1、2019 届 吉 林 省 长 春 市 实 验 中 学高 三 上 学 期 开 学 考 试 数 学 （ 文 ） 试 题数 学注 意 事 项 ：1 答 题 前 ， 先 将 自 己 的 姓 名 、 准 考 证 号 填 写 在 试 题 卷 和 答 题 卡 上 ， 并 将 准 考 证 号 条 形 码 粘 贴在 答 题 卡 上 的 指 定 位 置 。2 选 择 题 的 作 答 ： 每 小 题 选 出 答 案 后 ， 用 2B 铅 笔 把 答 题 卡 上 对 应 题 目 的 答 案 标 号 涂 黑 ， 写在 试 题 卷 、 草 稿 纸 和 答 题 卡 上 的 非 答 题 区 域 均 无 效 。3 非 选 择
2、题 的 作 答 ： 用 签 字 笔 直 接 答 在 答 题 卡 上 对 应 的 答 题 区 域 内 。 写 在 试 题 卷 、 草 稿 纸 和答 题 卡 上 的 非 答 题 区 域 均 无 效 。4 考 试 结 束 后 ， 请 将 本 试 题 卷 和 答 题 卡 一 并 上 交 。一、单选题1 =A B C D 2已知集合 ，则A B C D 3命题“若 ,则 且 的逆否命题是A 若 ,则 且 B 若 ,则 或C 若 且 ，则 D 若 或 ，则4下列函数中,在区间 上为增函数的是A B C D 5已知 ， ，则A B C D 6函数 的零点所在的大致区间是A B C D 7函数 的最小值为A
3、B C D 8执行如图所示的程序框图，若输入 ，则输出的结果为A 2 B 3 C 4 D 59表面积为 24 的正方体的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积是A B C D 10直线 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到 的距离为其短轴长的 ，则该椭圆的离心率为A B C D 11函数 的图象大致为A B C D 12在 中， 分别是 所对的边，若 ， ， ，则此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 A B C D 二、填空题13某同学在高三参加的九次考试成绩分别为85，94，101，110，106，123，123，122，130，则这些次成绩的中位数是_14已知向量 ，
4、，则 与 的夹角的大小为_1,3a,1bab15已知双曲线的渐近线方程为 ，焦点坐标为 ，则双曲线的方程为_.16已知奇函数 ，则函数的极大值点是_.三、解答题17已知公差为 1 的等差数列 ， 依次为一个等比数列的相邻三项.(1)求数列 的通项公式； (2)求数列 的前 10 项和.18针对国家提出的延迟退休方案，某机构进行了网上调查，所有参与调查的人中，持“支持”、“保留”和“不支持 ”态度的人数如下表所示：支持 保留 不支持岁以下岁以上（含 岁）(1)在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取 个人，已知从持 “不支持”态度的人中抽取了 人，求 的值；(2)在接受调查的人中，有 人给这项
5、活动打出的分数如下： ， ， ， ， ， ， ， ， ，把这 个人打出的分数看作一个总体，从中任取一个数，求该数与总体平均数之差的绝对值超过 的概率19如图，三棱柱 中，侧棱垂直底面， , ， 是棱 的中点.（1）证明：平面 ；（2）平面 分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.20已知抛物线 过点 .(1)求抛物线的准线方程;(2)设 为 上第一象限内的动点，过点 作抛物线的切线交其准线于点 , 为准线上一点，且，求当 最小时点 的坐标.21函数 .(1)求 的单调区间;(2)若 恒成立,求 取值范围22在直角坐标系 中，以 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆 的极坐标方程为， 直线 的
6、参数方程为 ( 为参数) ，直线 和圆 交于 两点， 是圆 上不同于 的任意一点.(1)求圆心的极坐标；(2) 求 面积的最大值.23已知函数 .（1）记函数 ，求函数 的最小值；（2）记不等式 的解集为 ，若 时，证明 .2019 届 吉 林 省 长 春 市 实 验 中 学高 三 上 学 期 开 学 考 试 数 学 （ 文 ） 试 题数 学 答 案参考答案1A【解析】【分析】根据复数运算法则计算即可.【详解】，故选 A.【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，属于中档题.2A【解析】【分析】化简集合 M，根据交集的定义即可求出.【详解】因为 ，所以 ，故选 A.【点睛】本题主要考查了集合的交集
7、运算，属于中档题.3D【解析】【分析】根据命题的逆否命题的定义即可求解.【详解】因为原命题为“若 ,则 且 ，所以逆否命题为若 或 ，则 ，故选 D.【点睛】本题主要考查了命题的逆否命题，属于中档题.4A【解析】【分析】根据基本初等函数的增减性，逐一分析即可.【详解】对于 A,因为 ，所以 在区间 上为增函数，对于 B, 在区间 上为减函数，对于 C， 在区间 上为减函数，对于 D， 在区间 上不单调，故选 A.【点睛】本题主要考查了常见基本初等函数的增减性，属于中档题.5C【解析】【分析】根据同角三角函数的关系，先求出 ，再求出 即可.【详解】因为 ， ，所以 在第四象限， ， ，故选 C.
