1、构造相似三角形的基本方法1. 由平行得相似，如图和； 图 图 图 图 2. 由同角或等角得相似，如图；3. 由垂直得相似，如图。方法归纳：在较为复杂的图形中，我们一般通过特殊图形（如等腰三角形、平行四边形、圆等）的边或角构造相似三角形，如需添加辅助线，应考虑添加辅助线后能构成相等的角或比例线段，如：过中点（或等分点）作平行线，过某点作平行或垂直等。总结：1. 学会构造相似三角形的方法和技巧，能熟练地将边和角划分到相关的相似三角形中。2. 能够综合运用相似三角形的判定和性质解决较为复杂的问题。例题 如图所示，四边形 ABCD 和 BEFG 均为正方形，则 AGDFCE（ ）A. 111 B. 1
2、21 C. 1 D. 1 12 3 2ABCDEFG解 析 ： 不难证明ABGCBE，所以 AGCE 。那么，本题只要求 AGDF 即可。要求 AG 和DF 的比需要构造一个含有这两条线段的相似三角形，并且这对相似三角形的相似比要能求出来。在正方形中，边长和对角线的比是可求的，所以本题可试着连接 BF 和 BD，通过三角形相似来求解。答 案 ： 连接 BF、BD。因为ABGABEEBG ABE90，CBEABE ABC ABE90。所以ABGCBE ，又 ABBC ，BGBE，所以ABGCBE，所以 AGCE 。因为DBF ABEABD EBFABE4545 ABE90，所以DBF ABG。又
3、因为所有正方形都相似，所以这两个正方形的对角线的比BDBF、边长的比 ABBG，都等于这两个正方形的相似比，即 BDBFABBG，所以ABBDBGBF ，所以ABGDBF。所以 AGDFBGBF1 。所以 AGDFCE1 1。2 2故选 D。 ABCDEFG点拨：本题难度大，特别是确定 AG 和 DF 的关系是一大难点。解答这类难题，我们束手无策时，一定要展开联想，寻找问题的突破口。如：线段的比往往要通过相似形来求；四边形常常要连接对角线；两个正方形变换形成的三角形中可能有全等三角形；正方形边长和对角线的比是1 。2利用相似三角形求线段的比例关系时，有些题目根本无法将所求线段构造成相似三角形的
4、对应线段，此类问题通常用如下的方法过渡：再构造一个与之相似的三角形，利用相似三角形的传递性解题；把不能划分到相关相似三角形中的线段进行等量代换等。例题 如图，在正方形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，点 E 是 BC 上的一个动点，连接 DE，交 AC 于点 F。（1）如图 ，当 时，求 的值；CEEB 13 S CEFS CDF（2）如图 ，当 DE 平分CDB 时，求证：AF OA；2（3）如图 ，当点 E 是 BC 的中点时，过点 F 作 FGBC 于点 G，求证：CG BG。12解 析 ： （1）利用相似三角形的性质求得 EF 与 DF 的比值，因为CEF 和CDF
5、 同高，所以其面积的比就是 EF 与 DF 的比值；（2）利用三角形的外角和定理证得ADFAFD ，可以证得ADAF，在直角 AOD 中，利用勾股定理可求得 AD OA，从而得出 AF OA；（3）连接2 2OE，易证 OE 是BCD 的中位线，然后根据 FGC 是等腰直角三角形，易证EGF ECD，利用相似三角形的对应边的比相等即可得证。来源:学优高考网答 案 ： （1）解： ， 。四边形 ABCD 是正方形，ADBC ，ADBC ，CEEB 13 CEBC 14CEFADF， ， ， 。EFDF CEAD EFDF CEBC 14 S CEFS CDF EFDF 14（2）证明：DE 平分
6、CDB， ODF CDF，又AC、 BD 是正方形 ABCD 的对角线。ADOFCD45，AOD90，OAOD，而ADFADOODF，AFDFCD CDF， ADFAFD， ADAF，在直角AOD 中，根据勾股定理得：AD OA，AF OA。OA2 OD2 2 2（3）证明：连接 OE，点 O 是正方形 ABCD 的对角线 AC、BD 的交点。点 O 是 BD 的中点。又 点 E 是 BC 的中点，OE 是BCD 的中位线，OE CD，OE CD， OFE12CFD。 ， 。又 FGBC，CD BC，FGCD，EGFECD， 。在EFDF OECD 12 EFED 13 GFCD EFED 1
7、3直角 FGC 中， GCF45， CGGF，又CDBC， ， 。 CG BG。GFCD CGBC 13 CGBG 12 12点拨：本题是勾股定理、三角形的中位线定理，以及相似三角形的判定与性质的综合应用，理解正方形的性质是关键。（答题时间：45 分钟）一、选择题*1. 如图所示，已知 ADEFBC ，若 ADEFBC 124，则梯形 AEFD 与梯形 EBCF 的面积之比为（ ）A. 12 B. 13 C. 14 D. 23来源:学优高考网 gkstkABCDEF*2. 如图，正方形 ABCD 的边长为 1，M、N 为 BD 所在直线上的两点，且AM ，MAN135，则四边形 AMCN 的面
8、积为（ ）5A. B. 2 C. D. 332 52 ABCDMN*3. 如图所示，已知在平行四边形 ABCD 中，M、N 为 AB 的三等分点，DM、DN 交 AC 于P、Q 两点，则 APPQQC（ ）A. 113 B. 325 C. 5312 D. 5410ABCDMNPQ*4. 如图所示，四边形 ABCD 是一个矩形，AD12、AB5，P 是 AD 上任意一点，PE BD于点 E， PFAC 于点 F。则 PEPF（ ）A. B. C. 5 D. 4813 6013 7013ABCDPEF二、填空题5. 如图，在等边ABC 中，D 为 BC 边上一点，E 为 AC 边上一点，且ADE6
