1、一、圆周运动中的动力学分析1向心加速度：描述速度方向变化快慢的物理量。公式： 。rTvran 2242向心力：作用效果产生向心加速度， Fn man。3向心力的来源向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是几个力的合力或某个力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加一个向心力。4向心力的确定 （1）确定圆周运动的轨道所在的平面，确定圆心的位置。（2）分析物体的受力情况，找出所有的力沿半径方向指向圆心的合力就是向心力。解决圆周运动问题的主要步骤（1）审清题意，确定研究对象；（2）分析物体的运动情况，即物体的线速度、角速度、周期、轨道平面、圆心、半径等；（3）分析物体
2、的受力情况，画出受力示意图，确定向心力的来源；（4）根据牛顿运动定律及向心力公式列方程。二、竖直平面内圆周运动的绳模型与杆模型问题1在竖直平面内做圆周运动的物体，按运动到轨道最高点时的受力情况可分为两类：一是无支撑（如球与绳连接、沿内轨道运动的过山车等），称为“绳（环）约束模型”，二是有支撑（如球与杆连接、在弯管内的运动等），称为“杆（管道）约束模型”。2绳、杆模型涉及的临界问题绳模型 杆模型常见类型均是没有支撑的小球 均是有支撑的小球过最高点的临界条件 由 得：rmvg2gr临 由小球恰能做圆周运动得 v临 =0讨论分析（1）过最高点时， grv，绳、轨道对球产生弹力2NmFgr2v（2）不
3、能过最高点时， ，在到达grv最高点前小球已经脱离了圆轨道（1）当 v=0 时， FN=mg， FN为支持力，沿半径背离圆心（2）当 时，gr0， FN背向圆心，随 v 的2NmvF增大而减小（3）当 时， FN=0grv（4）当 时， FN指向圆心并随 v 的2NmvFgr增大而增大3竖直面内圆周运动的求解思路（1）定模型：首先判断是轻绳模型还是轻杆模型，两种模型过最高点的临界条件不同。（2）确定临界点： ，对轻绳模型来说是能否通过最高点的临界点，而对轻杆模型来说是grv临FN表现为支持力还是拉力的临界点。（3）研究状态：通常情况下竖直平面内的圆周运动只涉及最高点和最低点的运动情况。（4）受
4、力分析：对物体在最高点或最低点时进行受力分析，根据牛顿第二定律列出方程， F 合 =F 向 。（5）过程分析：应用动能定理或机械能守恒定律将初、末两个状态联系起来列方程。（2018四川省攀枝花市第十二中学）甲、乙两质点做匀速圆周运动，甲的质量与转动半径都分别是乙的一半，当甲转动 60 圈时，乙正好转 45 圈，则甲与乙的向心力之比为A4:9 B4:3 C3:4 D9:4【参考答案】A1如图所示，一个圆盘在水平面内匀速转动，盘面上有一个小物体在随圆盘一起做匀速圆周运动。分析小物体受到的力，下列说法正确的是A重力和支持力B重力和静摩擦力C重力、支持力和静摩擦力D重力、支持力、静摩擦力和向心力【答案
5、】C【解析】小物体块做匀速圆周运动，合力指向圆心，对小物体受力分析可知，受重力、支持力和静摩擦力，如图所示重力和支持力平衡，静摩擦力提供向心力。故 C 正确，ABD 错误。【名师点睛】向心力是根据效果命名的力，只能由其他力的合力或者分力来充当，不是真实存在的力，不能说物体受到向心力。（2018云南省建水）如图所示，小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，内侧壁半径为 R，小球半径为 r，则下列说法正确的是A小球通过最高点时的最小速度 =minvgrRB小球通过最低点时的最小速度 i5C小球在水平线 ab 以下的管道中运动时，内侧管壁对小球一定无作用力D小球在水平线 ab 以上的管道中运动时，
