1、1第一部分，如何做好高、初中数学的衔接 第一讲 如何学好高中数学 初中生经过中考的奋力拼搏，刚跨入高中，都有十足的信心、旺盛的求知欲，都有把高中课程学好的愿望。但经过一段时间，他们普遍感觉高中数学并非想象中那么简单易学，而是太枯燥、乏味、抽象、晦涩，有些章节如听天书。在做习题、课外练习时，又是磕磕碰碰、跌跌撞撞，常常感到茫然一片，不知从何下手。相当部分学生进入数学学习的“困难期” ，数学成绩出现严重的滑坡现象。渐渐地他们认为数学神秘莫测，从而产生畏惧感，动摇了学好数学的信心，甚至失去了学习数学的兴趣。造成这种现象的原因是多方面的，但最主要的根源还在于初、高中数学教学上的衔接问题。下面就对造成这
2、种现象的一些原因加以分析、总结。希望同学们认真吸取前人的经验教训，搞好自己的数学学习。一 高中数学与初中数学特点的变化1 数学语言在抽象程度上突变。不少学生反映，集合、映射等概念难以理解，觉得离生活很远，似乎很“玄”。确实，初、高中的数学语言有着显著的区别。初中的数学主要是以形象、通俗的语言方式进行表达。而高一数学一下子就触及抽象的集合语言、逻辑运算语言以及以后要学习到的函数语言、空间立体几何等。2 思维方法向理性层次跃迁。高中数学思维方法与初中阶段大不相同。初中阶段，很多老师为学生将各种题建立了统一的思维模式，如解分式方程分几步；因式分解先看什么，再看什么。即使是思维非常灵活的平面几何问题，
3、也对线段相等、角相等,分别确定了各自的思维套路。因此，初中学习中习惯于这种机械的、便于操作的定势方式。高中数学在思维形式上产生了很大的变化，数学语言的抽象化对思维能力提出了高要求。当然，能力的发展是渐进的，不是一朝一夕的。这种能力要求的突变使很多高一新生感到不适应，故而导致成绩下降。高一新生一定要能从经验型抽象思维向理论型抽象思维过渡，最后还需初步形成辩证型思维。3 知识内容的整体数量剧增。高中数学在知识内容的“量”上急剧增加了。例如：高一代数第一章就有基本概念52个，数学符号28个；立体几何第一章有基本概念37个，基本公理、定理和推论21个；两者合在一起仅基本概念就达89个之多，并集中在高一
4、第一学期学习，形成了概念密集的学习阶段。加之高中一年级第一学期只有七十多课时，辅助练习、消化的课时相应地减少了。使得数学课时吃紧，因而教学进度一般较快，从而增加了教与学的难度。这样，不可避免地造成学生不适应高中数学学习，而影响成绩的提高。这就要求：第一，要做好课后的复习工作，记牢大量的知识。第二，要理解掌握好新旧知识的内在联系，使新知识顺利地同化于原有知识结构之中。第三，因知识教学多以零星积累的方式进行的，当知识信息量过大时，其记忆效果不会很好，因此要学会对知识结构进行梳理，形成板块结构，实行“整体集装”。如表格化，使知识结构一目了然；类化，由一例到一类，由一类到多类，由多类到统一；使几类问题
5、同构于同一知识方法。第四，要多做总结、归类，建立主体的知识结构网络。二 不良的学习状态1 学习习惯因依赖心理而滞后。初中生在学习上的依赖心理是很明显的。第一，为提高分数，初中数学教师将各种题型都一一罗列，学生依赖于教师为其提供套用的“模子”；第二，家长望子成龙心切，2回家后辅导也是常事。升入高中后，教师的教学方法变了，套用的“模子”没有了，家长辅导的能力也跟不上了。许多同学进入高中后，还象初中那样，有很强的依赖心理，跟随老师惯性运转，没有掌握学习的主动权。表现在不定计划，坐等上课，课前没有预习，对老师要上课的内容不了解，上课忙于记笔记，没听到“门道”。2 思想松懈。有些同学把初中的那一套思想移