8、【点睛】本题主要考查了同角三角函数的基本关系及三角函数在各象限的符号，属于中档题.6B【解析】【分析】根据零点存在性定理逐一判断选项即可.【详解】因为 ， 而 ，所以必在 内有一零点，所以选 B.【点睛】本题主要考查了函数的零点的存在性定理，属于中档题.7B【解析】【分析】化简函数为 ，根据正弦函数的有界性求解即可.【详解】因为 ，所以 ，故选 B.【点睛】本题主要考查了三角函数的二倍角公式及两角和正弦公式的逆用，属于中档题.8C【解析】分析：根据程序框图依次写出循环体的运行结果即可详解：由程序框图，得：，结束循环，输出的 值为 4点睛：本题考查算法初步中的程序框图、对数运算等知识，意在考查学
9、生的逻辑思维能力和基本计算能力9D【解析】【分析】根据表面积可知正方体棱长，又正方体的对角线是球的直径，即可求出球的表面积.【详解】因为 ，所以 ，所以 ， ,故 ，选 D.【点睛】本题主要考查了球的表面公式，球的内接正方体的表面积及对角线，属于中档题.10C【解析】【分析】不妨设顶点和焦点分别为 ，则直线 l 方程为 ，利用点到直线的距离公式得 ，又知 ，即可求出.【详解】不妨设顶点和焦点分别为 ，则直线 l 方程为 ,由点到直线的距离公式得，又 ，所以 ，故选 C.【点睛】本题主要考查了椭圆的焦点、顶点、离心率、短轴及点到直线的距离，属于中档题.11A【解析】分析：先利用函数为奇函数排除选
10、项 C、D，再利用特殊函数值的符号排除选项 B详解：易知 的定义域为 ，且，即函数 是奇函数，图象关于原点对称，故排除选项 C、D；又 ，故排除选项 B，故选 A点睛：在已知函数的解析式判定函数的图象时，常采用排除法，往往从以下几方面进行验证：定义域（函数的定义域优先原则）、最值、周期性、函数的奇偶性（奇函数的图象关于原点对称、偶函数的图象关于 轴对称）或对称性、单调性（基本函数的单调性、导数法）、特殊点对应的函数值等12D【解析】【分析】由余弦定理可得 ，由正弦定理可得 ,因为 ，所以 ,根据 即可求出.【详解】由余弦定理知， ，即 ，由正弦定理知 解得,因为 ，所以 ， ，故选 D.【点睛
11、】本题主要考查了正弦定理，余弦定理及两角和差的余弦公式，属于中档题.13110【解析】【分析】把数据按从小到大的顺序排成一列，85,94,101,106,110,122，123,123,130，中间一个数即为中位数.【详解】按中位数定义，把数据按从小到大的顺序排成一列，85,94,101,106,110,122，123,123,130，第5 个数即为中位数，所以中位数为 110.【点睛】本题主要考查了统计中的中位数概念，属于中档题.14 6【解析】设 与 的夹角的大小为 ，则 ，又 ，ab23cosab0，即 与 的夹角的大小为 ，故答案为 .66615【解析】分析：先利用双曲线的渐近线方程设
12、出双曲线的方程，再利用焦点坐标确定有关系数详解：将 化为 ，设以 为渐近线的双曲线方程为 ，又因为该双曲线的焦点为 ，所以 ，解得 ，即双曲线方程为 点睛：在处理双曲线的方程和其渐近线方程时，往往要先讨论双曲线的焦点在那个坐标轴上，记住以下设法，可避免讨论：双曲线 的渐近线方程可设为 ；以直线 为渐近线的双曲线方程可设为 16 【解析】【分析】根据函数是奇函数可知 ，由函数导数 ，可知其极值点，即可求解.【详解】因为函数为奇函数，所以 ，所以 ，又由得 或 ，当 或 时， ，当 时， ，所以函数在， 上单调递增，在 上单调递减，所以极大值点为 .【点睛】本题主要考查了函数奇偶性，函数的极值点，
