1、1第三讲 不等式、线性规划考点一 不等式的解法求解不等式的方法(1)对于一元二次不等式，应先化为一般形式 ax2 bx c0(a0)，再求相应一元二次方程 ax2 bx c0( a0)的根，最后根据相应二次函数图象与 x 轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集(2)解简单的分式、指数、对数不等式的基本思想是把它们等价转化为整式不等式(一般为一元二次不等式)求解(3)解决含参数不等式的难点在于对参数的恰当分类，关键是找到对参数进行讨论的原因，确定好分类标准，有理有据、层次清楚地求解对点训练1(2018湖南衡阳一模)若 a， b， c 为实数，且 a D a2abb2baab解析 c 为实数，取
2、c0，得 ac20， bc20，此时 ac2 bc2，故选项 A 不正确； ， a0， ab0， 0，即 ，故选项 B 不正确；1a 1b b aab b aab 1a1b2 a0， a2ab，又 ab b2 b(a b)0， abb2，故选项 D正确，故选 D答案 D2(2018福建六校联考)已知函数 f(x)Error!若 f(2 x2)f(x)，则实数 x 的取值范围是( )A(，1)(2，) B(，2)(1，)C(1,2) D(2,1)解析 易知 f(x)在 R 上是增函数， f(2 x2)f(x)，2 x2x，解得20 的解集是( )A(，1)(3，)B(1,3)C(1,3)D(，1
3、)(3，)解析 关于 x 的不等式 ax b0 可化为(x1)( x3)1 时不等式 x a 恒成立，则实数 a 的取值范围1x 1是( )A(，3 B3，)C(，2 D2，)解析 x1， x x1 12 13，当且仅当1x 1 1x 1 x 11x 1x1 ，即 x2 时等号成立，所以最小值为 3， a3，即实数 a 的取值范围是1x 1(，3故选 A答案 A快速审题 (1)看到有关不等式的命题或结论的判定，想到不等式的性质3(2)看到解不等式，想到求解不等式的方法步骤(1)求解一元二次不等式的 3 步：第一步，二次项系数化为正数；第二步，解对应的一元二次方程；第三步，若有两个不相等的实根，
4、则利用“大于在两边，小于夹中间”得不等式的解集(2)解一元二次不等式恒成立问题的 3 种方法：图象法；分离参数法；更换主元法考点二 基本不等式的应用1基本不等式： a b2 ab(1)基本不等式成立的条件： a0， b0.(2)等号成立的条件：当且仅当 a b 时取等号(3)应用：两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；两个正数的和为常数时，它们的积有最大值2几个重要的不等式(1)a2 b22 ab(a， bR)当且仅当 a b 时取等号(2)ab 2(a， bR)，当且仅当 a b 时取等号(a b2 )(3) 2(a， bR)，当且仅当 a b 时取等号a2 b22 (a b2 )(4)
5、2( a， b 同号)，当且仅当 a b 时取等号ba ab对点训练1下列结论中正确的是( )Alg x 的最小值为 21lgxB 的最小值为 2x1xC 的最小值为 4sin2x 4sin2xD当 00， 2 2，当且仅当 ，即 x1 时取等号；对于 C，当且仅当x1x x1x x 1xsin2x ，即 sinx2 时取等号，但 sinx 的最大值为 1；对于 D， x 在(0,2上为增4sin2x 1x函数，因此有最大值故选 B答案 B2(2018吉林长春二模)已知 x0， y0，且 x y2 xy，则 x4 y 的最小值为( )A4 B 72C D592解析 由 x y2 xy 得 2.
