1、四川省自贡市 2017 届高考数学二诊试卷（理科）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）1设集合 A=x|x23x0，B=x|x|2，则 AB=（ ）A （2，3） B （2，3） C （0，2） D （2，0）2复数 z 满足：（3 4i）z=1+2i，则 z=（ ）A B C D3设命题 p：x 0，xlnx0，则p 为（ ）Ax0，xln x0 B x0，x lnx0Cx 00，x 0lnx00 D x00，x 0lnx004已知 2sin2=1+cos2，则 tan（+ ）的值为（ ）A3 B3 C 3 或 3 D1 或 35函数 f（x） =3sin（2x
2、）的图象可以由 y=3sin2x 的图象（ ）A向右平移 个单位长度得到 B向左平移 个单位长度得到C向右平移 个单位长度得到 D向左平移 个单位长度得到6ABC 中，C=90，且 CA=3，点 M 满足 =2 ，则 的值为（ ）A3 B6C9 D不确定7设数列a n的前 n 项和为 Sn，若 Sn+1，S n，S n+2 成等差数列，且 a2=2，则 a7=（ ）A16 B32C64 D1288 九章算术第三章“衰分”介绍比例分配问题：“ 衰分” 是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例（百分比）为“衰分比”如：甲、乙、丙、丁衰分得 100，60，36，21.6 个单位，递减的比例为 40%
3、，今共有粮 m（m0）石，按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰分”，已知丙衰分得 80 石，乙、丁衰分所得的和为 164 石，则“衰分比”与 m 的值分别为（ ）A20% 369 B80% 369C40% 360 D60% 3659定义x 表示不超过 x 的最大整数，例如2.11=2，1.39=2，执行如下图所示的程序框图，则输出 m 的值为（ ）A B C D10如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的体积为（ ）A36 B C8 D 11设双曲线 y2=1 的两焦点分别为 F1，F 2，P 为双曲线上的一点，若 PF1 与双曲线的一条渐近线平行，则 cosF 1PF2=（ ）A B C
4、 D12定义域为 R 的偶函数 f（x）满足 xR，有 f（x+2）=f（x） f（1） ，且当 x2 ，3时，f（x）=2x 2+12x18，若函数 y=f（x） loga（x+1）恰有三个零点，则 a 的取值范围是（ ）A （0， ） B （0， ） C （ ， ） D （ ， ）二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13已知 n= x3dx，则（x ） n的展开式中常数项为 14已知实数 x，y 满足 ，若 xy 的最大值为 6，则实数 m= 15已知ABC 的三个顶点均在抛物线 x2=y 上，边 AC 的中线 BMy 轴，|BM|=2 ，则ABC 的面积为 16设
5、 f（x）= （x0） ，计算观察以下格式：f1（x）=f（x） ， f2（x）=f（f 1（x） ） ，f 3（x）=f（f 2（x） ） ，f 4（x）=f（f 3（x） ） ，根据以上事实得到当 nN *时， fn（1）= 三、解答题（本大题 6 小题，共 70 分）17在ABC 中，交 A、B 、C 所对的边分别为 a，b，c，且 c=acosB+bsinA（）求 A；（）若 a=2 ，求ABC 的面积的最值18如图，三角形 ABC 和梯形 ACEF 所在的平面互相垂直，ABBC，AF AC，AF 2CE，G 是线段 BF 上一点，AB=AF=BC（）若 EG平面 ABC，求 的值；（
6、）求二面角 ABFE 的大小的正弦值19自贡某个工厂于 2016 年下半年对生产工艺进行了改造（每半年为一个生产周期） ，从2016 年一年的产品中用随机抽样的方法抽取了容量为 50 的样本，用茎叶图表示如图所示，已知每个生产周期内与其中位数误差在5 范围内（含5）的产品为优质品，与中位数误差在15 范围内（含15）的产品为合格品（不包括优质品） ，与中位数误差超过15 的产品为次品企业生产一件优质品可获利润 20 元，生产一件合格品可获利润 10 元，生产一件次品要亏损 10 元（）求该企业 2016 年一年生产一件产品的利润的分布列和期望；（）是否有 95%的把握认为 “优质品与生产工艺改
7、造有关 ”附：P（K 2k） 0.050 0.010 0.001k 3.841 6.635 10.828K2= 20已知椭圆 E： =1（ab0）的离心率是 ，过 E 的右焦点且垂直于椭圆长轴的直线与椭圆交于 A，B 两点，| AB|=2（）求椭圆方程；（）过点 P（0， ）的动直线 l 与椭圆 E 交于的两点 M，N（不是的椭圆顶点） ，是否存在实数 ，使 + 为定值？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由21已知曲线 f（x ）= ax3blnx 在 x=1 处的切线方程为 y=2x+（）求 f（x）的极值；（）证明：x0 时， （e 为自然对数的底数）选修 4-4：坐标系与参数方程22
8、已知在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 （ 为参数） ，在极坐标系（与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴）中，直线 l 的方程为 cos（ ）=2 （）求曲线 C 在极坐标系中的方程；（）求直线 l 被曲线 C 截得的弦长选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ）=| x |+|x+2a|（aR ，且 a0）（）当 a=1 时，求不等式 f（x）5 的解集；（）证明：f（x ）2 参考答案一、选择题1A2A3D4D5C6 B7C8A9 B10B11 A12C二、填空题13414 815 2 16 （nN *）三、解答题17 解
