1、江南中学数学学科教学设计课题 5.从力做的功到向量的数量积 授课人 李枭兵课时安排 1 课时 课型 新授授课时间 第 4 周课标依据 向量是近代数学中最重要的概念之一；向量的几何形式与代数形式的“双重身份”以及它的一套优良的运算系统使它成为“重要工具”和“桥梁” ；数量积的坐标表示为解决“形”中的长度、角度等问题带来了方便；有助于理解和掌握 数形结合的思想方法；为学习物理等其他学科解决实际问题作准备；教材分析 平面向量数量积是人教版高一下册第五章第六节内容，本节课是以解决某些几何问题、物理问题等的重要工具。学习本节要掌握好数量积的定义、公式和性质，它是考查数学能力的一个结合点，可以构建向量模型
2、，解决函数、三角、数列、不等式、解析几何、立体几何中有关长度、角度、垂直、平行等问题，因此是高考命题中“在知识网络处设计命题”的重要载体。文一 学生已经学习了有关向量的基本概念和基础知识，同时也已经具备一定的自学能力，多数同学对数学的学习有相当的兴趣和积极性。但在探究问题的能力、合作交流的意识等方面发展不够均衡，尚有待加强。学情分析理一 学生已经学习了有关向量的基本概念和基础知识，同时也已经具备一定的自学能力，多数同学对数学的学习有相当的兴趣和积极性。但在探究问题的能力、合作交流的意识等方面发展不够均衡，尚有待加强。知识与能力（1）通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义、
3、几何意义。（2）体会平面向量的数量积与向量投影的关系； 向量的夹角。（3）掌握平面向量数量积性质和运算律及它的一些简单应用。过程与方法 教材利用同学们熟悉的物理知识（“做功” ）得到向量的数量积的含义及其物理意义、几何意义。通过讲解例题，培养学生逻辑思维能力.三维目标情感态度与价值观 通过本节内容的学习，使同学们认识到向量的数量积与物理学的做功有着非常紧密的联系；让学生进一步领悟数形结合的思想；同时以较熟悉的物理背景去理解向量的数量积，有助于激发学生学习数学的兴趣、积极性和勇于创新的精神.教学重点 向量数量积的概念、物理意义、几何意义及其性质；向量数量积的运算律.教学重难点教学难点 对向量数量
4、积概念的理解和应用。教法 讲练结合，演示法，讨论学习与学法信息技术应用分析知识点 学习目标 媒体内容与形式 使用方式 媒体来源课程导入 情感、态度与价值 观 视频 教师播放 下载创设情境 知识与技能过程与方法 电子白板（时钟计时器） 教师演示 教师制作揭示课题 知识与技能过程与方法电子白板（特效交互功能） 教师演示 教师制作归纳公式知识与技能情感、态度与价值观电子白板（移动、智能笔、特效交互功能）教师演示学生操作 教师制作课堂练习 知识与技能过程与方法电子白板（特效交互功能、钢笔） 学生操作演示 教师制作师生活动 设计意图 批注教学活动设计引出新课1、问题 1：请同学们回顾一下，我们已经研究了
5、向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？2、问题 2：两个向量之间能进行乘法运算吗？物理学中有没有两个向量之间的有关乘法运算？阅读课文第 91 页实例分析。回答下列问题：（1）如图所示，一物体在力 F 的作用下产生位移 S，那么力 F 所做的功：W= （2）这个公式有什么特点？请完成下列填空： W（功）是 量， F（力）是 量， S（位移）是 量， 是 。090时，w 0，力做 复习回顾，引发新知.认识和理解向量数量积的几何意义功； =90，w 0，力不做功；90180，w 0，力做 功。（3）你能用文字语言表述“功的计算公式”吗?（4）如果我们将公式中的力与位移的运算推广到一般向量，其结果又该
6、如何表述？还应该注意什么问题？探究问题：1、向量的夹角：已知两个非零向量 与 ，作ab= ， = ，AOB=OAaB（0 180）叫作向量与 的夹角。b当 =0时， 与 同向；当ab=180时， 与 反向；当 =90时， 与 垂直，记作 。ab规定：零向量可与任一向量垂直。画出以下几组向量的夹角：练习：在 中已知 A=45，ABCB=50，C=85。求下列向量的夹角：（1）（2） （3）与 与的夹角。AC与 B2、射影的概念叫作向量 在 方向上cosbba的射影。从几何直观入手，即通过让学生自己作图，以及独立观察、思考，让学生对向量的伸缩有一个初步的感性认识，进而为下一步对向量的数乘的定义及其
7、几何意义的理性认识作好铺垫。从从直观入手，从具体开始，逐步抽象。通过师生互动，得到向量数量给出如下六个图形，让学生指出 在 方向上的射影，并判断其ba正负。注意：射影也是一个数量，不是向量。当为锐角时射影为 值；当 为钝角时射影为 值；当 为直角时射影为 ；当 = 0时射影为 ；当 = 180时射影为 3、数量积的定义：已知两个向量 与 ，它们的ab夹角为 ，我们把数量 cos 叫做 与a的数量积（或内积） ，记作：b ，即： = bacos注意： 不能写成 或b的形式。ab两个向量的数量积是一个数量。这个数量的大小与这两个向量的长度及夹角有关。其正负如何确定？当 为锐角时，0；cosab当