6、由 x0， y0， x4 y (x4 y)1x 1y 12 (5 4) ，当且仅当 时等号成立，即 x4 y 的最小值为 .故(1x 1y) 12(5 4yx xy) 12 92 4yx xy 92选 C答案 C3(2018海淀期末)已知正实数 a， b 满足 a b4，则 的最小值为1a 1 1b 3_解析 a b4， a1 b38， (a1)( b3)1a 1 1b 3 18 (22) ，当且仅当 a1 b3，即 a3， b1 时(1a 1 1b 3) 18(2 b 3a 1 a 1b 3) 18 12取等号， 的最小值为 .1a 1 1b 3 12答案 124(2018河南洛阳一模)若实
7、数 a， b 满足 ，则 ab 的最小值为_1a 2b ab解析 依题意知 a0， b0，则 2 ，当且仅当 ，即 b2 a 时，1a 2b 2ab 22ab 1a 2b“”成立因为 ，所以 ，即 ab2 ，所以 ab 的最小值为 2 .1a 2b ab ab 22ab 2 2答案 2 2快速审题 看到最值问题，想到“积定和最小” ， “和定积最大” 5利用基本不等式求函数最值的 3 个关注点(1)形式：一般地，分子、分母有一个一次、一个二次的分式结构的函数以及含有两个变量的函数，特别适合用基本不等式求最值(2)条件：利用基本不等式求最值需满足“正”(即条件要求中字母为正数)、 “定”(不等式
8、的另一边必须为定值)、 “等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误(3)方法：使用基本不等式时，一般通过“拆、拼、凑”的技巧把求最值的函数或代数式化为 ax (ab0)的形式，常用的方法是变量分离法和配凑法bx考点三 线性规划问题1线性目标函数 z ax by 最值的确定方法把线性目标函数 z ax by 化为 y x ，可知 是直线 ax by z 在 y 轴上的截ab zb zb距，要根据 b 的符号确定目标函数在什么情况下取得最大值、什么情况下取得最小值2常见的目标函数类型(1)截距型：形如 z ax by，可以转化为 y x ，利用直线在 y 轴上的截距大小ab zb确定目
9、标函数的最值；(2)斜率型：形如 z ，表示区域内的动点( x， y)与定点( a， b)连线的斜率；y bx a(3)距离型：形如 z( x a)2( y b)2，表示区域内的动点( x， y)与定点( a， b)的距离的平方；形如 z| Ax By C|，表示区域内的动点( x， y)到直线 Ax By C0 的距离的 倍A2 B2对点训练1(2018天津卷)设变量 x， y 满足约束条件Error!则目标函数 z3 x5 y 的最大值为( )A6 B19 C21 D456解析 由变量 x， y 满足的约束条件画出可行域(如图中阴影部分所示)作出初始直线 l0：3 x5 y0，平移直线 l
10、0，当直线经过点 A(2,3)时， z 取最大值，即 zmax325321，故选 C答案 C2(2018广东肇庆二模)已知实数 x， y 满足约束条件Error!若 z2 x y 的最小值为3，则实数 b( )A B 94 32C1 D34解析 作出不等式组对应的平面区域，如图中阴影部分所示由 z2 x y 得 y2 x z，平移初始直线 y2 x，由图可知当直线 y2 x z 经过点 A 时，直线 y2 x z 的纵截距最小，此时 z 最小，为 3，即 2x y3.7由Error!解得Error!即 A ，(34， 32)又点 A 也在直线 y x b 上，即 b， b .故选 A32 34
11、 94答案 A3(2018江西九江二模)实数 x， y 满足线性约束条件Error!若 z 的最大值为y 1x 31，则 z 的最小值为( )A B 13 37C D13 15解析 作出可行域如图中阴影部分所示，目标函数 z 的几何意义是可行域内y 1x 3的点( x， y)与点 A(3,1)两点连线的斜率，当取点 B(a,2a2)时， z 取得最大值 1，故1，解得 a2，则 C(2,0)当取点 C(2,0)时， z 取得最小值，即2a 2 1a 3zmin .故选 D0 12 3 15答案 D4设 x， y 满足约束条件Error!则 z( x1) 2 y2的取值范围是_解析 8由Erro
