1、信号与系统,Signals and Systems,参考教材：北京市精品立项教材信号与系统. 主编：陈后金,胡健,薛健, 清华大学出版社,2003年.,陈后金，胡健，薛健 北京交通大学国家电工电子教学基地 ,http:/ dianzijiaoan/navigation.htm,信号与系统分析导论,信号的描述及分类 系统的描述及分类 信号与系统分析概述,信号的描述与分类,信号的基本概念 信号的分类 确定信号与随机信号 连续信号和离散信号 周期信号与非周期信号 能量信号与功率信号,一、信号的基本概念,1. 定义 广义: 信号是随时间变化的某种物理量。 严格: 信号是消息的表现形式与传送载体。 电信
2、号通常是随时间变化的电压或电流。 2. 表示 数学解析式或图形,语音信号：空气压力随时间变化的函数,语音信号“你好”的波形,静止的单色图象： 亮度随空间位置变化的信号f(x,y)。,静止的彩色图象： 三基色红(R)、绿(G)、蓝(B)随空间位置变化的信号。,二、信号的分类,1 确定信号与随机信号,确定信号是指能够以确定的时间函数表示的信号。,随机信号也称为不确定信号，不是时间的确定函数。,连续信号：,在观测过程的连续时间范围内信号有确定的值。 允许在其时间定义域上存在有限个间断点。通常以 f(t)表示。,2. 连续信号和离散信号,模拟信号：取值是连续的连续信号。,离散信号： 信号仅在规定的离散
3、时刻有定义。通常以fk表示。,数字信号：取值为离散的离散信号。,连续时间信号与离散时间信号波形,连续时间信号,离散时间信号,离散信号的产生,1)对连续信号抽样fk=f(kT),2)信号本身是离散的,3)计算机产生,3 周期信号与非周期信号,*连续时间周期信号定义: ,存在非零T，使得,*周期信号每一周期内信号完全一样故只需研究信号 在一个周期内的状况。,成立，则f(t) 为周期信号。,*离散时间周期信号定义: kI , 存在非零N，使得,成立，则fk 为周期信号。,满足上述条件的最小的正T、正N称为信号的基本周期。,*不满足周期信号定义的信号称为非周期信号。,4 能量信号与功率信号,能量信号:
4、 0E，P=0。 功率信号: E，0P。,直流信号与周期信号都是功率信号。,归一化能量E与归一化功率P的计算,注意: 一个信号，不可能既是能量信号又是功率信号。,连续信号,离散信号,系统的描述及其分类,系统的描述系统的数学模型 系统的方框图表示 系统的分类连续时间系统与离散时间系统 线性系统与非线性系统 时不变系统与时变系统 因果系统与非因果系统 稳定系统与不稳定系统,系统是指由相互作用和依赖的若干事物组 成的、具有特定功能的整体。,一、系统的描述,输入输出描述：N阶微分方程或N阶差分方程,状态空间描述： N个一阶微分方程组或N个一阶差分方程组,RL串联电路,1. 数学模型,2. 方框图表示,
5、描述系统的基本单元方框图,连续时间系统,离散时间系统,二、系统的分类,连续时间系统： 系统的输入激励与输出响应都必须为连续时间信号 离散时间系统： 系统的输入激励与输出响应都必须为离散时间信号 连续时间系统的数学模型是微分方程式。 离散时间系统的数学模型是差分方程式。,1连续时间系统与离散时间系统,2线性系统与非线性系统,线性系统：具有线性特性的系统。线性特性包括均匀特性与叠加特性。,(1)均匀特性：,(2)叠加特性：,同时具有均匀特性与叠加特性方为线性特性，线性特性可表示为,其中，为任意常数,具有线性特性的离散时间系统可表示为,其中，为任意常数,非线性系统：不具有线性特性的系统。,线性系统的
6、数学模型是线性微分方程式或线性差分方程式。,含有初始状态线性系统的定义,连续时间系统,若,则,若,则,离散时间系统,结论: 具有初始状态的线性系统，输出响应等于零输入响应 与零状态响应之和。,3时不变系统与时变系统,系统的输出响应与输入激励的关系不随输入激励作用于系统的时间起点而改变，就称为时不变系统。否则，就称为时变系统。,时不变特性,时不变的离散时间系统表示为,线性时不变系统可由定常系数的线性微分方程式 或差分方程式描述。,时不变的连续系统表示为,4因果系统与非因果系统,因果系统：当且仅当输入信号激励系统时才产生系统输出响应的系统。,5. 稳定系统与不稳定系统,稳定系统：指有界输入产生有界