9、0，BD3， CE2，则ABC 的边长为_。 ABCDE*6. 如图，在ABC 中，ABAC13，BC10，D 是 AB 的中点，过点 D 作 DEAC 于点E，则 DE 的长是 _。 ABCDE*7. 如图， ABC 中，AB9，AC6，点 E 在 AB 上且 AE3，点 F 在 AC 上，连接 EF，若AEF 与ABC 相似，则 AF_。*8. 如图所示，点 C 在线段 BG 上且四边形 ABCD 是正方形，AG 与 BD、CD 分别相交于点E、 F，如果 AE5 且 EF3，那么 FG_。ABCDEFG53三、解答题9. 如图所示，在ABC 中， ABAC ，D 是ABC 的外接圆的 上
10、任一点，连接 AD、BD。求 BC证： 。 来源:gkstk.ComBEBD AEAB ABCDE*10. 如图所示，ABC 中，AD 平分BAC，AD 的垂直平分线 FE 交 BC 的延长线于点 E。求证：DE 2BECE。EFDAB C*11. 如图所示，在ABC 中，BAC90，ADBC，E 是 AC 的中点，ED 交 AB 的延长线于点 F。求证： 。ABAC DFAF ABCDEF*12. 如图所示，F 为正方形 ABCD 的边 AB 的中点，E 为 AD 上的一点，AE AD，FG CE14于点 G。求证：FG 2EGCG。1. C 解析：延长 BA、CD 交于点 O，则OADOE
11、FOBC，设 SOAD s，则 SOEF 4s，S OBC 16s，所以 S 梯形 AEFDS 梯形 EBCF3S12S14。2. C 解析：过点 A 作 AEBD 于点 E，则点 E 是 BD 中点。在 RtAEM 中，AM ，AE ， ME ，BM 。MAN135 ，MABNAD45，又522 322 2ANDNADADB45 ，AMBMAB ABD 45，ANDMAB， NAD AMB， ANDMAB， ，即DNAB ADBM ，DN 。MNBMBDDN ，又AMN 和CMN 面积相等，DN1 12 22 2 2 22 525四边形 AMCN 的面积是 2 MNAE2 。12 12 52
12、2 22 52ABCDMNE3. C 解析：DCBA，APMCPD， ，AP AC。同理APPC AMDC 13 14 ， AQ AC。PQ AC AC AC，又AQQC ANDC 23 25 25 14 320QC AC，APPQ QC 5 312。35 14320354. B 解析：根据题意可得 ACBD13 且PDEBDA、PAFCAD，所以 ， ，即 ， ，所以 PD PE， PA PF，所以 PDPA （PEPF ）PDBD PEBA PACA PFCD PD13 PE5 PA13 PF5 135 135 135AD，即 （PEPF）12 ，所以 PEPF 。135 60135. 9
13、 解析：ABC 是等边三角形，BADCAD60。CADADECDEC180，C 60，ADE60，CADCDE60。BADCDE，又BC60，BAD CDE， ，设ABC 的边长为 x，ABBD CDCE则 ，解得 x9。x3 x 326. 解析：过点 A 作 AGBC 于点 G，过点 B 作 BFAC 于点 F。则AGC6013BFC， 。ABAC ，AGBC ，BC10，BG5，AG 12。 ，ACBC AGBF AB2 BG2 1310 12BFBF 。 DEAC ，BF AC，DE BF，又点 D 是 AB 的中点，DE BF 。12013 12 6013ABCEFG7. 2 或 解析
14、：当 AEF ABC 时，则 ，即 ，AF2；当AEFACB 时，92 AEAF ABAC 3AF 96则 ，AF 。AF 2 或 。3AF 69 92 928. 解析：设正方形 ABCD 的边长为 a，由ADEGBE 得 ；由163 aa CG 53 FGADF GCF 得 ，即 。由可得 ，解得 FG 。aCG 8FG aa CG 88 FG 53 FG 88 FG 1639. 证明：AB AC ，ABEC，DC，ABED ，又 BADBAE，ABEADB， 。BEBD AEAB10. 证明：连接 AE，EF 垂直平分AD，AE DE ，FAEFDE。BFDE BAD，CAEFAECAD，
15、又BAD CAD，B CAE。又AEBCEA，ABECAE， ， AEBE CEAE DEBE，即 DE2BECE。CEDEEFDAB C11. 证明：由BAC90，ADBC 易得ABDCBA， 。ABD DAF90，ABD C90，DAFC。又点 E 是ABAC BDADRtADC 斜边 AC 的中点， ED EC，CCDE ，又CDEBDF，BDF DAF 。又F F， ADFDFB， ， 。BDAD DFAF ABAC DFAF12. 证明：连接 EF、CF。由 AE AD，AFBF AB，四边形 ABCD 为正方形，得14 12 。AB90，EFAFCB，12。2390，AEAF BFBC 121390，EFC90。FGCE ，易证 EFGFCG， ，FG 2EGCG。FGEG CGFG来源:学优高考网来源:学优高考网