8、为钝角时，积通过例 1 加深学生对数乘向量运算律的理解.运用共线知识加强练习.让学生掌握本节知识.引导学生体会本节学习中用到的思想方法：特殊到一般，归纳，猜想，类比，分类讨论，等价转化.0；cosab当 时，90=0；s当 时， ；ab当 时， 。180数量积的几何意义：数量积 等于 的长度 与aba在 方向上投影 的乘积，cos或 的长度 与 在 方向上b投影 的乘积。cosa数量积的物理意义：力 F 与其作用下物体位移 s 的数量积 s4、向量数量积的性质请完成下列练习，并通过观察，看看自己能否发现向量数量积的性质。（1）已知 ， 为单位向量，8ae当它们的夹角为时 ，求 在 方3ae向上
9、的投影及 e、性质为： （2）已知 ， ， 与2a3ba的交角为 ，则 b90性质为： （3）若 ， ， 、 共1a3ba线，则 性质为： （4）已知 ， ，且3m4n，则 与 的夹角为 6n性质为： 性质：(1),cos是 单 位 向 量eaea（2） 0 90b(3)/aba* 22特 别 地 :或* ， （ 0）4cosab(5)/当 且 仅 当 时 等 号 成 立 )5、运算定律：已知向量 、 、 和实数 ，abc则：1.交换律： = a2.数乘结合律：（ ） =（ )= ab（ ）3.分配律： （ + ） = ca+ cb巩固深化，发展思维判断下列各题是否正确。若 = ，则对任一向量
10、 ，有a0b = 0. ( ab)若 ，则对任一非零向量0，有 . ( ba)若 ， = 0，则 = 0b. ( )若 = 0，则 、 至少有abab一个为零. ( ) 若 ， = ，则c= ( bc)对任意向量 ， ， ，有abc( ) （ ） ab( )对任意向量 ，有 = a| |2. a应用与提高例 1、 （1）已知 =5, =4, 与 的夹角bab=120，求 。（2）已知 =6， =4, 与 的夹abab角为 60，求（ +2 ） （ -3 ） ，| +2 |；并思考此运算过程类似于哪种实数运算？例 2、对任意向量 ， b 是否有以a下结论：（1） ( + )2= 2+2 a+ 2
11、 b（2） ( + )( - )= ab2 2学习小结：（学生总结，其他学生补充）向量的夹角、射影、向量的数量积.向量数量积的几何意义和物理意义.向量数量积的五条性质.向量数量积的运算律.体现了数形结合的数学思想。当堂检测有效练习（1）已知 =5, =4, 与 的夹角 =120，abab求 。b（2）已知 =6， =4, 与 的夹角为 60，求（+2 ）（ -3 ） ，| +2 |；并思考此运算过程类似于哪种aab实数运算？作业布置 专家伴读 对应练习板书设计5.从力的做功到向量的数量积1. 投影的定义； 例 2、变式一、变式二2.向量数量积的运算 3.向量数量积运算下 课堂练习例题讲解 课堂
12、小结例 1教学反思我通过力对物体所做的功的物理模型引入数量积这一概念的，之后剖析概念，通过小组讨论，让学生分析定义应注意的问题，特别强调数量积的结果不是一个向量，而是一个数量。通过练习，进一步熟悉巩固向量的数量积的定义，这个小题目的是提醒学生要注意，两个非零向量的夹角问题要通过平移使这两个向量共起点。接下来，通过分析平面向量数量积的定义，体会平面向量的数量积的几何意义，从而使学生从代数和几何两个方面对数量积的“质变”特征有了更加充分的认识，而且为后面证明平面向量的数量积的分配律铺垫。数量积的运算律是数量积概念的延伸，数量积的运算律则是通过和实数乘法相类比得到，这样不仅使学生感到亲切自然，同时也
13、培养了学生由特殊到一般的思维品质和类比创新的意识。为了让学生完成这个探究活动，我引导学生从平面向量的数量积的几何意义入手问题，师生共同完成证明过程。通过这节课的教学， 我感觉不足的有： （1）教师应该如何准确的提出问题 在教学中，我提出问题，平面向量的数量积的定义中你认为应注意哪些问题？这个问题问的不够具体，学生不知道给如何回答。其实这个问题，我也曾考虑过该如何问，只是没有找到更合适的提问方法，能力有待加强。 （2）教师如何把握“收” 与“放”的问题 何时放手让学生思考，何时教师引导学生，何时教师讲授，这是个值得思考的问题。 （3）教师要点拨到位 在学生出现问题后，教师要及时点评加以总结，要重视思维的提升，提高学生的数学能力和素质备注1.主备教案的内容全部用小四宋体字，二次备课的内容中要删除的内容将字的颜色改为红色（不要真删除） ，自己添加的所有内容用宋体蓝色字。2命名格式要求：序号、章、节、名称(课时)。如：【1】28.1锐角三角函数(1)。