13、属于中档题.17（1） ；（2） .【解析】【分析】（1）根据 成等比数列列方程即可求解（2）根据数列通项可得 ，相加相消即可求解.【详解】（1）因为 成等比数列，所以 ，即 ，解得 ，所以.（2）因为 ，所以【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，等比中项，裂项求和，属于中档题.解题时如果发现数列通项为分母是积的形式的分式，可以考虑裂项相消法求解.18(1)120;(2) .【解析】【分析】（1）参与调查的总人数为 20000，其中从持“不支持”态度的人数 5000 中抽取了 30 人，由此能求出 n.（2）总体的平均数为 9，与总体平均数之差的绝对值超过 0.6 的数有 8.2,8.3,
14、9.7，由此能求出任取 1 个数与总体平均数之差的绝对值超过 0.6 的概率.【详解】（1）参与调查的总人数为 8000+4000+2000+1000+2000+3000=20000,其中不支持态度的人数2000+3000=5000 中抽取了 30 人，所以 n= .（2）总体的平均数 与总体平均数之差的绝对值超过 0.6 的数有 8.2,8.3,9.7，所以任取一个数与总体平均数之差的绝对值超过 0.6 的概率 .【点睛】本题主要考查了样本容量的求法，分层抽样，用列举法求古典概型的概率，属于中档题.19(1)略；（2）1：1【解析】【分析】（1）由题意易证 平面 BDC,再由面面垂直的判定定
15、理即可证得平面 （2）设棱锥 B-DACC1 的体积为 V1，AC=1，易求 ,三棱柱 的体积 V=1,于是可得（V-V 1）:V 1=1:1 即可得出答案.【详解】证明：（1）由题意知 ,又 .由题设知 平面 BDC,又 平面 BDC1平面（2）设棱锥 B-DACC1 的体积为 V1，AC=1，由题意得 ,又三棱柱 的体积 V=1,（V-V 1）:V 1=1:1两部分体积的比为 1:1.【点睛】本题主要考查了平面与平面垂直的判定，线面垂直的判定，棱柱、棱锥的体积，属于中档题.20(1) (2) .【解析】【分析】（1）因为抛物线过点 ，代入即可求出方程（2）设抛物线上 P 点坐标，写出过 P
16、 点切线，求出 M 的坐标，再利用 求出 N 的坐标，写出 ，利用导数求其最小值即可.【详解】（1）因为抛物线过点 ，所以 ，即 ，所以抛物线方程为 .（2）设 ,过 P 的切线斜率 ，切线方程为 ，因为准线方程为 ，所以 ,又 ，可求出 ，所以 ，(t0),令 ， ，令 得 ，即，当 时 ，当 时， ，所以当 时， 有最小值，此时.【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程，切线方程，向量垂直，利用导数求函数极值，属于难题.解决本题的关键在于写出 后，利用函数求其极值点，即可得出 P 点坐标.21(1) 当 时， 增；当 时， 减， 增；(2) .【解析】【分析】（1）求导数 ，分类讨论即可求出
17、单调区间 （2）根据（1）写出函数最小值，即可求出 a 的取值范围.【详解】（1）因为 ，当 时， ，所以函数在 上单增，当 时，由得 ，且 时 ， 时 ，所以函数在 单调递减，在 单调递增. （2）当 时， 恒成立，当 时， 在 增，无最小值，不符合题意，当 时，由（1）知， 时 即可，解得 ，综上 .【点睛】本题主要考查了函数单调性，函数的极值、最值，分类讨论的思想方法，属于中档题.22(1) ;(2) .【解析】试题分析：（1）由题意可得圆 的直角坐标方程，然后即可得圆 的参数方程；（2）根据题意求得直线 的方程，即可得圆心 到直线的距离，然后求得 的值，再根据数形结合可得 到直线的最大距离，即可求出 面积的最大值.试题解析： .圆 的参数方程易知直线 为 ，圆心到直线的距离由几何图形可知 到直线 的最大距离为 面积的最大值为23（1）2；（2）略.【解析】【分析】（1）求出 的解析式，从而求出 的最小值即可（2）求出 M 的范围，根据不等式的性质证明即可.【详解】（1）由题意得 ，可得函数最小值为 2.（2）证明：由 知 ，当 时， ，即 ， .【点睛】本题主要考查了绝对值的意义，用综合法证明不等式，属于中档题.