6、外侧管壁对小球一定有作用力【参考答案】Cb 以上的管道中运动时，外侧管壁对小球可能没有作用力，如在最高点速度为零时，故 D 错误。1一个半径为 R 的竖直固定的光滑圆环上套有一个质量为 m 的小球，一根轻弹簧上端固定在圆环的圆心处，下端固定在小球上，在圆环的最低处给小球水平向右的大小为 的初速度，此时圆环恰好对6Rg小球没有弹力，已知重力加速度为 g，下列说法正确的是A小球在圆环最低点时，弹簧的弹力大小为 mg xk， wB小球在圆环最高点时圆环对小球的弹力大小为 7mgC小球在圆环的最高点时弹簧的弹力比小球在最低点时的小D小球经过圆环的最高点的速度大小为 2gR【答案】D【名师点睛】本题考查
7、了牛顿第二定律和机械能守恒定律的综合运用，知道最高点和最低点向心力的来源，结合牛顿第二定律进行求解。（2018江西省九江市第三中学）如图所示，水平转台上有一个质量为 m 的物块，用长为 L 的细绳将物块连接在转轴上，细线与竖直转轴的夹角为 ，此时细绳刚好拉直绳中张力为零，物块与转台间摩擦因数为 （ vB B A BC aAaB D压力 FNAFNB5 （2018北京市海淀区）如图所示，小球在一细绳的牵引下，在光滑水平桌面上绕绳的另一端 做匀速O圆周运动。关于小球的受力情况，下列说法中正确的是A只受重力和支持力的作用B只受重力和向心力的作用C只受重力、支持力和拉力的作用D只受重力、支持力、拉力和
8、向心力的作用6 （2018福建省平和一中、南靖一中等四校）如图所示，小球在细绳的作用下在光滑水平桌面内做圆周运动，以下说法正确的是A小球受到重力、桌面的支持力、绳的拉力和向心力的作用B在绳长固定时，当转速增为原来的 4 倍时，绳子的张力增大为原来的 16 倍C当角速度一定时，绳子越短越易断D当线速度一定时，绳子越长周期越小7 （2018河南省大联考）水平转盘可以绕通过圆盘中心且垂直于盘面的竖直轴以不同的角速度转动，在转盆上放一物块，且物块姶终相对转盘静止，下列说法中正确的是A物块始终受到重力、支持力、摩擦力、向心力四个力的作用B若转盘匀速转动，物块所受摩擦力的方向与运动方向相反C若转盘加速转动
9、，物块所受摩擦力的方向始终指向圆心D若转盘匀速转动，则物块离转盘中心越远所受静摩擦力越大8 （2018福建省厦门）如图所示，金属块 Q 放在带光滑小孔的水平桌面上，一根穿过小孔的细线，上端固定在 Q 上，下端拴一个小球。小球在某一水平面内做匀速圆周运动(圆锥摆)，细线与竖直方向成30角(图中 P 位置)。现使小球在更高的水平面上做匀速圆周运动细线与竖直方高成 60角(图中P位置)。两种情况下，金属块 Q 都静止在桌面上的同一点，则后一种情况与原来相比较，下面判断正确的是A Q 受到桌面的静摩擦力大小不变B小球运动的角速度变大C细线所受的拉力之比为 2:1D小球向心力大小之比为 3:19 （20
10、18安徽合肥市）如图所示，竖直放置的半径为 R 的光滑半圆轨道与粗糙水平面平滑连接，水平面上放置一轻弹簧，其右端固定，左端被质量为 m 的小物块压缩至 P 点(弹簧左端与小物块末连接)， P 点与圆 弧最低点 A 的距离为 R。现将小物块由 P 点静止释放，此后它恰能到达圆弧最高点 C。已知物块与弹簧分离的位置在 AP 之间，物块和水平面间的动摩擦因数为 0.5，重力加速度为 g。则有关上述过程说法正确的是A弹簧对物块做的功为 3mgR B在最高点物块与轨道间有相互作用力C物块在 B 点对轨道的作用大小为 3mg D在 PA 段物块机械能减少了 0.5mgR10 （2018河南省大联考）如图所
11、示，光滑圆轨道固定在竖直平面内，整个圆周被 4 条直径均分为 8 等份，把一个小球放在轨道最低点 ，给小球一水平向右的速度 。DMNPQ、 、 、 N0已知圆轨道的半径为 ，重力加速度为 ，则下列关于小球运动的说法正确的是RgA当 时，小球一定能沿轨道运动到 点20gRAB当 时，小球一定能沿轨道运动到 点DC当 时，小球一定能沿轨道运动到 点20BD只有当 时，小球才能沿轨道运动到 点5gRC11 （2018河北省廊坊市省级示范高中联合体）如图所示，叠放在水平转台上的物体 A、 B 能随转台一起以角速度 匀速转动， A、 B 的质量分别为 m、2 m， A 和 B 与转台间的动摩擦因数均为