7、输出的系统,不稳定系统：系统输入有界而输出无界,非因果系统：不具有因果特性的系统称为非因果系统。,例1 判断下列输出响应所对应的系统是否为线性系统？（其中y(0)为系统的初始状态，f(t)为系统的输入激励，y(t)为系统的输出响应）。,线性系统,非线性系统,非线性系统,线性系统,分析,注意,2、零输入线性，系统的零输入响应必须对 所有的初始状态呈现线性特性。,解 ：分析,任意线性系统的输出响应都可分解为零输入响应与 零状态响应两部分之和,即。,因此，判断一个系统是否为线性系统，应从三个方面来判断：,1、具有可分解性,3、零状态线性，系统的零状态响应必须对 所有的输入信号呈现线性特性。,判断系统
8、是否线性注意问题,1在判断可分解性时，应考察系统的完全响应y(t)是否可以表示为两部分之和，其中一部分只与系统的初始状态有关，而另一部分只与系统的输入激励有关。 2在判断系统的零输入响应yx(t)是否具有线性时，应以系统的初始状态为自变量（如上述例题中y(0)，而不能以其它的变量（如t等）作为自变量。 3在判断系统的零状态响应yf(t)是否具有线性时，应以系统的输入激励为自变量（如上述例题中f(t)），而不能以其它的变量（如t等）作为自变量。,(1)y(t)=sinf(t) (2)y(t)=costf(t) (3)y(t)=4f 2(t) +3f(t) (4)y(t)=2tf(t),例2 试判
9、断下列系统是否为时不变系统,时不变系统,时变系统,时不变系统,时变系统,分析： 判断系统是否为时不变系统，只需判断当输入激励f(t) 变为f(t-t0)时，相应的输出响应y(t)是否变为 y(t-t0)。,注意：时不变特性只考虑系统的零状态响应，因此在判断系统的时不变特性时，不涉及系统的初始状态。,信号与系统分析概述,信号分析的主要内容 系统分析的主要内容 信号与系统之间的关系 系统与电路之间的关系 信号与系统的应用领域 信号与系统课程的学习方法 参考书,信 号 分 析,连续信号,离散信号,取样,时域：信号分解为冲击信号的线性组合,频域：信号分解为不同频率正弦信号的线性组合,复频域：信号分解为
10、不同频率复指数的线性组合,时域：信号分解为冲击序列的线性组合,频域：信号分解为不同频率正弦序列的线性组合,复频域：信号分解为不同频率复指数的线性组合,系 统 分 析,连续系统,离散系统,系统的描述,输入输出描述法：N阶微分方程,系统响应的求解,系统的描述,系统响应的求解,状态空间描述：N个一阶微分方程组,时域：,频域：,复频域：,输入输出描述法：N阶差分方程,状态空间描述：N个一阶差分方程组,时域：,频域：,Z域：,信号与系统是相互依存的整体。,信号与系统之间的关系,1. 信号必定是由系统产生、发送、传输与接收， 离开系统没有孤立存在的信号；,2. 系统的重要功能就是对信号进行加工、变换与处理
11、， 没有信号的系统就没有存在的意义。,信号与系统的应用领域,通信,控制,计算机等,信号处理,信号检测,非电类:,社科领域：,电 类,机械、热力、光学等,股市分析、人口统计等,系统与电路的关系,1. 通常把系统看成比电路更为复杂、规模更大的组合,2. 处理问题的观点不同：,电路：着重在电路中各支路或回路的电流 及各节点的电压上,系统：着重在输入输出之间的关系上， 即系统能实现何种功能。,信号与系统课程的学习方法,3.加强实践环节(学会用MATLAB进行信号分析)， 通过实验加深对理论与概念的理解。,1.着重掌握信号与系统分析的物理含义， 将数学概念、物理概念及其工程概念相结合。,2.注意提出问题
12、，分析问题与解决问题的方法。,4.通过多练，复习和加深所学的基本概念， 掌握解决问题的方法。,主 要 参 考 书,1 Edward W.K.,Bonnie S.H. Fundamentals of Signals and Systems Using MATLAB, Prentice-Hall International, Inc.1997. 2 Simon H.,Barry V.V. Signals and Systems, John Wiley & Sons,Inc.1999. 3 A.V.Oppenheim. Signals and Systems 或中译本（第二版）,西安交通大学出版社.
