0)43xfx ()2gfxk恰有两个不同的零点，则实数 的取值范围为 ()gk14在平面直角坐标系 中，已知点 在圆xOy(3,0)P内，动直线 过点 且交圆 于 两点，若ABC 的面积的最22:48CxymABPC,AB大值为 ，则实数 的取值范围为 16二、解答题：本大题共
5、 6 小题，共计 90 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15 （本小题满分 14 分）设函数 2()6cos3sincofxx（1）求 的最小正周期和值域；（2）在锐角 中，角 的对边分别为 ，若 且 ， ，求ABC, ,abc()0fB2b4cos5A和 asin16 （本小题满分 14 分）如图，在三棱柱 中，侧面 为菱形， 1ABC1AB且 ， ， 是 的中点160D（1）求证：平面 平面 ；1（2）求证： 平面 BCA111DCBACBA（第 16 题）（第 12 题）ABCDOG高三数学 第 3 页（共 14 页）17 （本小题满分 14 分）一个
6、圆柱形圆木的底面半径为 1m，长为 10m，将此圆木沿轴所在的平面剖成两个部分现要把其中一个部分加工成直四棱柱木梁，长度保持不变，底面为等腰梯形 （如图所示，其中 O 为圆心，ABCD在半圆上） ，设 ，木梁的体积为 V（单位：m 3） ，表面积为 S（单位：m 2） ,CDBOCq（1）求 V 关于 的函数表达式；（2）求 的值，使体积 V 最大；q（3）问当木梁的体积 V 最大时，其表面积 S 是否也最大？请说明理由18 （本小题满分 16 分）如图，在平面直角坐标系 中，已知 ， ， 是椭圆 上不同的三点，xOyABC21(0)xyab， ， 在第三象限，线段 的中点在直线 上32(,)
7、A(,3)BCOA（1）求椭圆的标准方程；（2）求点 C 的坐标；（3）设动点 在椭圆上（异于点 ， ， ）PAB且直线 PB，PC 分别交直线 OA 于 ， 两MN点，证明 为定值并求出该定值OMND CBA O（第 17 题）NM PCB A y xO（第 18 题）高三数学 第 4 页（共 14 页）19 （本小题满分 16 分）设各项均为正数的数列 的前 n 项和为 Sn，已知 ，且 对一切na1a11()()nnnSaS都成立*nN（1）若 = 1，求数列 的通项公式； n（2）求 的值，使数列 是等差数列a20 （本小题满分 16 分）已知函数 ，其中 m，a 均为实数e()ln,
8、()xfxmaxg（1）求 的极值；g（2）设 ，若对任意的 ， 恒成立，求 的,0a12,3,4x12()x2121()()fxfgxa最小值；（3）设 ，若对任意给定的 ，在区间 上总存在 ，使得2a0(,ex(0,e12,()tt成立，求 的取值范围120()()ftftgxm高三数学 第 5 页（共 14 页）数学（附加题） 21 【选做题】在 A、B、C、D 四小题中只能选做两题，每小题 10 分，共计 20 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A选修 41：几何证明选讲如图， 为四边形 的外接圆，且 ， 是OABABDE延 CB长线上一点，直线 与圆
9、 相切E求证： DABB选修 42：矩阵与变换 已知矩阵 ， ，计算 1M176MC选修 44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 中，圆的参数方程为 ，以坐标原点 为极点， 轴xOy2cos,()inxya为 参 数 Ox的正半轴为极轴建立极坐标系求：（1）圆的直角坐标方程；（2）圆的极坐标方程D选修 45：不等式选讲已知函数 ，若函数 的图象恒在 轴上方，求实数 的取值范围2()1fxxa()fxxaOD ECBA（第 21-A 题）高三数学 第 6 页（共 14 页）【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程