12、， A 与转台中 心的距离为 2r， B 与转台中心的距离为 r。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则下列说法正确的是A转台对 A 的摩擦力一定为 mgB转台对 B 的摩擦力一定为 2rC转台对 A 的摩擦力一定大于对 B 的摩擦力D转台的角速度逐渐增大的过程中， A 比 B 先滑动12 （2018新课标 I 卷）如图， abc 是竖直面内的光滑固定轨道， ab 水平，长度为 2R； bc 是半径为 R 的四分之一的圆弧，与 ab 相切于 b 点。一质量为 m 的小球。始终受到与重力大小相等的水平外力的作用，自 a 点处从静止开始向右运动，重力加速度大小为 g。小球从 a 点开始运动到其他轨迹最高
13、点，机械能的增量为A2 mgR B4 mgRC5 mgR D6 mgR13 （2018浙江新高考） A、 B 两艘快艇在湖面上做匀速圆周运动（如图） ，在相同时间内，它们通过的路程之比是 4:3，运动方向改变的角度之比是 3:2，则它们A线速度大小之比为 4:3B角速度大小之比为 3:4C圆周运动的半径之比为 2:1D向心加速度大小之比为 1:214（2017江苏卷）如图所示，一小物块被夹子夹紧，夹子通过轻绳悬挂在小环上，小环套在水平光滑细杆上，物块质量为 M，到小环的距离为 L，其两侧面与夹子间的最大静摩擦力均为 F。小环和物块以速度 v 向右匀速运动，小环碰到杆上的钉子 P 后立刻停止，物
14、块向上摆动。整个过程中，物块在夹子中没有滑动。小环和夹子的质量均不计，重力加速度为 g。下列说法正确的是A物块向右匀速运动时，绳中的张力等于 2FB小环碰到钉子 P 时，绳中的张力大于 2FC物块上升的最大高度为2vgD速度 v 不能超过()FML15（2016新课标全国卷）如图，一固定容器的内壁是半径为 R 的半球面；在半球面水平直径的一端有一质量为 m 的质点 P。它在容器内壁由静止下滑到最低点的过程中，克服摩擦力做的功为 W。重力加速度大小为 g。设质点 P 在最低点时，向心加速度的大小为 a，容器对它的支持力大小为 N，则A B C D2()mgRWa2mgRWa32mgRWN()mg
15、RN16（2016新课标全国卷）如图，在竖直平面内有由 圆弧 AB 和 圆弧 BC 组成的光滑固定轨道，两142者在最低点 B 平滑连接。 AB 弧的半径为 R， BC 弧的半径为 。一小球在 A 点正上方与 A 相距 处由R4R静止开始自由下落，经 A 点沿圆弧轨道运动。（1）求小球在 B、 A 两点的动能之比；（2）通过计算判断小球能否沿轨道运动到 C 点。1B【解析】根据动能定理得： ，把 带入解得： ，则小球能2201mgLvm0vgL0v够到达最高点 Q，且在最高点合力为零，即在 Q 点受到轻杆向上的支持力，故 B 正确，ACD 错误。【名师点睛】解决本题的关键知道圆周运动径向的合力
16、提供向心力，以及知道杆的作用力可以表现为支持力，也可以表现为拉力。4A【解析】以任意一球为研究对象，受力情况如图：根据牛顿第二定律得：2tanvmgr得 ，对于两球， 相同，则，所以线速度 vAvB，tangr故 A 正确。由牛顿第二定律： ，得 ，所以 故 B 错误；由牛顿2ttrA第二定律： ，得 ，所以 ，故 C 错误；由图得到轨道对小球的支持力tangangABa，与半径无关，则小球对轨道的压力 故 D 错误。cosmN NABF5C【解析】小球受到重力，桌面的支持力和绳的拉力，竖直方向小球没有位移，重力和支持力平均，绳的拉力提供向心力故 C 正确。6B【解析】小球受重力、支持力、拉力