13、 4 刘树棠译，信号与系统计算机练习利用 MATLAB，西安交通大学出版社，2000.,主 要 参 考 书,5 郑君里，应启珩等.信号与系统,第二版. 高等教育出版社，2000. 6 吴大正.信号与线性系统分析,第三版， 高等教育出版社，2000. 7 朱钟霖等.信号与系统.中国铁道出版社,1996. 8 吴湘淇. 信号、系统与信号处理,(上). 电子工业出版社，1999. 9 骆丽,胡健等译.全美经典学习指导系列 信号与系统，科学出版社，2002.,信号的时域分析,连续时间信号的时域描述 连续时间信号的基本运算 离散时间信号时域描述 离散时间信号的基本运算 确定信号的时域分解,连续时间信号的
14、时域描述,典型普通信号 正弦信号 实指数信号 虚指数信号 复指数信号 抽样函数,奇异信号 单位阶跃信号 冲激信号 斜坡信号 冲激偶信号,1 正弦信号,A: 振幅 w0:角频率弧度/秒 j:初始相位,一、典型普通信号,2 指数信号实指数信号,2 指数信号虚指数信号,复指数信号的周期：,复指数信号的基波周期：,Euler公式：,2 指数信号复指数信号,3.抽样函数,抽样函数具有以下性质：,与Sa(t)函数类似的是sinc(t) 函数，其定义为,1 单位阶跃信号,定义:,二、奇异信号,阶跃信号的作用：,1表示任意的方波脉冲信号,f(t)=u(t-T)-u(t-2T),2利用阶跃信号的单边性表示信号的
15、时间范围,阶跃信号的作用：,2. 冲激信号,单位阶跃信号加在电容两端，流过电容的电流 i(t)=C du(t)/dt可用冲激信号表示。,狄拉克定义式：,(t)=0 , t0,2)冲激信号的定义,1)冲激信号的引出,3) 冲激信号的图形表示,说明： (1)冲激信号可以延时至任意时刻t0，以符号(t-t0)表示， 其波形如图所示。(t-t0)的定义式为：,(3)冲激信号的物理意义： 表征作用时间极短，作用值很大的物理现象的数学模型,(4)冲激信号的作用：,(2)冲激信号具有强度，其强度就是冲激信号对时间的 定积分值。在图中用括号注明，以区分信号的幅值。,A. 表示其他任意信号；,B. 表示信号间断
16、点的导数。,4) 冲激信号的极限模型,5) 冲激信号的性质,(1)筛选特性,(2)取样特性,(3)展缩特性,推论：冲激信号是偶函数。,5) 冲激信号的性质,证明：,取a= -1 即可得 d(t)=d(-t),(4) 冲激信号与阶跃信号的关系,5) 冲激信号的性质,3.斜坡信号,与阶跃信号之间的关系：,定义：,4.冲激偶信号,冲激偶信号图形表示,定义：,性质：,四种奇异信号具有微积分关系,例题 计算下列各式的值,解,注意：,2.对于(at+b)形式的冲激信号，要先利用冲激信号的 展缩特性将其化为1/|a| (t+b/a)形式后，方可利用 冲激信号的取样特性与筛选特性。,1.在冲激信号的取样特性中
17、，其积分区间不一定都是 (-，+)，但只要积分区间不包括冲激信号(t-t0) 的t=t0时刻，则积分结果必为零。,连续时间信号的基本运算,信号的尺度变换 信号的翻转 信号的平移 信号相加 信号相乘 信号的微分 信号的积分,1. 尺度变换 f(t) f(at) a0,若01， 则f(at)是f(t)的压缩。,例：尺度变换变换后语音信号的变化,f (t),f (1.5t),f (0.5t),0,0.05,0.1,0.15,0.2,0.25,0.3,0.35,0.4,-0.5,-0.4,-0.3,-0.2,-0.1,0,0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,一段语音信号(“对了”) 。抽样频率 =
18、22050Hz,f(t),f(t/2),f(2t),2. 信号的翻转 f (t) f (-t),将f (t)以纵轴为中心作180翻转,3. 时移（平移） f(t) f(t-t0),f(t-t0)，则表示信号右移t0单位； f(t+t0)，则表示信号左移t0单位。,4. 信号的相加,f(t)=f1(t)+ f2(t)+ fn(t),5 . 信号的相乘,f(t)=f1(t) f2(t) fn(t),6 . 信号的微分,y(t)=df(t)/dt=f (t),注意：对不连续点的微分,7. 信号的积分,例题 已知f(t)的波形如图所示，试画出f(6-2t)的波形。,01， 压缩1/a倍,-：右移b/a