6、植到高中来。他们认为自已在初一、二时并没有用功学习，只是在初三临考时才发奋了一、二个月就轻而易举地考上了高中，有的还是重点中学里的重点班，因而认为读高中也不过如此。高一、高二根本就用不着那么用功，只要等到高三临考时再发奋一、二个月，也一样会考上一所理想的大学的。存有这种思想的同学是大错特错的。有多少同学就是因为高一、二不努力学习，临近高考了，发现自己缺漏了很多知识再弥补后悔晚矣。3 学不得法。老师上课一般都要讲清知识的来龙去脉，剖析概念的内涵，分析重点难点，突出思想方法。而一部分同学上课没能专心听课，对要点没听到或听不全，笔记记了一大本，问题也有一大堆；课后又不能及时巩固、总结、寻找知识间的联
7、系，只是赶做作业，乱套题型，对概念、法则、公式、定理一知半解，机械模仿，死记硬背。还有些同学晚上加班加点，白天无精打采，或是上课根本不听，自己另搞一套，结果是事倍功半，收效甚微。4 不重视基础。一些“自我感觉良好”的同学，常轻视基础知识、基本技能和基本方法的学习与训练，经常是知道怎么做就算了，而不去认真演算书写，但对难题很感兴趣，以显示自己的“水平”，好高骛远，重“量”轻“质”，陷入题海。到正规作业或考试中不是演算出错就是中途“卡壳”。5 进一步学习条件不具备。高中数学与初中数学相比，知识的深度、广度，能力要求都是一次飞跃。这就要求必须掌握基础知识与技能为进一步学习作好准备。高中数学很多地方难
8、度大、方法新、分析能力要求高。如二次函数值的求法、实根分布与参变量的讨论、，三角公式的变形与灵活运用、空间概念的形成、排列组合应用题及实际应用问题等。有的内容还是初中教材都不讲的脱节内容，如不采取补救措施，查缺补漏，就必然会跟不上高中学习的要求。三 科学地进行学习高中学生仅仅想学是不够的，还必须“会学”，要讲究科学的学习方法，提高学习效率，才能变被动学习为主动学习，才能提高学习成绩。1 培养良好的学习习惯。反复使用的方法将变成人们的习惯。什么是良好的学习习惯？良好的学习习惯包括制定计划、课前自学、专心上课、及时复习、独立作业、解决疑难、系统小结和课外学习几个方面。(1)制定计划使学习目的明确，
9、时间安排合理，不慌不忙，稳扎稳打，它是推动主动学习和克服困难的内在动力。但计划一定要切实可行，既有长远打算，又有短期安排，执行过程中严格要求自己，磨炼学习意志。(2)课前自学是上好新课、取得较好学习效果的基础。课前自学不仅能培养自学能力，而且能提高学习新课的兴趣，掌握学习的主动权。自学不能走过场，要讲究质量，力争在课前把教材弄懂，上课着重听老师讲思路，把握重点，突破难点，尽可能把问题解决在课堂上。(3)上课是理解和掌握基础知识、基本技能和基本方法的关键环节。“学然后知不足”，课前自学过的同学上课更能专心听课，他们知道什么地方该详，什么地方可以一带而过，该记的地方才记下来，而不是全抄全录，顾此失
10、彼。3(4)及时复习是高效率学习的重要一环。通过反复阅读教材，多方面查阅有关资料，强化对基本概念知识体系的理解与记忆，将所学的新知识与有关旧知识联系起来，进行分析比效，一边复习一边将复习成果整理在笔记本上，使对所学的新知识由“懂”到“会”。(5)独立作业是通过自己的独立思考，灵活地分析问题、解决问题，进一步加深对所学新知识的理解和对新技能的掌握过程。这一过程也是对意志毅力的考验，通过运用使对所学知识由“会”到“熟”。(6)解决疑难是指对独立完成作业过程中暴露出来对知识理解的错误，或由于思维受阻遗漏解答，通过点拨使思路畅通，补遗解答的过程。解决疑难一定要有锲而不舍的精神。做错的作业再做一遍。对错
11、误的地方要反复思考。实在解决不了的要请教老师和同学，并要经常把易错的知识拿来复习强化，作适当的重复性练习，把求老师问同学获得的东西消化变成自己的知识，使所学到的知识由“熟”到“活”。(7)系统小结是通过积极思考，达到全面系统深刻地掌握知识和发展认识能力的重要环节。小结要在系统复习的基础上以教材为依据，参照笔记与资料，通过分析、综合、类比、概括，揭示知识间的内在联系，以达到对所学知识融会贯通的目的。经常进行多层次小结，能对所学知识由“活”到“悟”。(8)课外学习包括阅读课外书籍与报刊，参加学科竞赛与讲座，走访高年级同学或老师交流学习心得等。课外学习是课内学习的补充和继续，它不仅能丰富同学们的文化