10、或演算步骤22 （本小题满分 10 分）甲乙两个同学进行定点投篮游戏，已知他们每一次投篮投中的概率均为 ，且各次投篮的结果互不影23响甲同学决定投 5 次，乙同学决定投中 1 次就停止，否则就继续投下去，但投篮次数不超过 5 次（1）求甲同学至少有 4 次投中的概率；（2）求乙同学投篮次数 的分布列和数学期望x23 （本小题满分 10 分）设 ， 且 ，其中当 为偶数时， ；当 为奇数012(1)mnnnSCC *,Nmn2nm时， 2m（1）证明：当 ， 时， ；*nN2 11nnS（2）记 ，求 的值0 231072142030201SCCC S高三数学 第 7 页（共 14 页）2014
11、 年苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一）数学试题参考答案一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分1 2 3. 4 4. 563 62 7 8. 9 ,34757102381013 119 12 13. 14. 6231,2e3,7)(2,3二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15. 解：（1） =1+cos()3in2xfxcos3inx= 3 分23s)6p所以 的最小正周期为 ， 4 分()fx2Tp值域为 6 分32,3（2）由 ，得 ()0fB3cos()62B为锐角， ， ， 9 分726563B ， ， 1
12、0 分4cos5A(0,)p24sin1()A在ABC 中，由正弦定理得 12 分i35s2baB 14 分214sini()=in()cosin30CABAApp 16 （1）证明： 为菱形，且 ，1160B 为正三角形 2 分1是 的中点， DAB1ABD ， 是 的中点， 4 分CC， 平面 6 分11高三数学 第 8 页（共 14 页） 平面 ，平面 平面 8 分ABC1ADBC（2）证明：连结 ，设 ，连结 1E三棱柱的侧面 是平行四边形， 为 中点 10 分1A在 中，又 是 的中点， 12 分1ABCDABDBC 平面 ， 平面 ， 平面 14 分E111117解：（1）梯形 的
13、面积= ， 2 分2cosinABCDSqscosinq(0,)2pq体积 3 分()10ii),()V（2） 2cos102cos1()qqq令 ，得 ，或 （舍） ()0 ， 5 分,2p3当 时， ， 为增函数；(0,)q1cosq()0,()Vq当 时， ， 为减函数 7 分,32p2,当 时，体积 V 最大 8 分q（3）木梁的侧面积 = ， 10SABCD侧 （ ） 2(cosin1)2q(0,)2p= ， 10 分2ABCDS侧 2(sincosi)iqq,设 ， ，()coi1gq(0,2p2()sinigq当 ，即 时， 最大 12 分1sin23)gq又由（2）知 时， 取
14、得最大值，pqsincosi所以 时，木梁的表面积 S 最大 13 分3综上，当木梁的体积 V 最大时，其表面积 S 也最大 14 分高三数学 第 9 页（共 14 页）18解：（1）由已知，得 解得 2 分2918,ab27,.ab所以椭圆的标准方程为 3 分217xy（2）设点 ，则 中点为 (,)Cmn0,)BC3(,)2mn由已知，求得直线 的方程为 ，从而 OA20xy又点 在椭圆上， 27n由，解得 （舍） ， ，从而 5 分3n15m所以点 的坐标为 6 分C(5,)（3）设 ， ， 0(,)Pxy12,My2(,)Ny 三点共线， ，整理，得 8 分,B013x013()2yx
15、 三点共线， ，整理，得 10 分,CN205y205点 在椭圆上， ， 207x2xy从而 14 分000122203(56)3(67)39494182yyy 所以 15 分12OMN 为定值，定值为 16 分 519解：（1）若 = 1，则 ， 11()()nnSaS1aS又 ， ， 2 分0nna， 1nn ， 31312 21 nSaa 化简，得 4 分112nn当 时， Sa ，得 ， （ ） 6 分12n12n当 n = 1 时， ，n = 1 时上式也成立，a高三数学 第 10 页（共 14 页）数列a n是首项为 1，公比为 2 的等比数列， an = 2n1（ ） 8 分*N
