1、1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积教案一、教学目标1、知识与技能（1）通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积和体积的求法。（2）能运用公式求解，柱体、锥体和台全的全积，并且熟悉台体与术体和锥体之间的转换关系。（3）培养学生空间想象能力和思维能力。2、过程与方法（1）让学生经历几何全的侧面展一过程，感知几何体的形状。（2）让学生通对照比较，理顺柱体、锥体、台体三间的面积和体积的关系。3、情感与价值通过学习，使学生感受到几何体面积和体积的求解过程，对自己空间思维能力影响。从而增强学习的积极性。二、教学重点、难点重点：柱体、锥体、台体的表面积和体积计算难点：台体体积公式的推导三、学
2、法与教学用具1、学法：学生通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，通过剖析实物几何体感受几何体的特征，从而更好地完成本节课的教学目标。2、教学用具：实物几何体，投影仪四、教学设想通过分析柱体、锥体和台体空间结构的内在联系，让学生感受柱体、锥体和台体的体积之间的关系，体会数与形的完美结合教学过程：一、问题情境类似于用单位正方形的面积度量平面图形的面积，我们可以用单位正方体（棱长为 1 个长度单位的正方体）的体积来度量几何体的体积一个几何体的体积是单位正方体体积的多少倍，那么这个几何体的体积的数值就是多少长方体的长、宽、高分别为 a， b， c，那么它的体积为V 长方体 =abc 或 V
3、长方体 =Sh（这里， S， h 分别表示长方体的底面积和高 ）二、学生活动阅读课本 P59“祖暅原理” 思考：两个底面积相等、高也相等的棱柱（圆柱）的体积如何？三、建构数学1柱体的体积棱柱（圆柱）可由多边形（圆）沿某一方向平移得到，因此，两个底面积相等、高也相等的棱柱（圆柱）应该具有相等的体积 V柱体 = sh2锥体的体积类似地,底面积相等,高也相等的两个锥体的体积也相等 13Vsh锥 体3台体的体积上下底面积分别是 S,S,高是 h，则1()3S体柱体、锥体、台体的体积公式之间有怎样的关系呢？4球的体积一个底面半径和高都等于 R 的圆柱，挖去一个以上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥后，所
4、得几何体的体积与一个半径为 R 的半球的体积有什么样神奇的关系呢？相等，所以 223113VRA球 34V球四、数学运用例 1 有一堆规格相同的铁制（铁的密度是 )六角螺帽共重 6kg，37.8/kgcm已知底面是正六边形，边长为 12mm,内孔直径为 10mm，高为 10mm，问这堆螺帽大约有多少个（ 取 314，可用计算器）？分析：六角螺帽的体积是一个正六棱柱的体积与一个圆柱的体积的差，再由密度算出一个六角螺帽的质量解： ,2233310163.4()956()2.956()4Vmc所以螺帽的个数为（个）60(7.8295)0答：这堆螺帽大约有 260 个例 2 圆锥形封闭容器，高为 h，
5、圆锥内水面高为 ,若将圆锥倒置后，1,3h圆锥内水面高为 ,求 2h分析：圆锥正置与倒置时，水的体积不变，另外水面是平行于底面的平面，此平面截得的小圆锥与原圆锥成相似体，它们的体积之比为对应高的立方比 解： 328()7SABCDhV 1332219199:27Vhhh水 水 锥锥 倒 置 后 ：例 3 用刀切一个近似球体的西瓜，切下的较小部分的圆面直径为 30 cm，高度为 5 cm，该西瓜体积大约有多大? 当堂训练1.正方体的表面积是 96，则正方体的体积是（ ）A. B.64 C.16 D.96648分析：设正方体的棱长为 a，则 6a2=96，解得 a=4，则正方体的体积是 a3=64
6、.答案：B2.（2007 山东临沂高三期末统考，文 2）如图 19 所示，圆锥的底面半径为 1，高为 ，则圆锥的表面积为（ ）3A. B.2 C.3 D.4分析：设圆锥的母线长为 l，则 l= =2，所以圆锥的表面积为13S=1(1+2)=3.答案：C3.正三棱锥的底面边长为 3，侧棱长为 ，则这个正三棱锥的体积是（ 32）A. B. C. D.4274947439分析：可得正三棱锥的高 h= =3，于是 V= .22)3(312答案：D4.若圆柱的高扩大为原来的 4 倍，底面半径不变，则圆柱的体积扩大为原来的_倍；若圆柱的高不变，底面半径扩大为原来的 4 倍，则圆柱的体积扩大为原来的_倍.分
7、析：圆柱的体积公式为 V 圆柱 =r 2h，底面半径不变，高扩大为原来的 4 倍，其体积也变为原来的 4 倍；当圆柱的高不变，底面半径扩大为原来的 4 倍时，其体积变为原来的 42=16 倍.答案：4 165.图 20 是一个正方体，H、G、F 分别是棱 AB、AD、AA 1的中点.现在沿GFH 所在平面锯掉正方体的一个角，问锯掉部分的体积是原正方体体积的几分之几?图 20分析：因为锯掉的是正方体的一个角，所以 HA 与 AG、AF 都垂直，即 HA 垂直于立方体的上底面，实际上锯掉的这个角，是以三角形 AGF 为底面，H 为顶点的一个三棱锥.解：设正方体的棱长为 a，则正方体的体积为 a3.