12、科学知识，加深和巩固课内所学的知识，而且能够满足和发展兴趣爱好，培养独立学习和工作的能力，激发求知欲与学习热情。2 循序渐进，防止急躁。由于同学们年龄较小，阅历有限，为数不少的同学容易急躁。有的同学贪多求快，囫囵吞枣；有的同学想靠几天“冲刺”一蹴而就；有的取得一点成绩便洋洋自得，遇到挫折又一蹶不振。同学们要知道，学习是一个长期地巩固旧知、发现新知的积累过程，决非一朝一夕可以完成的。为什么高中要学三年而不是三天！许多优秀的同学能取得好成绩，其中一个重要原因是他们的基本功扎实，他们的阅读、书写、运算技能达到了自动化或半自动化的熟练程度。3 注意研究学科特点，寻找最佳学习方法。数学学科担负着培养运算
13、能力、逻辑思维能力、空间想象能力以及运用所学知识分析问题、解决问题的能力的重任。它的特点是具有高度的抽象性、逻辑性和广泛的适用性，对能力要求较高。学习数学一定要讲究“活”，只看书不做题不行，只埋头做题不总结积累也不行。对课本知识既要能钻进去，又要能跳出来，结合自身特点，寻找最佳学习方法。华罗庚先生倡导的“由薄到厚”和“由厚到薄”的学习过程就是这个道理。方法因人而异，但学习的四个环节（预习、上课、作业、复习）和一个步骤（归纳总结）是少不了的。 第二部分，现有初高中数学知识存在以下“脱节”1立方和与差的公式初中已删去不讲，而高中的运算还在用。42因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解，对
14、系数不为“1”的涉及不多，而且对三次或高次多项式因式分解几乎不作要求，但高中教材许多化简求值都要用到,如解方程、不等式等。3二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用的解题技巧。4初中教材对二次函数要求较低，学生处于了解水平，但二次函数却是高中贯穿始终的重要内容。配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小值，研究闭区间上函数最值等等是高中数学必须掌握的基本题型与常用方法。5二次函数、二次不等式与二次方程的联系，根与系数的关系（韦达定理）在初中不作要求，此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型，而在高中二次函数、二次不等式与二次方
15、程相互转化被视为重要内容，高中教材却未安排专门的讲授。6图像的对称、平移变换，初中只作简单介绍，而在高中讲授函数后，对其图像的上、下；左、右平移，两个函数关于原点，轴、直线的对称问题必须掌握。7含有参数的函数、方程、不等式，初中不作要求，只作定量研究,而高中这部分内容视为重难点。方程、不等式、函数的综合考查常成为高考综合题。8几何部分很多概念（如重心、垂心等）和定理（如平行线分线段比例定理，射影定理，相交弦定理等）初中生大都没有学习，而高中都要涉及。另外，像配方法、换元法、待定系数法初中教学大大弱化，不利于高中知识的讲授。第一节乘法公式、因式分解重点：和（差）的立方公式，立方和（差）公式及应用
16、，十字相乘法，分组分解法，试根法难点：公式的灵活运用，因式分解教学过程：一、乘法公式引入：回顾初中常用的乘法公式：平方差公式，完全平方公式， （从项的角度变化）那三数和的平方公式呢？ acbcbacb2)(22（从指数的角度变化）看看和与差的立方公式是什么？如 ，?)(3b能用学过的公式推导吗？（平方立方）322323)()( abbaba 那 呢，同理可推。那能否不重复推导，?)(35直接从式看出结果？将 中的 b 换成b 即可。 （ ）这种代换的思想很常用，但要清3)(aRb楚什么时候才可以代换符号的记忆，和差 从代换的角度看3223)(bab问：能推导立方和、立方差公式吗？即（ ） （
