1、(一)直线与圆锥曲线(1)1(2018烟台模拟)已知椭圆 C： 1( ab0)，点 在椭圆上，过 C 的焦点且与x2a2 y2b2 (3，32)长轴垂直的弦的长度为 .13(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)过点 A(2,0)作两条相交直线 l1，l 2，l 1 与椭圆交于 P， Q 两点(点 P 在点 Q 的上方)，l 2 与椭圆交于 M，N 两点(点 M 在点 N 的上方) ，若直线 l1 的斜率为 ，S MAP SNAQ ，求直17 2534线 l2 的斜率解 (1)由已知得Error!解得 a6，b1.故椭圆 C 的标准方程为 y 21.x236(2)由题设可知：直线 l1 的方程为
2、x7y 2.联立Error!整理得 85y228y 320.yP ，y Q .817 45 .|AQ|AP| |yQ|yP|45817 1710设MAP QAN ，S MAP S NAQ，2534 |AM|AP|sin |AN|AQ|sin ，12 2534 12即 .|AM|AN| 2534 |AQ|AP| 2534 1710 54设直线 l2 的方程为 xmy 2(m0) ，将 xmy2 代入 y 21，x236得(m 236) y24my 320.设 M(x1，y 1)， N(x2，y 2)，则 y1y 2 ，y 1y2 .4mm2 36 32m2 36又y 1 y2，54 y2y 2
3、， y ，54 4mm2 36 542 32m2 36y 2 ，y ，16mm2 36 2 1285(m2 36) 2 ，( 16mm2 36) 1285m2 36解得 m24，m2，此时式的判别式大于零故直线 l2 的斜率为 .122(2018南昌模拟)已知椭圆 C： 1( ab0)的两焦点分别是 F1 ，F 2 ，x2a2 y2b2 ( 2，0) ( 2，0)点 E 在椭圆 C 上(2，322)(1)求椭圆 C 的方程；(2)设 P 是 y 轴上的一点，若椭圆 C 上存在两点 M，N，使得 2 ，求以 F1P 为直径的MP PN 圆面积的取值范围解 (1)由已知，得半焦距 c ，22a|E
4、F 1| EF2| 4 ，8 92 322 2所以 a2 ，所以 b2a 2c 2826，2所以椭圆 C 的方程是 1.x28 y26(2)设点 P 的坐标为(0，t)，当直线 MN 斜率不存在时，可得 M，N 分别是短轴的两端点，得到 t .63当直线 MN 斜率存在时，设直线 MN 的方程为 ykxt ，M (x1，y 1)，N(x 2，y 2)，则由 2 得 x12x 2，MP PN 联立Error!得(34k 2)x2 8ktx4t 2240，由题意，得 64k2t24(34k 2)(4t224)0，整理得 t212)的距离为 .58(1)求抛物线 C 的方程；(2)若 P 是 C 上
5、一动点，且 P 不在直线 l：y2x9y 0 上，l 交 C 于 E，F 两点，过 P 作直线垂直于 x 轴且交 l 于点 M，过 P 作 l 的垂线，垂足为 N.证明： |EF|.|AM|2|AN|(1)解 依题意得Error! ，18p p2 58p ，p1，故抛物线 C 的方程为 x22y .12(2)证明 由(1)知，y 0 ，联立Error!18得 4x216x90，解得 x1 ，x 2 ，12 92|EF| 5 .1 22|92 ( 12)| 5设 P ，(m，m22)(m 12且 m 92)则 M 的横坐标为 m，易知 A 在 l 上，则|AM | .5|m 12|由题意可知直线
6、 PN 的方程为 y (xm) ，m22 12与 y2x 联立可得 xN ，98 15(m2 m 94)所以|AN | 5|15(m2 m 94) 12| ，55|(m 12)2|则 5 ，故 |EF|.|AM|2|AN| 5 |AM|2|AN|4(2018甘肃省西北师范大学附属中学模拟) 已知椭圆 C： 1( ab0)，A，B 是椭圆x2a2 y2b2与 x 轴的两个交点，M 为椭圆 C 的上顶点，设直线 MA 的斜率为 k1，直线 MB 的斜率为k2，k 1k2 .23(1)求椭圆 C 的离心率；(2)设直线 l 与 x 轴交于点 D( ，0)，交椭圆于 P，Q 两点，且满足 3 ，当OP
7、Q3 DP QD 的面积最大时，求椭圆 C 的方程解 (1)M (0，b)，A( a,0)，B(a,0) ，k 1 ，k 2 ，ba bak1k2 ，e .baba b2a2 23 ca 33(2)由(1)知 e ，ca 33得 a23c 2，b 22c 2，可设椭圆 C 的方程为 2x23y 26c 2，设直线 l 的方程为 xmy ，3由Error!得(2m 23) y24 my66c 20，3因为直线 l 与椭圆 C 相交于 P(x1，y 1)，Q (x2，y 2)两点，所以 48m24(2 m23)(66c 2)0，由根与系数的关系得，y 1y 2 ，y 1y2 .43m2m2 3 6
8、 6c22m2 3又 3 ，所以 y13y 2，DP QD 代入上述两式得 66c 2 ，36m22m2 3所以 SOPQ |OD|y1y 2|12 32| 83m2m2 3| ，12|m|2|m|2 3 122|m| 3|m| 6当且仅当 m2 时，等号成立，此时 c2 ，32 52代入 ，此时 0 成立，所以椭圆 C 的方程为 1.2x215 y255(2018天津市部分区模拟) 已知椭圆 C： 1( ab0)的离心率为 ，椭圆的一个顶x2a2 y2b2 22点与两个焦点构成的三角形面积为 2.(1)求椭圆 C 的方程；(2)已知直线 yk( x1)(k0)与椭圆 C 交于 A，B 两点，
9、且与 x 轴，y 轴交于 M，N 两点()若 ，求 k 的值；MB AN ()若点 Q 的坐标为 ，求证： 为定值(74，0) QA QB (1)解 因为 1(a b0)满足 a2b 2c 2，x2a2 y2b2又离心率为 ，所以 ，22 ca 22即 a22c 2，代入 a2b 2c 2，得 b2c 2.又椭圆 C 的顶点与其两个焦点构成的三角形的面积为 2，即 b2c2，即 bc2，b 2c24，12以上各式联立解得 a24，b 22，则椭圆 C 的方程为 1.x24 y22(2)()解 直线 yk (x1)与 x 轴交点为 M(1,0)，与 y 轴交点为 N(0，k)，联立Error!消
10、去 y 得，(12k 2)x24k 2x2k 240，16k 44(12k 2)(2k24) 24k 2160 ，设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，则 x1x 2 ，4k21 2k2又 (x 21，y 2)， (x 1，k y 1)，MB AN 由 ，得 x1x 2 1，MB AN 4k21 2k2解得 k ，由 k0，得 k .22 22()证明 由()知 x1x 2 ，x 1x2 ，4k21 2k2 2k2 41 2k2所以 QA QB (x1 74，y1)(x2 74，y2) y 1y2(x1 74)(x2 74) k 2(x11)(x 21)，(x1 74)(x2 74)(1k 2) k 2 ，2k2 41 2k2 ( 74 k2) 4k21 2k2 4916 ，2k2 4 2k4 4k2 7k2 4k4 k2 2k41 2k2 4916 4 ，为定值， 8k2 41 2k2 4916 4916 1516所以 为定值QA QB
