1、 2019 年高考数学讲练测【新课标版 】 【讲】【考纲解读】考 点考纲内容 5 年统计 分析预测直线与圆、圆与圆的位置关系（1）能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系 .（2）能用直线和圆的方程解决一些简单的问题 .（3）初步了解用代数方法处理几何问题的思想.2013新课标 I.21;II. 20;2014新课标 I. 20.2015新课标 I. 20.2016新课标 I.15;III. 15;2018新课标 I.15,22;II.20；III.8.1.考查圆的切线问题.2.考查圆的弦长问题3.圆与圆锥曲线的综合问题.4.高考对圆的方程的考查
2、，一般是以小题的形式出现，也有与向量、圆锥曲线等相结合的问题纵观近几年的高考试题，主要考查以下几个方面：一是考查圆的方程，要求利用待定系数法求出圆的方程，并结合圆的几何性质解决相关问题；二是考查直线与圆的位置关系，高考要求能熟练地解决圆的切线问题，弦长问题是高考热点，其中利用由圆心距、半径与半弦长构成的直角三角形，是求弦长问题的关键三是判断圆与圆的位置关系，确定公共弦所在的直线方程.近几年多与圆锥曲线问题综合考查.5.备考重点：(1)掌握讨论位置关系的两种方法-代数法、几何法，特别关注圆的“特征三角形”；(2)利用数形结合思想，灵活处理综合问题.【知识清单】1.直线与圆相切1.直线与圆相切：直
3、线与圆有且只有一个公共点；2.几何法：圆心到直线的距离等于半径， 即 dr；3.代数法： 0，方程组有一组不同的解.2.直线与圆相交及弦长1.直线与圆相交：直线与圆有两个公共点；2.几何法：圆心到直线的距离小于半径，即 dr；3.代数法： 0，方程组有两组不同的解.3.圆与圆的位置关系设两圆的圆心分别为 1C、 2，圆心距为 12dC，半径分别为 R、 r( ).(1)两圆相离：无公共点； dRr，方程组无解.(2)两圆外切：有一个公共点； ，方程组有一组不同的解.(3)两圆相交：有两个公共点； r，方程组有两组不同的解.(4)两圆内切：有一公共点； d，方程组有一组不同的解.(5)两圆内含：
4、无公共点； 0R，方程组无解.特别地， 0d时，为两个同心圆.【重点难点突破】考点 1 直线与圆相切【1-1】 【2018 届广东省深圳市南山区高三上入学 】过点 ，且倾斜角为 的直线与圆相切于点 ，且 ，则 的面积是( )A. B. C. 1 D. 2.【1-2】过点 3,2M作圆 2:40Oxy的切线方程是 【答案】 y或 5190【领悟技法】设圆的圆心为 0(,)Cxy半径分别为 r，直线的方程为 0AxByC.若直线与圆相切，则圆心到直线的距离 2AB，直线与圆相切的问题，往往用这个结论解题.【触类旁通】【变式一】 【安徽省皖中地区 2019 届高三入学摸底】若过点 有两条直线与圆相切
5、，则实数 的取值范围是（ ）A B C D 【答案】D【解析】圆的方程化为标准式为 因为点 有两条直线与圆 相切所以 点 在圆外所以 解不等式组得 所以选 D【变式二】已知直线 :l2(1)40mxy，若对任意 mR，直线 l与一定圆相切，则该定圆方程为 【答案】 22xy【解析】取特殊值 0,1，三条直线分别为 4,0yx，这三条直线只与圆22()()4xy都相切，经验证，对任意 mR，直线 l都与这个圆相切.【综合点评】1.求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求直线方程若点在圆上(即为切点) ，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时应注意斜率不存
6、在的切线2.利用直线与圆相切，确定参数的值（范围） ，往往利用几何法较为简单.考点 2 直线与圆相交及弦长【2-1】 【2018 届湖北省华师一附中 9 月调研】已知圆 C： 224xay（ 0a）及直线 l： 30xy，当直线 l被 C 截得的弦长为 23时，则 = （ ）A. 2 B. 2 C. 1 D. 21【答案】C【解析】由题意，得 22341a，解得 a，又因为 0a，所以 21；故选 C.【2-2】直线 l经过点 (5,)P，且与圆 2:5Cxy相交，截得弦长为 45，求 l的方程【答案】 20xy或 0xy【领悟技法】1. 如下图所示，涉及直线与圆相交及弦长的题，都在 RtAO
7、B中，利用勾股定理，得半径弦长及弦心距之间的关系式.BAO2.弦长的计算：方法一、设圆的半径为 R，圆心到直线的距离为 d，则弦长 2lRd.方法二、设直线的斜率为 k，直线与圆的交点坐标为 12(,)(,)PxyQ，则弦长212122PQxyk.【触类旁通】【变式一】 【四川省成都经济技术开发区实验中学校 2019 届高三入学】已知直线 和圆相交于 两点，若 ，则 的值为A B C D 【答案】C【变式二】 【2016 高考新课标文数】已知直线 l： 360xy与圆 21xy交于 ,AB两点，过,AB分别作 l的垂线与 x轴交于 ,CD两点，则 |_.【答案】4【解析】由 360y，得 36
8、y，代入圆的方程，并整理，得 2360y，解得12,y，所以 12,x，所以 211|()()ABxy又直线 l的倾斜角为 0，由平面几何知识知在梯形 DC中， | 4cos30【综合点评】1.确定直线方程，往往依据斜率是否存在进行分类讨论，利用圆心 到直线的距离求直线的斜率；2.利用圆心到直线的距离可列方程求解；3.利用几何法将弦长转化为圆心到直线的距离，是解答此类问题的常用方法4.利用数形结合思想，将问题灵活加以转化，往往能起到事半功倍的效果.考点 3 圆与圆的位置关系【3-1】 【2018 届黑龙江省海林市朝鲜中学高考综合卷（一） 】已知两点 ,0Aa， ,B（ 0a） ，若曲线 232