16、（2）令 n = 1，得 令 n = 2，得 10 分2a3()要使数列 是等差数列，必须有 ，解得 = 0 11 分n 1a当 = 0 时， ，且 11()nSa2当 n2 时， ，1()nnSS整理，得 ， ， 13 分211nS1nn从而 ，3341212nnSS 化简，得 ，所以 15 分nSa综上所述， （ ） ，a*N所以 = 0 时，数列 是等差数列 16 分n20解：（1） ，令 ，得 x = 1 1 分e(1)xg()0g列表如下：g(1) = 1，y = 的极大值为 1，无极小值 3 分()gx（2）当 时， ， ,0malnfax(0,) 在 恒成立， 在 上为增函数 4
17、 分()xf3,4()f3,4设 ， 0 在 恒成立，1e()xhg12e()xh , 在 上为增函数 5 分x3,4设 ，则 等价于 ，212121()()fxfgx2121()()fxfhx即 21()()fxhfhx （ ，1） 1 （ 1， ）()g 0 g(x) 极大值 高三数学 第 11 页（共 14 页）设 ，则 u(x)在 为减函数1e()()lnxuxfhxa3,4 在（3，4）上恒成立 6 分21e0a 恒成立 1x设 ， = ，x 3，4，1e()xvx12e()()xv123e()4x ， 0， 为减函数1223e4()v 在3 ，4上的最大值为 v(3) = 3 8
18、分()vx 2ea3 ， 的最小值为 3 9 分2ea（3）由（1）知 在 上的值域为 10 分()gx0,e(0,1 ， ，()2lnfxm(,)当 时， 在 为减函数，不合题意 11 分0()lfx0,e当 时， ，由题意知 在 不单调，2)()fx()fx0,e所以 ，即 12 分20em此时 在 上递减，在 上递增，()fx,)2(,e)m ，即 ，解得 e1f (e1f 3e1由，得 13 分3m ， 成立 14 分1(0,e2()10ff下证存在 ，使得 1,t()ft取 ，先证 ，即证 emt2me0m设 ，则 在 时恒成立()2xw()1xw3,) 在 时为增函数 ，成立3,e
19、1e)01(w再证 1()mf ， 时，命题成立 e31e 3e1m高三数学 第 12 页（共 14 页）综上所述， 的取值范围为 16 分m3,)e121、 【选做题】在 A、B、C、D 四小题中只能选做两题，每小题 10 分，共计 20 分A选修 41：几何证明选讲证明：连结 是圆 的切线， 2 分EOEABC， 4 分BABD圆 是四边形 的外接圆， 6 分OCD 8 分E ， ， 10 分CDABABABEB选修 42：矩阵与变换 解：矩阵 M 的特征多项式为 21() 32f 令 12()03f， 解 得 ， ，对应的一个特征向量分别为 ， 5 分121令 ，得 12mn4,n10
20、分666666121212913(43)()3()43()MMC选修 44：坐标系与参数方程解：（1）圆的直角坐标方程为 5 分2()4xy（2）把 代入上述方程，得圆的极坐标方程为 10 分cos,inxy 4cosD选修 45：不等式选讲解： 的最小值为 ， 5 分()fx23a高三数学 第 13 页（共 14 页）由题设，得 ，解得 10 分23a(1,3)a【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分 22解：（1）设甲同学在 5 次投篮中，有 次投中， “至少有 4 次投中”的概率为 ，则x P2 分(4)()Px= = 4 分150522(33C1243（2
21、）由题意 ,4x， ， ， ，(1)3P12()3912(3)7Px 312(4)8Px4(5)81x的分布表为 x1 2 3 4 5P97818 分的数学期望 10 分x221213458Ex23解：（1）当 为奇数时， 为偶数， 为偶数，nnn ， ，10121()nnnSCC 1012()nnSCC，101212()nnn1110122211()()()(nnnnnnSCCCC= 10122 1()nn nS当 为奇数时， 成立 5 分n11nnS同理可证，当 为偶数时， 也成立 6 分1nS（2）由 ，得01231072142030201SCCC 高三数学 第 14 页（共 14 页）01231072142030120144SCCC= 310710700312 201()()()()C= 1207012624 201 = 9 分012S又由 ，得 ，1nnS6nS所以 ， 10 分20142421204