19、单位 +：左移b/a单位,先翻转 再展缩 后平移,离散时间信号的时域描述,离散时间信号的表示 基本离散时间序列实指数序列 虚指数序列和正弦序列 复指数序列 单位脉冲序列 单位阶跃序列,一、离散时间信号的表示,序列的列表表示,表示k=0的位置,序列的图形表示,二、基本离散时间序列,1实指数序列,2. 虚指数序列和正弦序列,利用Euler 公式可以将正弦序列和虚指数序列联系起来，即,两者的区别:,的振荡频率不随角频率0的增加而增加。,周期性：,如果W0 /2p= m/N ， N、m是不可约的整数， 则信号的周期为N。,即0N = m2 ， m = 正整数时，信号是周期信号。,离散信号周期判断举例：
20、,1) f1k = sin(kp/6),W0 /2p = 1/12, 由于1/12是不可约的有理数， 故离散序列的周期N=12。,W0 /2p = 1/12p, 由于 1/12p不是有理数， 故离散序列是非周期的。,W0 /2p = 3 / 8 由于3/8是不可约的有理数，故f3k的周期为N=8。,2)f2k = sin(k/6),3)对f3(t) = sin6pt,以fs=8 Hz抽样所得序列,3复指数序列,衰减正弦信号,增幅正弦信号,4. 单位脉冲序列,定义：,单位脉冲序列作用,表示任意离散时间信号,5. 单位阶跃序列,定义：,dk与uk关系:,6. 矩形序列,7. 斜坡序列rk,离散时间
21、信号的基本运算,翻转 ( f k f -k ) 位移 ( f k f kn ) 内插与抽取 序列相加 序列相乘 差分与求和,1. 翻转 f kf -k,将f k 以纵轴为中心作180度翻转,2.位移 f k f kn,f k+n表示将 f k左移n个单位。,f k-n表示将 f k右移n个单位。,3.尺度变换,抽取(decimation) M,在原序列中每隔M-1点抽取一点,f kf Mk M为正整数,3.尺度变换,内插(interpolation) M,在序列两点之间插入M-1个点,4序列相加,指将若干离散序列序号相同的数值相加,5.序列相乘,指若干离散序列序号相同的数值相乘,6.差分,一阶
22、后向差分,二阶后向差分,一阶前向差分,二阶前向差分,N阶后向差分,N阶前向差分,单位脉冲序列可用单位阶跃序列的差分表示,7.求和,单位阶跃序列可用单位脉冲序列的求和表示,信号的分解,1信号分解为直流分量与交流分量 2信号分解为奇分量与偶分量之和 3信号分解为实部分量与虚部分量 4连续信号分解为冲激函数的线性组合 5离散序列分解为脉冲序列的线性组合,1信号分解为直流分量与交流分量,连续时间信号,离散时间信号,2. 信号分解为奇分量与偶分量之和,连续时间信号,离散时间信号,例1 画出f(t)的奇、偶两个分量,3信号分解为实部分量与虚部分量,连续时间信号,离散时间信号,4. 连续信号分解为冲激函数的
23、线性组合,当0时，k，d，且,物理意义：,不同的信号都可以分解为冲激序列， 信号不同只是它们的系数不同。,实际应用：,当求解信号f(t)通过LTI系统产生的响应时， 只需求解冲激信号通过该系统产生的响应， 然后利用线性时不变系统的特性， 进行迭加和延时即可求得信号f(t)产生的响应。,信号分解(t)为物理意义与实际应用,任意序列可以分解为单位脉冲序列及其位移的加权和,5. 离散序列分解为脉冲序列的线性组合,系统的时域分析,线性时不变系统的描述及特点 连续时间LTI系统的响应 连续时间系统的单位冲激响应 卷积积分及其性质 离散时间LTI系统的响应 离散时间系统的单位脉冲响应 卷积和及其性质 单位
24、冲激响应表示的系统特性,线性时不变系统的描述及特点,连续时间系统用N阶常系数微分方程描述,ai 、 bi为常数。,离散时间系统用N阶常系数差分方程描述,ai 、 bi为常数。,线性时不变系统的特点,LTI系统除具有线性特性和时不变特性外，还具有:,1）微分特性与差分特性：,若 T f(t)=y(t),则,若 Tfk= yk,则 T fk -fk-1= yk - yk-1,2）积分特性与求和特性：,若 T f(t)=y(t),则,若 Tfk= yk,则,连续时间LTI系统的响应,经典时域分析方法 卷积法 零输入响应求解 零状态响应求解,系统响应求解方法,1. 经典时域分析方法:,求解微分方程,2