17、） 3ba由可知， )()3()( 222233aba 立方差呢？中的 b 代换成b 得出： (符号的记忆，系数的区别例 1：化简 )1)()(1(22xxx法 1：平方差立方差法 2：立方和立方差（2）已知 求证：,02x xx68)()(33注意观察结构特征，及整体的把握二、因式分解：将一个多项式化成几个整式的积的形式，与乘法运算是互逆变形。初中学过的方法有：提取公因式法，公式法（平方差、完全平方、立方和、立方差等）（1）十字相乘法试分解因式： )2(1232xx要将二次三项式 x2 + px + q 因式分解，就需要找到两个数 a、b，使它们的积等于常数项 q，和等于一次项系数 p, 满
18、足这两个条件便可以进行如下因式分解，即x2 + px + q = x2 +(a + b)x + ab = (x + a)(x + b).用十字交叉线表示: 1 a1 ba + b （交叉相乘后相加）若二次项的系数不为 1 呢？ ，如：)0(2acx372x如何处理二次项的系数？类似分解：1 32 1-6 + -1 = -7)12(72xx整理：对于二次三项式 ax2+bx+c（a0） ，如果二次项系数 a 可以分解成两个因数之积，即 a=a1a2，常数项 c 可以分解成两个因数之积，即 c=c1c2，把 a1，a 2，c 1，c 2排列如下：a1 +c1a2 +c2 6a1c2 + a2c1
19、= a1c2 + a2c1按斜线交叉相乘，再相加，得到 a1c2+a2c1，若它正好等于二次三项式 ax2+bx+c 的一次项系数 b，即a1c2+a2c1=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式 a1x+c1与 a2x+c2之积，即 ax2+bx+c=（a 1x+c1） （a 2x+c2） 。 按行写分解后的因式十字相乘法关键：（1）看两端，凑中间；（2）分解后的因式如何写（3）二次项系数为负时，如何简化例 2：因式分解：（1） （2） （3）5762x2286yx2)32)(yx（2）分组分解法分解 ，观察；无公因式，四项式，则不能用提公因式法，公式法及十字相乘法ynmx两种方法适当分组后
20、提出公因式，各组间又出现新的公因式，叫分组分解法如何适当分组是关键（尝试，结构） ，分组的原则，目的是什么？分组后可以提取公因式，或；利用公式练习：因式分解（1） （2）xx3923 24)1(yx（3） （试根法，竖式相除）4x归纳：如何选择适当的方法作业：将下列各式分解因式（1） ； （2） ； （3） ；（4）652x65x652x652x（5） ； （6） ；（7）3a23yy baba2（8） ；（9）46 ax)1(2第一节 二次函数及其最值重点：二次函数的三种表示形式，韦达定理，给定区间的最值问题难点：给定区间的最值问题教学过程：一、韦达定理（二次方程根与系数之间的关系）二次方程
21、 什么时候有根（判别式 0 时） ，此时由求根公式得，)0(2acbxa ，求出了具体的根，还反映了根与系数的关系。那可以不解方程，直接从方程中看x4出两根和（积）与系数的关系吗， abcbacbx 242217acbacbx 242421反过来，若 满足 ，那么 一定是 的两根，即1,xx11, 21,x)0(2acbxa韦达定理的逆定理也成立。作用：（1）已知方程，得出根与系数的关系（2）已知两数，构造出以两数为根的一元二次方程（系数为 1）： )(21212xx例 1： 是方程 的两根，不解方程，求下列代数式的值；2,x0532x |21 321x二、二次函数的三种形式(1) 一般式：
