1、(二)直线与圆锥曲线(2)1(2018威海模拟)已知抛物线 C：y 22px(p0)的焦点 F，直线 y4 与 y 轴的交点为 P，与抛物线 C 的交点为 Q，且| QF|2|PQ|.(1)求 p 的值；(2)已知点 T(t，2)为 C 上一点， M，N 是 C 上异于点 T 的两点，且满足直线 TM 和直线 TN的斜率之和为 ，证明直线 MN 恒过定点，并求出定点的坐标83解 (1)设 Q(x0,4)，由抛物线定义知 |QF|x 0 ，p2又|QF |2|PQ |，即 2x0x 0 ，解得 x0 ，p2 p2将点 Q 代入抛物线方程，解得 p4.(p2，4)(2)由(1)知，C 的方程为 y
2、28x，所以点 T 坐标为 ，(12， 2)设直线 MN 的方程为 xmyn，点 M ， N ，(y218，y1) (y28，y2)由Error!得 y28my8n0，64m 232n0.所以 y1y 28m，y 1y28n ，所以 kMTk NT y1 2y218 12y2 2y28 12 8y1 2 8y2 28y1 y2 32y1y2 2y1 y2 4 ，64m 32 8n 16m 4 83解得 nm1，所以直线 MN 的方程为 x1m (y1) ，恒过定点(1， 1)2(2018南昌模拟)已知动圆 C 过点 F(1,0)，且与直线 x1 相切(1)求动圆圆心 C 的轨迹方程 E；(2)
3、已知点 P(4，4)，Q(8,4)，过点 Q 的直线 l 交曲线 E 于点 A，B，设直线 PA，PB 的斜率分别为 k1，k 2，求证：k 1k2为定值，并求出此定值解 (1)设 C(x，y) ，由 ，x 12 y2 |x 1|得动圆圆心 C 的轨迹方程 E 为 y24x，(2)依题意知直线 AB 的斜率不为 0，设 AB 方程为 x8m(y4) ，即 xmy 4m8，设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，由Error!得 y24my16m320，且 0 恒成立，y 1y 24m，y 1y216m32，k PAkPB y1 4x1 4y2 4x2 4 y1 4y214 4y2 4y2
4、4 4 16y1 4y2 416y1y2 4y1 y2 16 1(定值) 1616m 32 16m 163(2018四省名校大联考)如图，在平面直角坐标系中，已知点 F(1,0)，过直线 l：x4 左侧的动点 P 作 PHl 于点 H， HPF 的角平分线交 x 轴于点 M，且|PH|2| MF|，记动点 P 的轨迹为曲线 C.(1)求曲线 C 的方程；(2)过点 F 作直线 l交曲线 C 于 A，B 两点，设 ，若 ，求|AB|的取值范AF FB 12，2围解 (1)设 P(x， y)，由题意可知 |MF| PF|，所以 ，|PF|PH| |MF|PH| 12即 ，化简整理得 1，x 12
5、y2|x 4| 12 x24 y23即曲线 C 的方程为 1.x24 y23(2)由题意，得直线 l的斜率 k0，设直线 l的方程为 xmy 1，由Error!得(3m 24) y26my 90.设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，所以 (6m)2 36(3m24)144(m 21)0 恒成立，且 y1y 2 ，y 1y2 ， 6m3m2 4 93m2 4又因为 ，所以y 1y 2，AF FB 联立，消去 y1，y 2，得 ，4m23m2 4 12因为 2 ， 12 1 0，12所以 0 ，4m23m2 4 12解得 0m 2 .45又|AB| |y1y 2|m2 1 m2 1y1
6、y22 4y1y212m2 123m2 44 ，43m2 4因为 43m 24 ，325所以|AB|4 .43m2 4 3，278所以|AB|的取值范围是 .3，2784(2018合肥模拟)如图所示，在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C： 1(ab0)x2a2 y2b2的离心率为 ，短轴长为 4 .22 2(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)设 A 为椭圆 C 的左顶点，P 为椭圆 C 上位于 x 轴上方的点，直线 PA 交 y 轴于点 M，点N 在 y 轴上，且 0，设直线 AN 交椭圆 C 于另一点 Q，求APQ 面积的最大值MF FN 解 (1)由题意得Error!解得Error!
7、所以椭圆 C 的标准方程为 1.x216 y28(2)由题意可设直线 PA 的方程为 yk(x4)，k0，则 M(0,4k)，又 F(2 ，0) ，且 0，2 MF FN 所以 MFFN，所以直线 FN 的方程为 y (x2 )，224k 2则 N ，联立Error!(0， 2k)消去 y 并整理得(1 2k 2)x216k 2x32k 2160，解得 x14，x 2 ，4 8k21 2k2则 P ，(4 8k21 2k2， 8k1 2k2)直线 AN 的方程为 y (x4) ，12k同理可得 Q ，(8k2 41 2k2， 8k1 2k2)所以 P，Q 关于原点对称，即 PQ 过原点，所以A
8、PQ 的面积 S OA|yPy Q|122 8 ，16k1 2k2 322k 1k 2当且仅当 2k ，即 k 时，等号成立，1k 22所以APQ 面积的最大值为 8 .25(2018峨眉山模拟)如图，圆 C 与 x 轴相切于点 T(2,0)，与 y 轴正半轴相交于两点M，N(点 M 在点 N 的下方)，且| MN|3.(1)求圆 C 的方程；(2)过点 M 任作一条直线与椭圆 1 相交于两点 A，B，连接 AN，BN，求证：x28 y24ANMBNM.(1)解 由题意可知圆心的坐标为 .(2，r)|MN | 3， r2 22 2 ，r ，(32) 254 52圆 C 的方程为(x2) 2 2 .(y 52) 254(2)证明 由圆 C 方程可得 M(0,1)，N(0,4)，当 AB 斜率不存在时，ANMBNM0 ；当 AB 斜率存在时，设直线 AB 方程为 ykx1.设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，联立Error!得(12k 2)x24kx 60，x1x 2 ，x 1x2 ，4k1 2k2 61 2k2k ANk BN y1 4x1 y2 4x22kx1x2 3x1 x2x1x2 0，2k( 61 2k2) 3( 4k1 2k2) 61 2k2k ANk BN0，综上所述，ANMBNM.