25、.卷积法:,系统完全响应=零输入响应+零状态响应,求解齐次微分方程得到零输入响应,利用卷积积分可求出零状态响应,一、 经典时域分析方法,微分方程的全解即系统的完全响应, 由齐次解yh(t)和特解yp(t)组成,齐次解yh(t)的形式由齐次方程的特征根确定,特解yp(t)的形式由方程右边激励信号的形式确定,齐次解yh(t)的形式,(1) 特征根是不等实根s1, s2, , sn,(2) 特征根是相等实根s1=s2=sn,(3) 特征根是成对共轭复根,常用激励信号对应的特解形式,例1 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程 初始条件y(0)=1, y(0)=2, 输入信号f(t)=e-t u(
26、t)，求系统的完全响应y(t)。,特征根为,齐次解yh(t),解 (1)求齐次方程y(t)+6y(t)+8y(t) = 0的齐次解yh(t),特征方程为,2) 求非齐次方程y(t)+6y(t)+8y(t) = f(t)的特解yp(t),解得 A=5/2，B= -11/6,由输入f (t)的形式，设方程的特解为,yp(t)=Ce-t,将特解带入原微分方程即可求得常数C=1/3。,3) 求方程的全解,讨论,1) 若初始条件不变，输入信号 f(t) = sin t u(t)，则系统的完全响应y(t) =？,2) 若输入信号不变，初始条件y(0)=0, y(0)=1, 则系统的完全响应y(t)=？,经
27、典法不足之处,若微分方程右边激励项较复杂，则难以处理。 若激励信号发生变化，则须全部重新求解。 若初始条件发生变化，则须全部重新求解。 这种方法是一种纯数学方法，无法突出系统响应的物理概念。,二 卷积法,系统完全响应=零输入响应+零状态响应,1. 系统的零输入响应是输入信号为零，仅由系统的 初始状态单独作用而产生的输出响应。,数学模型:,求解方法： 根据微分方程的特征根确定零输入响应的形式，,再由初始条件确定待定系数。,解 系统的特征方程为,例2 已知某线性时不变系统的动态方程式为: 系统的初始状态为y(0-)=1，y (0-)=3，求系统的零输入响应yx(t)。,系统的特征根为,y(0-)=
28、yx(0-)=K1+K2=1 y (0-)= yx(0-)= - 2K1-3K2 =3,解得 K1=6，K2=-5,例3 已知某线性时不变系统的动态方程式为 系统的初始状态为y(0-)=2，y(0-)= -1，求系统的零输入响应yx(t)。,解 系统的特征方程为,系统的特征根为,（两相等实根）,y(0-)=yx(0-)=K1=1; y(0-)= yx(0-)= -2K1+K2 =3,解得 K1 =1, K2=5,例4 已知某线性时不变系统的动态方程式为 系统的初始状态为y(0-)=1，y(0-)=3，求系统的零输入响应yx(t)。,解 系统的特征方程为,系统的特征根为,y(0-)=yx(0-)
29、=K1=1 y (0-)= yx(0-)= -K1+2K2 =3,解得 K1=1，K2=2,2、 系统的零状态响应,求解系统的零状态响应yf (t)方法： 1) 直接求解初始状态为零的微分方程。 2) 卷积法： 利用信号分解和线性时不变系统的特性求解。,当系统的初始状态为零时，由系统的外部激励f(t)产生的响应称为系统的零状态响应，用yf (t)表示。,卷积法求解系统零状态响应yf (t)的思路,1) 将任意信号分解为单位冲激信号的线性组合。 2) 求出单位冲激信号作用在系统上的零状态响应 单位冲激响应h(t) 。 3) 利用线性时不变系统的特性，求出单位冲激信号线性组合作用在系统上的响应，即