8、三棱锥的底面是 RtAGF，即FAG 为 90，G、F 又分别为 AD、AA 1的中点，所以 AF=AG= .所以AGF 的面积为 .又因 AH 是三棱锥21 28121的高，H 又是 AB 的中点，所以 AH= .所以锯掉的部分的体积为a.324813aa又因 ,所以锯掉的那块的体积是原正方体体积的 .13 4816.（2007 山东临沂高三期末考试，理 13）已知一圆锥的侧面展开图为半圆，且面积为 S，则圆锥的底面面积是_.分析：如图 21，设圆锥底面半径为 r，母线长为 l，由题意得 解得 r=,2rlS，所以圆锥的底面积为 r 2= .2S S图 21答案： 2S7.如图 22，一个正
9、三棱柱容器，底面边长为 a，高为 2a，内装水若干，将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图 23，这时水面恰好为中截面，则图 22 中容器内水面的高度是_.图 22 图 23分析：图 22 中容器内水面的高度为 h，水的体积为 V，则 V=SABC h.又图 23 中水组成了一个直四棱柱，其底面积为 ，高度为 2a，则ABCS43V= 2a，h= .ABCS43aSABC243答案： a28.圆台的两个底面半径分别为 2、4，截得这个圆台的圆锥的高为 6，则这个圆台的体积是_.分析：设这个圆台的高为 h，画出圆台的轴截面，可得 ，解得 h=3，42h所以这个圆台的体积是 (22+24+42)3=
10、28.3答案：289.已知某个几何体的三视图如图 24，根据图中标出的尺寸（单位：cm）,可得这个几何体的体积是（ ）图 24A. cm3 B. cm3 C.2 000 cm3 D.4 4080000 cm3分析：该几何体是四棱锥，并且长为 20 cm 的一条侧棱垂直于底面，所以四棱锥的高为 20 cm,底面是边长为 20 cm 的正方形（如俯视图） ，所以底面积是2020=400 cm2，所以该几何体的体积是 40020= cm3.3180答案：B拓展提升问题：有两个相同的直三棱柱，高为 ，底面三角形的三边长分别为a23a,4a,5a(a0).用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中
11、，表面积最小的是一个四棱柱，则 a 的取值范围是_.探究：两个相同的直三棱柱并排放拼成一个三棱柱或四棱柱，有三种情况：四棱柱有一种，就是边长为 5a 的边重合在一起，表面积为 24a2+28，三棱柱有两种，边长为 4a 的边重合在一起，表面积为 24a2+32，边长为 3a 的边重合在一起，表面积为 24a2+36，两个相同的直三棱柱竖直放在一起，有一种情况，表面积为 12a2+48,最小的是一个四棱柱，这说明 24a2+2812a 2+48 12a220 0a .315答案：0a 315课堂小结本节课学习了：1.柱体、锥体、台体的表面积和体积公式.2.应用体积公式解决有关问题.作业习题 1.3 A 组 第 1、2、3 题.
