1、 80 分 解答题标准练(二)1(2018威海模拟)在ABC 中，边 BC 上一点 D 满足 ABAD，AD DC.3(1)若 BD2DC 2，求边 AC 的长；(2)若 ABAC，求 sin B.解 (1)ABAD，在 RtABD 中，sinABD ，ADBD 32ABD60，AB 1.在ABC 中，AB 1，BC3 ，由余弦定理可得，AC2AB 2BC 22AB BCcosABC19213 7，12AC .7(2)在ACD 中，由正弦定理可得 ，ADsin C DCsin DACAD DC，3 ，3sin C 1sin DACABAC， BC ，BAC1802B，BAD90，DACBACB
2、AD180 2B9090 2B， ，3sin B 1sin90 2B ，3sin B 1cos 2B化简得 2 sin2Bsin B 0，3 3即( sin B1)(2sin B )0，3 3sin B0，sin B .332(2018安徽省亳州市涡阳一中模拟) 如图，在斜三棱柱 ABCA 1B1C1 中，已知B 1C1A190，异面直线 AB1A 1C，且 AA1AC .(1)求证：平面 ACC1A1平面 A1B1C1；(2)若 AC1AA 1B 1C1，求直线 A1C1 与平面 ABB1A1 所成角的正弦值(1)证明 因为 AA1AC，所以四边形 ACC1A1 是菱形，所以 A1CAC 1
3、，又因为异面直线 AB1A 1C，AC 1AB 1A，AB1，AC 1平面 AB1C1，所以 A1C平面 AB1C1，又 B1C1平面 AB1C1，所以 A1CB 1C1.又因为B 1C1A190，即 B1C1A 1C1，且 A1C1A 1CA 1，A 1C，A 1C1平面 ACC1A1，所以 B1C1平面 ACC1A1，又 B1C1平面 A1B1C1，所以平面 ACC1A1平面 A1B1C1.(2)解 设 O 是 A1C1 的中点，因为 AC1AA 1，所以 AOA 1C1，由(1)可知，AO平面 A1B1C1，以 O 为坐标原点，过点 O 且与 C1B1 平行的直线为 x 轴，以 OC1
4、所在直线为 y 轴，以 OA 所在直线为 z 轴，建立空间直角坐标系 Oxyz，设 AA12，则 A(0,0， )， A1(0，1,0)，3C1(0,1,0)，B 1(2,1,0)，设 A1C1 与平面 ABB1A1 所成的角为 ，因为 (0,2,0)， (2,2,0)， (0,1， )，A1C1 A1B1 A1A 3设平面 ABB1A1 的一个法向量是 n( x，y，z) ，则Error!即Error!不妨令 x1，则 y1，z ，可得 n ，33 (1， 1，33)所以 sin |cos ，n| ，A1C1 2273 217所以直线 A1C1 与平面 ABB1A1 所成角的正弦值为 .21
5、73(2018山西省运城市康杰中学模拟) 在某校举行的航天知识竞赛中，参与竞赛的文科生与理科生人数之比为 13，且成绩分布在40,100内，分数在 80 以上( 含 80)的同学获奖按文、理科用分层抽样的方法抽取 200 人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图(见下图)(1)填写下面的 22 列联表，判断能否有超过 95%的把握认为“获奖与学生的文、理科有关”？文科生 理科生 总计获奖 5不获奖总计 200(2)将上述调査所得的频率视为概率，现从该校参与竞赛的学生中，任意抽取 3 名学生，记“获奖”学生人数为 X，求 X 的分布列及期望附表及公式：K 2 ，nabcd.nad bc2a b
6、c da cb d其中 nabcd.P(K2k 0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879解 (1)文科生 理科生 总计获奖 5 35 40不获奖 45 115 160总计 50 150 200K2 4.1673.841，2005115 354525015040160 256所以有超过 95%的把握认为“ 获奖与学生的文、理科有关” (2)由表中数据可知，将频率视为概率，从该校参赛学生中任意抽取一人，抽到获奖同学的概率为 .15X 的所有可能的取值为 0,1,2,3，且 XB .(3，15)
7、P(Xk) C k 3k (k0,1,2,3)k3 (15) (1 15)P(X0)C 0 30 ，03 (15) (45) 64125P(X1)C 1 31 ，13 (15) (45) 48125P(X2)C 2 1 ，23 (15) (45) 12125P(X3)C 3 0 ，3 (15) (45) 1125所以 X 的分布列为X 0 1 2 3P 64125 48125 12125 1125E(X)3 .15 354(2018安徽省“皖江八校”联考) 已知椭圆 C： 1( ab0)的左焦点为 F(c,0)，右x2a2 y2b2顶点为 A，点 E 的坐标为(0 ，c)，EFA 的面积为 ，