30、系统在任意信号f(t)激励下的零状态响应yf(t) 。,卷积法求解系统零状态响应yf (t)推导,由时不变特性,由均匀特性,由积分特性,例5 已知某LTI系统的动态方程式为y(t)+3y(t)=2f(t)，系统的冲激响应h(t)=2e-3t u(t), f(t)=3u(t), 试求系统的零状态响应yf(t)。,解,连续时间系统的单位冲激响应,连续时间系统单位冲激响应的定义 冲激平衡法求系统的单位冲激响应 连续时间系统的单位阶跃响应,连续时间系统单位冲激响应的定义,在系统初始状态为零的条件下，以单位冲激信号激励系统所产生的输出响应，称为系统的单位冲激响应，以符号h(t)表示。,N阶连续时间LTI
31、系统的冲激响应h(t)满足,冲激平衡法求系统的单位冲激响应,由于t0+后, 方程右端为零, 故nm时,nm时, 为使方程两边平衡, h(t)应含有冲激及其高阶导数,即,将h(t)代入微分方程，使方程两边平衡,确定系数Ki ， Ai,例1 已知某线性时不变系统的动态方程式为 试求系统的单位冲激响应。,解：当f (t)=d(t)时, y(t)=h(t), 即,动态方程式的特征根s=-3, 且nm, 故h(t)的形式为,解得A=2,例2 已知某线性时不变系统的动态方程式为 试求系统的冲激响应。,解：当f (t)=d(t)时, y(t)=h(t), 即,动态方程式的特征根s= -6, 且n=m, 故h
32、(t)的形式为,解得A= -16, B =3,冲激平衡法小结,1)由系统的特征根来确定u(t)前的指数形式.,2) 由动态方程右边d(t)的最高阶导数与方程 左边h(t)的最高阶导数确定d (j)(t)项.,连续系统的阶跃响应,求解方法:,1)求解微分方程,2)利用单位冲激响应与单位阶跃响应的关系,例3 求例1所述系统的单位阶跃响应g(t)。,例1系统的单位冲激响应为,解：,利用单位冲激响应与单位阶跃响应的关系，可得,h(t)=2e-3t u(t),卷积积分的计算和性质,卷积积分的计算 卷积积分的性质,交换律、分配律 、结合律、位移特性、展缩特性,延迟特性、微分特性、积分特性、等效特性,奇异信
33、号的卷积积分,一 卷积积分的计算,卷积的定义：,1）将f(t)和h(t)中的自变量由t改为，成为函数的自变量；,卷积的计算步骤：,2）把其中一个信号翻转、平移；,3）将f(t) 与h(t- t)相乘；对乘积后的图形积分。,例1,例2：计算y(t) = p1(t) * p1(t)。,a) - t -1,b) -1 t 0,y(t)=0,c) 0 t 1,d)1 t ,y(t)=0,练习1：u(t) * u(t),练习2：计算y(t) = f(t) * h(t)。,= r(t),二 卷积的性质,1)交换律 f1(t) * f2(t) = f2(t) * f1(t) 2)分配律 f1(t) + f2
34、(t) * f3(t) = f1(t) * f3(t) + f2(t) * f3(t) 3)结合律 f1(t) * f2(t) * f3(t) = f1(t) * f2(t) * f3(t) 4)位移特性 已知 f1(t) * f2(t) = y(t) 则: f1(t - t1) * f2(t - t2) = y(t - t1 - t2) 5)展缩,位移特性证明：,展缩特性证明：,例：利用位移特性及u(t) * u(t)= r(t) ，计算y(t) = f(t) * h(t)。,y(t) = f(t) * h(t) = u(t) - u(t-1) * u(t) - u(t-2) ,=u(t)*
35、u(t) - u(t-1)*u(t) - u(t)*u(t-2) - u(t-1)*u(t-2),= r(t) - r(t-2) r(t -1) + r(t-3),三 奇异信号的卷积,1)延迟特性 f(t) * (t -T) = f(t -T) 2)微分特性 f(t) * (t) = f (t) 3)积分特性,4)等效特性,例1：已知 y(t) = f1(t) * f2(t) ，求y(t)。,解：y(t)=y(t) * d (t) = f1(t) * f2(t) * d (t),例2：已知 y(t) = f1(t) * f2(t)， 求y(-1)(t)。,解：y(-1)(t)=y(t) * u