22、)0(2acbxy(2) 顶点式： ，其中顶点坐标为（h，k）)(h练：求下列函数的最值。 （1） （2） （3）542xy 8632xy 432xy除了上述两种表示方法外，我们还可以借助图像与 x 轴的交点，得出另一种表示方法；函数 的图像与 x 轴公共点的横坐标就是方程 的根，那它根的情)0(2acbxy 02cbxa况由谁决定 ， （判别式） ，当方程有两根 时，由韦达定理可知 ，21, a2121,所以 ，这是二次函)()()( 2122 xxxacxbcxy 数的交点式。（3）交点式： )0()(21ay根据题目所给条件，适当选择三种形式。例 2：分别求下列一元二次函数的解析式。 （
23、P4344）（1） 已知二次函数的图象过点（3，0） ， （1，0） ，且顶点到 x 轴的距离等于 2；（2） 已知二次函数的对称轴为 x1，最大值为 15，图象与 x 轴有两个交点，其横坐标的立方和为17；三、二次函数在给定范围内的最值问题例 3、已知函数 ，当自变量 x 在下列取值范围内时，分别求函数的最大值或最小值，并32xy求当函数取最大（小）值时所对应的自变量 x 的值:8(1) ; (2) ; (3) ; (4)2xx12x30x动范围问题（选讲）例 4、已知 为大于1 的常数） ，求函数 的最大值 M 和最小值 m。 （P50）a( 2y数形结合，根据对称轴与取值范围内图象的相对
24、位置进行分类讨论，把握好为什么要分类讨论、如何进行分类讨论。 （要讲到位）作业：1、 已知某二次函数的图象的顶点为 A（2，18） ，它与 x 轴两个交点之间的距离为 6，求此二次函数的解析式。2、 如图，用长为 18m 的篱笆（虚线部分） ，两面靠墙围成矩形的苗圃。（1）设矩形的一边为 x（m） ，面积为 y（ ） ，求 y 关于 x 的函数关系式，2并写出自变量 x 的取值范围；（2）当 x 为何值时，所围苗圃的面积最大，最大面积是多少第二节 比例关系，性质及其应用教学过程：4 个非零数 a，b，c，d 成比例，即 ，也可写成 ，其中 a，d 叫做比例外项，b，c 叫做dcba:cba比例
25、内项，d 叫做 a，b，c 的第四比例项。特别的当比例内项相等时，即 ， （或 ） ，此时 b 叫做 ac 的比例中项。:一、比例的性质1、 基本性质 ，比例的两个外项的乘积等于两个内项的乘积。)0(bdcadcb特别地， 2a2、 更比性质当 abcd 时，0 cadbabcdcb比例式有多种变形形式：内项和外项可以相应的交换位置（注意是对应位置，即交叉相乘相等出现的式子是一样的）3、合比性质（证明：两边1）dcbadc4、等比性质 bandbmcannm )0(9（证明：用中间量 k 过渡，这种设 k 的方法在解决比例问题中很常用）例 1：(1)已知 ，求证：83ba81ba（2）已知 ，
26、求证： )0(dcdc（3）已知 求 的值。 （比例性质的灵活使用）,4,3fbfebaea二、比例性质的应用（一）平行线等分线段定理1、由特殊：“三条平行线被两条直线所截”情况入手，观察（平行 非平行） 、猜想：不管 与 是否平行，只要 就有 。l ,321A321B l1l2l3llA3B2A2B1A1B3l1l2l3l lB3B2B1A3A2A1C2C3C1证明：（1）先证 时， （特殊位置） （2）再证 不平行 时， （引导如何思考：将一般位置化归为特/ ll殊位置处理：辅助线作法两种（上图）给学生指出：在研究问题中，将困难的、不熟悉的问题转化为容易的、熟悉的问题，这是解决数学问题不可