9、：（）由题意知，c=acosB+bsinA，由正弦定理得，sinC=sinAcosB+sinBsinA ，sin（A+B ）=sin （ C）=sinC ，sin（A+B ）=sin AcosB+sinBsinA，化简得，sinBcosA=sin BsinA，sinB0，cosA=sin A，则 tanA=1，由 0A 得 A= ；（）a=2 ，A= ，由余弦定理得，a2=b2+c22bccosA，则 ，即 ，解得 bc ，当且仅当 b=c 时取等号，ABC 的面积 S= ，ABC 的面积的最大值是 18解：（）平面 ABC平面 ACEF，且平面 ABC 平面 ACEF=AC，AFAC，AF平
10、面 ABC，则平面 ABF平面 ABC，过 G 作 GDAB，垂足为 D，则 GD平面 ABC，连接 CD，由 GD平面 ABC，AF 平面 ABC，AF CE，可得 GDCE ，又 EG平面 ABC，EG CD，则四边形 GDCF 为平行四边形，GD= CE= ， = ；（）由（）知 AFAB ，AF BCBCAB， BC平面 ABF如图，以 A 为原点，建立空间直角坐标系 Axyz则 F（0，0，2） ，B（2，0，0） ，C （2，2，0） ，E（2，2，1） ，=（0，2，0）是平面 ABF 的一个法向量设平面 BEF 的法向量 =（x，y，z） ，则，令 y=1，则 z=2，x=2，
11、 =（ 2，1， 2） ，cos ， = = ，二面角 ABFE 的正弦值为 19解：（）上半年的数据为：13，14，18，21，22，26，27，29，31，34，35，35，35，38，42，43，45，46，46，53，54，57，58，61，62；“中位数”为 35，优质品有 6 个，合格品有 10 个，次品有 9 个；下半年的数据为：13，18，20，24，24，28，29，30，31，32，33，33，35，36，37，40，41，42，42，43，47，49，51，58，62；“中位数”为 35，优质品有 9 个，合格品有 11 个，次品有 5 个；则这个样本的 50 件产品的利
12、润的频率分布表为利润 频数 频率20 15 0.310 21 0.4210 14 0.28所以，该企业 2016 年一年生产一件产品的利润的分布列为 频率 利润优质品 0.3 6合格品 0.42 4.2次品 0.28 2.8期望值为 6+4.22.8=7.4；（）由题意，填写 22 列联表如下；上半年 下半年优质品 6 9 15非优质品 19 16 3525 25 50计算观测值 K2= 0.857，由于 0.8573.841，所以没有 95%的把握认为“优质品与生产工艺改造有关”20解：（1）由椭圆的离心率 e= = = ，则 a2=2b2，则丨 AB 丨= =2，则 b2=a，解得：a=2
13、，b= ，椭圆的标准方程为： ；（2）当直线 AB 的斜率存在时，设直线 AB 的方程为 y=kx+ ，M（x 1，y 1） ，N（x 2，y 2） ，联立 ，得（1+2k 2）x 2+4 kx+2=0，=（4 k） 24（1+2k 2）20，解得：k 2 ，由韦达定理可知：x 1+x2= ，x 1x2= ，从而，+ =x1x2+y1y2+x1x2+（y 1 ） （y 2 ） ，=（1+ ） （1+k 2）x 1x2+ k（x 1+x2）+3，=（1+ ） （1+k 2） + k（ ）+3，= ，=（1）+ ，当 =2 时， （1）+ =3，此时 + =3，故存在常数 =2，使得 + 为定值
14、321解：（）f（x ）=ax 2 ，故 f（1）= a， f（1）=a b，故切线方程是：y=（ab） （x 1）+ a=（ab）x a+b，而 y=2x+ ，故 ab=2， a+b= ，解得：a=2，b=4，故 f（x）= x34lnx， （x0） ，f（ x）=2x 2 = （x0） ，当 x（0，3 ）时，f（x）0；当 x（3 ，+）时，f（x）0，则 f（x）在（0 ，3 ）上为减函数，在 x（3 ，+）上为增函数，f（x）的极小值为 f（3 ）= 4ln = （1ln2） ，无极大值；（2）证明：f（x ）= x34lnx，要证 ，即证 x lnx令 g（x）=xlnx，x （0
15、，+ ） ，则 g（x）=lnx+1，由 g（x）0，得 0x ；由 g（x）0，得 x ，当 x= 时取得最小值，最小值为 g（ ）= ，由 h（x）= ，可得 h（x）= ，当 x（0，1） ，h（x ）0，h（x ）单调递增，当 x（1，+） ，h（x）0，h（x）单调递减函数 h（x） （x0）在 x=1 时取得最大值，又 h（1）= ，h（x ） ，任意 x（0，+） ， 22解：（）曲线 C 的参数方程为 （ 为参数） ，普通方程为 x2+（y 2）2=4，即 x2+y24y=0，曲线 C 在极坐标系中的方程为 =4sin；（）直线 l 的方程为 cos（ ）=2 ，即 x+y4=0，圆心到直线的距离 d= = ，直线 l 被曲线 C 截得的弦长=2 =2 23 （）解：a= 1 时，f（x）=|x+1|+|x 2|5，x2 时，x+1+x 25，解得：x3，1 x2 时，x+1+2x 5，无解，x1 时， x1x+25，解得：x2，故不等式的解集是x| x3 或 x2 （）证明：f（x ）=| x |+|x+2a| x+2a+ x|=|2a|+| | 2 ，当且仅当|2a|=| |，即 a= 时”=“成立