36、(t) = f1(t) * f2(t) * u(t),= f1(t) * f2(t),= f1(t) * f2(t),= f1(-1)(t) * f2(t),= f1(t) * f2(-1)(t),例3：利用等效特性，计算y(t) = f(t) * h(t)。,f (t) = d(t) - d(t-1),f (t) * h(t)= h(t) - h(t-1),离散时间LTI系统的响应,迭代法求系统响应 经典时域法求系统响应 卷积法求系统响应 零输入响应求解 零状态响应求解,离散时间LTI系统的数学模型为,2. 经典时域分析方法:,求解差分方程,3. 卷积法:,系统完全响应=零输入响应+零状态响
37、应,求解齐次差分方程得到零输入响应yxk,利用卷积和可求出零状态响应yfk,系统响应求解方法:,1. 迭代法:,一、 迭代法,已知n个初始条件y-1, y-2, y-3, y-n 和输入fk，由差分方程迭代出系统的输出。,迭代法举例,例1 一阶线性常系数差分方程yk-0.5yk-1=uk, y-1=1，用递推法求解差分方程。,解：将差分方程写成：,代入初始条件，可求得,依此类推:,缺点：很难得到闭合形式的解。,二、 经典时域分析方法,差分方程的全解即系统的完全响应, 由齐次解yhk和特解ypk组成:,齐次解yhk的形式由齐次方程的特征根确定,特解ypk的形式由方程右边激励信号的形式确定,齐次解
38、的形式,(1) 特征根是不等实根 r1, r2, , rn,(2) 特征根是相等实根 r1=r2=rn,(3) 特征根是成对共轭复根,常用激励信号对应的特解形式,ak (a不是特征根),ak (a是特征根),例2 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程 初始条件y0=0, y1= -1, 输入信号fk=2k uk，求系统的完全响应yk。,特征根为,齐次解yhk,解 (1)求齐次方程yk-5yk-1+6yk-2 = 0的齐次解yhk,特征方程为,2) 求非齐次方程yk-5yk-1+6yk-2 =fk 的特解ypk,解得 C1= -3，C2= 3,由输入f k=2k uk ，设方程的特解形式为
39、,将特解带入原微分方程即可求得常数A= -2。,3) 求方程的全解,讨论,1) 若初始条件不变，输入信号 fk = sin0 k uk，则系统的完全响应yk=？,2) 若输入信号不变，初始条件y0=1, y1=1, 则系统的完全响应yk=？,经典法不足之处,若微分方程右边激励项较复杂，则难以处理。 若激励信号发生变化，则须全部重新求解。 若初始条件发生变化，则须全部重新求解。 这种方法是一种纯数学方法，无法突出系统响应的物理概念。,三、卷积法,系统完全响应=零输入响应+零状态响应,1. 系统的零输入响应是输入信号为零，仅由系统的 初始状态单独作用而产生的输出响应。,数学模型:,求解方法： 根据
40、差分方程的特征根确定零输入响应的形式，,再由初始条件确定待定系数。,解 系统的特征方程为,例3 已知某线性时不变系统的动态方程式为: 系统的初始状态为y-1=0， y-2= 1/2，求系统的零输入响应yxk。,系统的特征根为,解得 C1=1，C2= -2,例4 已知某线性时不变系统的动态方程式为 系统的初始状态为y-1=0， y-2= -1，求系统的零输入响应yxk。,解 系统的特征方程为,系统的特征根为,（两相等实根）,解得 C1 =4, C2=4,例5 已知某线性时不变系统的动态方程式为 系统的初始状态为y-1=2， y-2= -1， y-3= 8，求系统的零输入响应yxk。,解 系统的特
41、征方程为,系统的特征根为,解得 C1=1，C2=0 ，C3=5,2.系统的零状态响应,求解系统零状态响应yf k的方法： 1) 直接求解初始状态为零的差分方程。 2) 卷积法： 利用信号分解和线性时不变系统的特性求解。,当系统的初始状态为零时，由系统的外部激励f k产生的响应称为零状态响应，用yf k表示。,卷积法求解系统零状态响应yf k的思路,1) 将任意信号分解为单位脉冲序列的线性组合 2) 求出单位脉冲序列作用在系统上的零状态响应单位脉冲响应。 3) 利用线性时不变系统的特性，求出单位脉冲序列线性组合作用在系统上的响应，即系统在任意信号fk激励下的零状态响应yfk 。,卷积和求解系统零