17、，做匀速圆周运动，拉力提供向心力，故 A 错误；在绳长固定时，根据公式 F=m 2r 和 =2 n，当转速增为原来的 4 倍时，绳子的张力增大为原来的 16 倍，故 B 正确；当角速度一定时，根据公式 F=m 2r，绳子越长向心力越大，拉力越大，越容易断，故 C 错误；当线速度一定时，根据公式 ，绳子越长周期越大，故 D 错误。vT7D【解析】物块与圆盘相对静止，一起做匀速圆周运动，受到重力、支持力和静摩擦力，重力和支持力相互平衡，由静摩擦力提供向心力，所以静摩擦力的方向指向圆盘中心，与其相对圆盘相对运动趋势的方向相反，故 AB 错误；若转盘加速转动，物块所受摩擦力的方向不指向圆心，由摩擦力的
18、一个分力指向圆心从而提供向心力，而摩擦力的另一分力使物块速度大小增大，故选项 C 错误；若转盘匀速转动，则静摩擦力提供向心力，则根据公式： 可知，物块离转盘中心越远所受静摩擦力越大，2fmr故选项 D 正确。9ACD【解析】小物块恰能到达圆弧最高点 C 时，由重力提供向心力，则有 mg=m ；物块从 P 到 C 的过2CvR程，运用动能定理得 W2mgRmgR = mvC2，联立解得弹簧对物块做的功为 W=3mgR，故 A 正确。小物1块恰能到达圆弧最高点 C 时，由重力提供向心力，物块与轨道间无相互作用力，故 B 错误。物块从 P到 B 的过程，运用动能定理得 WmgRmgR = mvB2；
19、在 B 点，由向心力公式得 N=m ，可得12vRN=3mg，则由牛顿第三定律得知物块在 B 点对轨道的作用大小为 3mg，故 C 正确。在 PA 段物块机械能减少为 E=mgR =0.5mgR，故 D 正确。10AD【解析】若小球能从最低点运动到 A 点，需满足 ，解得2010kAEmgR，选项 A 正确；若小球能沿轨道运动到 C 点和 D 点，必先过最高点，再到 C 和 D 点，20gR则需满足 和 ，联立解得 ，选项 B 错误，D 正确；当22011mmgR205gR时，假设动能全部转化为重力势能，由机械能守恒定律得小球上升的高度20gR恰好等于 B 点到最低点的高度，即到 B 点时速度
20、为零，故假设不对，小球在未到 B 点1h时脱轨，选项 C 错误；故选 AD。12C【解析】本题考查了运动的合成与分解、动能定理等知识，意在考查考生综合力学规律解决问题的能力。设小球运动到 c 点的速度大小为 vC，则对小球由 a 到 c 的过程，由动能定理得： F3R-mgR= mvc2，又 F=mg，解得： vc2=4gR，小球离开 c 点后，在水平方向做初速度为零的匀加速直线运动，竖直方向在重力作用力下做匀减速直线运动，由牛顿第二定律可知，小球离开 c 点后水平方向和竖直方向的加速度大小均为 g，则由竖直方向的运动可知，小球从离开 c 点到其轨迹最高点所需的时间为:t=vC/g=2 ，小球
21、在水平方向的加速度 a=g，在水平方向的位移为 x= at2=2R。由以上分析可知，R1小球从 a 点开始运动到其轨迹最高点的过程中，水平方向的位移大小为 5R，则小球机械能的增加量E=F5R=5mgR，选项 C 正确 ABD 错误。13A【解析】因为相同时间内他们通过的路程之比是 4:3，根据 ，则 A、 B 的线速度之比为 4:3，故svtA 正确；运动方向改变的角度之比为 3:2，根据 ，则角速度之比为 3:2，故 B 错误；根据t可得圆周运动的半径之比为 ，故 C 错误；根据 a=v 得，向心加速度之比为124839r，故 D 错误。12432av15AC【解析】质点 P 下滑过程中，重力和摩擦力做功，根据动能定理可得 ，根据公式21mgRWv，联立可得 ，A 正确，B 错误；在最低点重力和支持力的合力充当向心力，2vaR2()mgRWa摩擦力水平，不参与向心力，故根据牛顿第二定律可得 ，代入可得 ，Nmga32gRNC 正确，D 错误。16（1） （2）小球恰好可以沿轨道运动到 C 点k5ABE【解析】（1）设小球的质量为 m，小球在 A 点的动能为 ，由机械能守恒可得 kAEk4AREmg设小球在 B 点的动能为 ，同理有 kBEk54BRg由联立可得 k5BAE（2）若小球能沿轨道运动到 C 点，小球在 C 点所受轨道的正压力 N 应满足 0