12、r!解得Error!即 C .(13， 13)(x1) 2 y2的几何意义是区域内的点( x， y)与定点(1，0)间距离的平方由图可知，点(1,0)到直线 AB：2 x y10 的距离最小，为 ，故| 2 1|5 55zmin ；点(1,0)到点 C 的距离最大，故 zmax 2 2 .所以 z( x1) 2 y2的15 (13 1) (13) 179取值范围是 .15， 179答案 15， 179快速审题 (1)看到最优解求参数，想到由最值列方程(组)求解(2)看到最优解的个数不唯一，想到直线平行；看到形如 z( x a)2( y b)2和形如z ，想到其几何意义y bx a(3)看到最优
13、解型的实际应用题，想到线性规划问题，想到确定实际意义求目标函数的最值问题的 3 步骤(1)画域，根据线性约束条件，画出可行域；(2)转化，把所求目标函数进行转化，如截距型，即线性目标函数转化为斜截式；如斜率型，即根据两点连线的斜率公式，转化为可行域内的点与某个定点连线的斜率；平方型，即根据两点间距离公式，转化为可行域内的点与某个定点的距离；(3)求值，结合图形，利用函数的性质，确定最优解，求得目标函数的最值91(2016全国卷)设集合 A x|x24 x30，则 A B( )A B( 3， 32) ( 3， 32)C D(1，32) (32， 3)解析 x24 x30 x ， B ，32 x|
14、x32 A B .故选 Dx|324， x ay2，则( )A对任意实数 a，(2,1) AB对任意实数 a，(2,1) AC当且仅当 a .结合四个选项，只有 D 说法正确故选 D32答案 D3(2018全国卷)设 alog 0.20.3， blog 20.3，则( )A a blog0.210， blog 20.3ab，a bab ab0 有解，则 m 的取值范围为( )A m4 B m5 D m0 在区间(1,2)上有解，需满足f(1)0 或 f(2)0，即 m50 或 2m80，解得 m5.故选 C答案 C2(2018海淀模拟)当 00， ab0，故 0，即 ，故 A 项错误；由 a0
15、，故 abb2，故 B 项错误；1a 1b b aab 1a1b由 a0，即 a2ab，故 ab a2，故 C 项错误；由 a0，故 1 ， ab21 b2， ab24 a2， f(1)的解集是( )A(3,1)(3，) B(3,1)(2，)C(1,1)(3，) D(，3)(1,3)解析 由题意得， f(1)3，所以 f(x)f(1)3，即 f(x)3，如果 x3，可得33，可得 x3 或 0 x0 的解集是(，2)，则关13于 x 的不等式 0 的解集为( )ax2 bxx 1A(2,0)(1，) B(，0)(1,2)C(，2)(0,1) D(，1)(2，)解析 关于 x 的不等式 ax b
16、0 的解集是(，2)， a0， a 恒成立，则 a 的取值范围是xx2 3x 1( )A a B a15 15C a0， a 恒成立，xx2 3x 1所以对 x(0，)， a max，(xx2 3x 1)而对 x(0，)， ，xx2 3x 1 1x 1x 3 12x1x 3 15当且仅当 x 时等号成立， a .1x 15答案 A6(2018江西师大附中摸底)若关于 x， y 的不等式组Error!表示的平面区域是等腰直角三角形区域，则其表示的区域面积为( )A 或 B 或12 14 12 18C1 或 D1 或12 14解析 由不等式组表示的平面区域是等腰直角三角形区域，得 k0 或 1，当
17、 k0时，表示区域的面积为 ；当 k1 时，表示区域的面积为 ，故选 A12 14答案 A7(2018昆明质检)设变量 x， y 满足约束条件Error!则目标函数 z2 x5 y 的最小值为( )14A4 B6 C10 D17解析 解法一(图解法)：已知约束条件Error!所表示的平面区域为下图中的阴影部分(包含边界)，其中 A(0,2)， B(3,0)， C(1,3)根据目标函数的几何意义，可知当直线y x 过点 B(3,0)时， z 取得最小值 23506.25 z5解法二(界点定值法)：由题意知，约束条件Error!所表示的平面区域的顶点分别为A(0,2)， B(3,0)， C(1,3