42、状态响应yf k推导,由时不变特性,由均匀特性,由叠加特性,例6 若描述某离散系统的差分方程为,已知激励,求系统的零状态响应yf k。,解：,离散系统的单位脉冲响应,单位脉冲响应hk定义 hk的求解 迭代法 等效初始条件法 单位阶跃响应gk的求解,1. 单位脉冲响应hk定义,单位脉冲序列 k作用于离散时间LTI系统所产生的零状态响应称为单位脉冲响应, 用符号hk表示。,对N阶LTI离散时间系统， hk满足方程,2. hk的求解,求解方法:,2)等效初始条件法,将dk-j对系统的瞬时作用，转化为系统的等效初始条件。,等效初始条件由差分方程和h-1=h-2= =h-n=0递推求出。,1) 迭代法,
43、例1 若描述某离散时间LTI系统的差分方程为 求系统的单位脉冲响应hk。,解：hk满足方程,1)求等效初始条件,对于因果系统有h-1=h-2=0，代入上面方程可推出,注意：选择初始条件的基本原则是必须将dk的作用体现在初始条件中,可以选择h0和h1 或h-1和h0作为初始条件,2)求差分方程的齐次解,特征方程为,特征根为,齐次解的表达式为,代入初始条件，有,解得 C1= -1，C2=2,3. 单位阶跃响应,单位阶跃序列uk作用在离散时间LTI系统上产生的零状态响应称为单位阶跃响应，用符号gk表示。,求解方法：,1) 迭代法,2) 经典法,3) 利用单位阶跃响应与单位脉冲响应的关系,hk=gk-
44、gk-1,例2 求例1所述系统的单位阶跃响应gk 。,解:,例1所述系统的单位脉冲响应为,利用hk与gk 的关系，可得,hk=-(-1)k+2(-2)kuk,卷积和的计算与性质,图解法计算卷积和 列表法计算卷积和 卷积和的性质 交换律 结合律 分配律 位移特性 差分与求和特性,一. 图解法计算卷积和,计算步骤: 1)将f k、hk中的自变量由k改为n； 2)把其中一个信号翻转，如将hn翻转得 h-n ； 3)把h-n平移k，k是参变量。k0图形右移，k0图形左移。 4)将f n与 hk-n重叠部分相乘； 5)对乘积后的图形求和。,卷积和定义为,例1 已知f k=uk, hk=akuk,0a1,
45、 计算yk=fk*hk,k 0, f n与h k-n图形没有相遇,k 0, f n与hk-n图形相遇,yk=0,例2,计算yk=RNk* RNk。,k 0时, RN n与RN k-n图形没有相遇,yk=0,0 k N -1时,重合区间为0，k,N-1 k 2N -2时, 重合区间为-(N-1)+k，N-1,k2N-2时, RN n与RN k-n 图形不再相遇,yk =0,二. 列表法计算序列卷积和,设fk和hk都是因果序列，则有,当k = 0时，,当k = 1时，,当k = 2时，,当k = 3时，,以上求解过程可以归纳成列表法。,列表法,将hk 的值顺序排成一行，将f k的值顺序排成一列，行
46、与列的交叉点记入相应fk与hk的乘积，,对角斜线上各数值就是 fnhk-n的值。,对角斜线上各数值的和就是yk各项的值。,例3 计算 与 的卷积和。,三. 卷积和的性质,交换律:,fk * hk = hk * fk,fk * h1k * h2k = f k * h1 k * h2 k,f k * h1 k + h2 k = f k * h1 k + f k * h2 k,结合律:,分配律:,卷积和的性质（续）,位移特性：,f k * d k-n = f k-n,推论：若fk*hk=yk，则,f k-n * hk- l = yk- (n+l),差分与求和特：若fk*hk=yk,例4 计算 与 的卷积和,解：,利用位移特性,单位冲激响应表示的系统特性,级联系统的单位冲激响应 并联系统的单位冲激响应 因果系统 稳定系统,1. 级联系统的单位冲激响应,根据卷积积分的结合律性质，有,h(t),结论:,1)级联系统的冲激响应等于两个子系统冲激响应的卷积。,2)交换两个级联系统的先后连接次序不影响系统总的冲激响应。,两个离散时间系统的级联也有同样的结论。,