27、缺少的思想方法化归思想从运动的角度看，将 平移，使得 与 相交于 ，得出ll11A推论 1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边；例 2：已知三角形 ABC 中，AD 是角平行线，求证： CBD析：证比例关系，从相似，平行入手，分析思路三角形内角平分线性质定理： 三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。练习：已知在 ABC 中，AD 是角平分线，AB5cm，AC4cm，BC7cm，则 BD=_cm.作业 ：1、根据下列各式，求 的值。 （1） （2）ba:83ba75ab2、已知 则 _。,2fedcbafdec33、已知在ABC 中，AB 6,BC8,A
28、C7，MN/AC，分别交 AB，BC 于点 M，N，且 AMBN，求MN 的长。10DCA B4、已知 AD 是ABC 的角平分线，BH AD，垂足为 H，CK AD，垂足为 K，求证：DKHACB第四课时一、Rt 的射影定理及其应用Rt ABC 中，CD 是斜边 AB 上的高，图中线段 AC、BC、AD、BD、CD 之间有些怎样的关系呢？（比如等量关系、大小关系、比例关系等）让学生探究得出以下结论（1） ；（2）BDAC2 ABC2（3） ；（4） 其中（1） （2） （3）结论就是射影定理。D引入射影的概念（引垂直）（1）点在直线上的正射影 （2）线段在直线上的正射影 射影定理：从射影的角
29、度把刚才的结论叙述一遍。射影定理的应用：求 Rt 的边长、面积等有关量，研究相似、比例式的问题练习： 圆 O 上一点 C 在直径 AB 上的射影为 D，AD2,DB8，求 CD、AC 和 BC 的长。 学生运算（此题是射影定理的典型应用，尤其是与圆结合） 例 1: ABC 中，顶点 C 在 AB 边上的射影为 D，且 ，求证： ABC 是直角三角形。 BAC2表示射影定理的逆定理也成立二、常见的轨迹（1） 到两定点距离相等的点的轨迹是_（2） 到一个定点的距离等于定长的点的轨迹是_（3） 与一条直线的距离等于定长的点的轨迹是_（4） 与两条平行直线距离相等的点的轨迹是_（5） 与相交两直线距离
30、相等的点的轨迹是_（6） 与已知线段两端点所连线段相互垂直的点的轨迹是_三、三角形的“心” （结合图形）（1） 内心内切圆的圆心圆心到三边的距离相等三条内角平分线的交点（2） 外心外接圆的圆心圆心到三个顶点的距离相等三条垂直平分线的交点点和线段的正射影简称为射影。11可得Rt的外心就是斜边的中点，锐角三角形的外心在三角形内，而钝角三角形的外心在三角形外（3） 重心中线的交点重心到顶点与到对边中点的距离之比为 2:1（利用中点作平行线构造平行四边形可证明）（4） 垂心高的交点Rt的垂心就是直角顶点，锐角三角形的垂心在三角形内，而钝角三角形的垂心在三角形外心要求：清楚上述“四心”对应的性质，从形的
31、角度理解和记忆，并能运用性质解题问：等腰三角形的四心有何特殊？（三线合一，则四心必在同一直线上）那等边三角形呢？（四心合一，称为中心）例 2：（1）已知直角三角形的斜边长为 c，两直角边长分别为 a，b，则内切圆的半径为 r_（2）在ABC 中，AB AC 5,BC6，求：ABC 内切圆的半径；外接圆的半径。作业 ：1、在ABC 中， ACB90，CD AB 于点 D，M 是 AB 的中点，点 E 在 CD 上，且 ME BE 于点 E，求证：BC BE。22、等腰三角形的底边长为 10，腰长为 13，则它的内切圆半径为_，外接圆半径为_。3、一个正三角形的边长为 6，求此三角形的外接圆和内切圆的半径，能否得出任意一个正三角形的外接圆和内切圆的半径与高的比是定值？