9、0xyxy上存在点 P，使得 9B，则正实数 的取值范围为（ ）A. 0, B. 1, C. ,3 D. 1,2【3-2】已知圆 21:610Cxy，圆 2:410Cxy，求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长 【答案】 340, 5.【解析】将两圆方程相减得相交弦的方程为： 3460xy.将 21:61Cxy配方得： 22(1)()9，圆心到公共弦的距离为23954d.所以弦长为 955.【领悟技法】1.两圆公共弦的直线方程即为联立两圆方程消去二次项所得的二元一次方程；2.求 两圆的公共弦长，往往在一个圆中，应用勾股定理求解. 【触类旁通】【变式一】若圆 22xym与圆 268xy10相切，
10、求实数 m的值【答案】 1或【变式二】 【四川省宜宾市第四中学 2018 届高考适应性】已知圆 截直线所得线段的长度是 ，则圆 与圆 的位置关系是( )A 内切 B 相离 C 外切 D 相交【答案】D【解析】圆的标准方程为 ，则圆心为 ，半径 ，圆心到直线 的距离 圆 截直线 所得线段的长度是 ，即 ，即 ，则圆心为 ，半径 ，圆 的圆心为 ，半径 ，则 ，即两个圆相交故选 D【综合点评】1. 比较两圆半径的和、差与两圆圆心距的大小可得两圆的位置关系；2. 两圆方程相减即得公共弦方程；3. 公共弦长要通过解直角三角形获得考点 4 直线、圆的位置关系的综合应用【4-1】 【重庆市 綦江中学 20
11、18 届高考适应性】已知圆 ，点 为直线 上一动点，过点 向圆 引两条切线 为切点，则直线 经过定点.（ ）A B C D 【答案】B-得 ，化为 ，由 ，可得 总满足直线方程，即 过定点 ，故选 B.【4-2】设圆 22(3)(5)(0)xyr上有且仅有两个点到直线 4320xy的距离等于 1，则圆半径 r 的取值范围是 【答案】 6【解析】圆心 (3,5)C到已知直线 4320xy的距离为： 2|(5)1|43，xy 4x-3y-2=041 CO【4-3】已知点 (2,0)P及圆 C： 2640xy.若直线 l过点 且与圆心 的距离为 1，求直线 l的方程；设过点 P 的 直线 1l与圆
12、交于 M、 N两点，当 时，求以线段 MN为直径的圆 Q的方程；设直线 0axy与圆 交于 A， B两点，是否存在实数 a，使得过点 (2,0)P的直线 2l垂直平分弦AB？若存在，求出实数 a的值；若不存在，请说明理由.【答案】 346或 2x； 2()4y；不存在实数 ，使得过点 (, )的直线2l垂直平分弦 .由于 5CP，而弦心距 22()5MNdr， 所以 d5CP.所以 恰为 MN的中点.故以 为直径的圆 Q的方程为 2()4xy.把直线 1yax代入圆 C的方程，消去 ，整理得2()6()90由于直线 xy交圆 于 ,AB两点，故 2231a，即 0，解得 则实数 的取值范围是
13、(,0).设符合条件的实数 a存在，由于 2l垂直平分弦 AB，故圆心 (3, 2)C必在 2l上所以 2l的斜率 PCk，而 1ABPCka，所以 1a由于 1(, 0)，故不存在实数 ，使得过点 (2, 0)的直线 2l垂直平分弦 AB【领悟技法】1.两圆公共弦的直线方程即为联立两圆方程消去二次项所得的二元一次方程；2.求两圆的公共弦长，往往在一个圆中，应用勾股定理求解.【触类旁通】【变式一】 【广西南宁三中、柳铁一中、玉林高中联考】在平面直角坐标系 xOy中，已知2115xy， 240xy，则 2211xy的最小值为（ ）A. B. C. 1 D. 5【答案】B【变式二】过点 2,1作圆
14、 224xy的弦，其中最短的弦长为 .【答案】 .【解析】如下图所示，圆的圆心坐标为 1,2A，点 ,1P，过点 作圆的弦 BC，过点 A作 DBC，垂足为点 D，则 24BCD，且 AD，当点 与点 P重合时， 取最大值，此时 取最小值，且 22max1，因此 2min4.yxOPBADC【综合点评】数形结合思想的应用，是解析几何的重要特征，解题过程中要通过分析题目的条件和结论，灵活的加以转化.【易错试题常警惕】易错典例：求过点 3,1M的圆 22(1)()4Cxy： 的切线方程易错分析：易忽视切线斜率不存在的情况而失解温馨提醒：求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求直线
15、方程若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时应注意斜率不存在的切线【学科素养提升之思想方法篇】数形结合百般好，隔裂分家万事休数形结合思想数形结合是一种重要的数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质. 数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问
16、题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化.在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围. 在解答三视图、直观图问题中，主要是通过图形的恰当转化，明确几何元素的数量关系，进行准确的计算如：【典例】已知直线 :2140lmxym上总存在点 M，使得过 点作的圆 C： 2430xy的两条切线互相垂直，则实数 的取值范围是（ ）A. 1或 B. 8 C. 21 D. 2或 8m【答案】C【解析】