18、)将 A， B， C 三点的坐标分别代入 z2 x5 y，得 z10,6,17，故 z 的最小值为 6.答案 B8(2018合肥一模)在关于 x 的不等式 x2( a1) x a1 时，不等式的解集为 10， b0，且 2a b ab，则 a2 b 的最小值为( )A52 B82 2C5 D9解析 解法一： a0， b0，且 2a b ab， a 0，解得 b2.bb 2则 a2 b 2 b1 2( b2)452 9，当且仅当bb 2 2b 2 2b 22b 2b3， a3 时等号成立，其最小值为 9.解法二： a0， b0， ab0.2 a b ab， 1，1a 2b( a2 b) 5 52
19、(1a 2b) 2ba 2ab 2ba2ab549.当且仅当 时，等号成立，又 2a b ab，即 a3， b3 时等号成立，其最小值2ba 2ab为 9.答案 D1611(2018湖南湘东五校联考)已知实数 x， y 满足Error!且 z x y 的最大值为 6，则(x5) 2 y2的最小值为( )A5 B3 C D5 3解析 如图，作出不等式组Error!对应的平面区域，由 z x y，得 y x z，平移直线 y x，由图可知当直线 y x z 经过点 A时，直线 y x z 在 y 轴上的截距最大，此时 z 最大，为 6，即 x y6.由Error!得A(3,3)，直线 y k 过点
20、 A， k3.(x5) 2 y2的几何意义是可行域内的点( x， y)与 D(5,0)的距离的平方，由可行域可知，( x5) 2 y2min等于 D(5,0)到直线 x2 y0 的距离的平方则( x5) 2 y2的最小值为 25.故选 A(| 5|12 22)答案 A12(2018广东清远一中一模)若正数 a， b 满足： 1，则 的最小值1a 1b 1a 1 9b 1为( )A16 B9 C6 D1解析 正数 a， b 满足 1， a b ab， 1 0， 1 0， b1， a1，则 21a 1b 1a 1b 1b 1a 1a 1 9b 12 6 ， 的最9a 1b 1 9ab a b 1
21、(当 且 仅 当 a 43， b 4时 等 号 成 立 ) 1a 1 9b 1小值为 6，故选 C答案 C17二、填空题13已知集合 ，则M N_.解析 不等式 0 等价于( x2)( x3)0，x 2x 3解得 2x3，故不等式 0 的解集为(2,3)，即 M(2,3)x 2x 3由 log (x2)1，可得Error!解得 2x ，12 52所以 N .(2，52故 M N .(2，52答案 (2，5214(2018全国卷)若 x， y 满足约束条件Error!则 z x y 的最大值为_解析 由线性约束条件画出可行域(如图中阴影部分所示)当直线 x y z0 经过点 A(5,4)时， z
22、 x y 取得最大值，最大值为 9.答案 915(2018安徽合肥一模)某企业生产甲、乙两种产品，销售利润分别为 2 千元/件、1 千元/件甲、乙两种产品都需要在 A、 B 两种设备上加工，生产一件甲产品需用 A 设备2 小时， B 设备 6 小时；生产一件乙产品需用 A 设备 3 小时， B 设备 1 小时 A， B 两种设备每月可使用时间数分别为 480 小时、960 小时，若生产的产品都能及时售出，则该企业每月利润的最大值为_千元18解析 设生产甲产品 x 件，生产乙产品 y 件，利润为 z 千元，则 Error!z2 x y，作出Error!表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线 2x y0，平移该直线，当直线z2 x y 经过直线 2x3 y480 与直线 6x y960 的交点(150,60)(满足 xN， yN)时，z 取得最大值，为 360.答案 36016(2018郑州高三检测)若正数 x， y 满足 x23 xy10，则 x y 的最小值是_解析 对于 x23 xy10 可得 y ， x y 2 (当且仅当13(1x x) 2x3 13x 29 223x 时，等号成立)，故 x y 的最小值是 .22 223答案 223