8、过点 E 的动直线 l 被椭圆 C 所截得的b22线段 MN 长度的最小值为 .463(1)求椭圆 C 的方程；(2)B 是椭圆 C 上异于顶点的一点，且直线 OBl，D 是线段 OB 延长线上一点，且|DB| |MN|， D 的半径为|DB|，OP，OQ 是D 的两条切线，切点分别为 P，Q，求75POQ 的最大值，并求出取得最大值时直线 l 的斜率解 (1)由已知，可得 (ca)c .12 b22又由 b2a 2c 2，可得 2c2ac a 20，解得 a2c，设椭圆 C 的方程为 1，x24c2 y23c2当直线 l 的斜率不存在时，线段 MN 的长为 2 c；3当直线 l 的斜率存在时
9、，设 l 的方程为 ykxc，由Error!得(4k 23)x 28kcx 8c 20，(8kc) 232c 2(4k23)0，从而|MN | k2 14k2 346c k2 1 2k2 14k2 32 c34k2 44k2 24k2 322 c 3， ，1u (0，13)因此 |OB|r 57 u23u 7u 1 1，57 13 4u 7u2 5 (7u 2)2 25当且仅当 2，即 u 时等号成立，7u 72此时 k ，所以 sin ，24 POQ2 12因此 ，所以POQ 的最大值为 . POQ2 6 3综上所述，POQ 的最大值为 ，3取得最大值时直线 l 的斜率 k .245(201
10、8四川省成都市第七中学模拟) 已知函数 f(x) (x0，aR )3 xex ax(1)当 a 时，判断函数 f(x)的单调性；34(2)当 f(x)有两个极值点时，若 f(x)的极大值小于整数 m，求 m 的最小值解 (1)由题意知，f(x) ex 3 xexx 3 xex ax2 (x0) x2 3x 3ex ax2令 h(x)(x 2 3x3)e xa(x0)，则 h(x) (x 2x )ex，当 00，h( x)为增函数；当 x1 时，h(x) ，34所以 h(x)maxh(1) e a0)，则 h(x) (x 2x )ex，当 00，h( x)为增函数；当 x1 时，h(x)0，h
11、e a2.(1，32)又由得 a (x 3x 2 3)，e2把它代入得 f(x2)(2x 2) ，e所以当 x2 时，f(x 2)(1x 2) f 2.(32) 12所以满足题意的整数 m 的最小值为 3.6在数列a n中，S n1 4a n2，a 11.(1) 设 cn ，求证：数列c n是等差数列；an2n(2) 求数列a n的通项公式及前 n 项和的公式(1)证明 S n1 4a n2，当 n2，nN *时，S n4a n1 2.得 an1 4a n4a n1 .方法一 对 an1 4a n4a n1 两边同除以 2n1 ，得2 ，an 12n 1 an2n an 12n 1即 2 ，a
12、n 12n 1 an 12n 1 an2n即 cn1 c n1 2c n，数列c n是等差数列由 Sn1 4a n2，得 a1a 24a 12，则 a23a 125，c 1 ，c 2 ，a12 12 a222 54故公差 d ，54 12 34c n是以 为首项， 为公差的等差数列12 34方法二 a n1 2a n2a n4a n12(a n2a n1 )，令 bna n1 2a n，则b n是以 a22a 14a 12a 12a 13 为首项，2 为公比的等比数列，b n32 n1 ， c n ，an2n c n1 c n an 12n 1 an2n an 1 2an2n 1 ，bn2n
13、1 32n 12n 1 34c1 ，a12 12 c n是以 为首项， 为公差的等差数列12 34(2)解 由(1)可知数列 是首项为 ，公差为 的等差数列，an2n 12 34 (n1) n ，a n(3n1)2 n2 是数列 an的通项公式an2n 12 34 34 14设 Sn(31)2 1 (321)2 0(3 n1)2 n2 ，则 2Sn(31)2 0(321)2 1(3 n1)2 n1 ，S n2S nS n(31)2 13(2 02 12 n2 )(3 n1)2 n113 (3n 1)2n12n 1 12 113(3n4)2 n12(3n4)2 n1 .数列a n的通项公式为 an(3n1)2 n2 ，前 n 项和公式为 Sn2(3 n4)2 n1 ，nN *.
