1、第二课时 指数幂及其运算性质 目标导航 课标要求 1.理解分数指数幂的含义 ,掌握根式与分数指数幂的互化 . 2.掌握实数指数幂的运算性质 ,并能对代数式进行化简或 求值 . 素养达成 通过本节内容的学习 ,使学生熟练掌握指数幂的运算 ,提高学生数学运算能力 . 新知探求 课堂探究 新知探求 素养养成 【情境导学】 导入 观察下列等式 :( 其中 a0) 4a = 22a=a2= 42a ; 39a = 333 a=a3= 93a ; 5a = 252a= 52a ; 74 a = 4744 a= 74a . 想一想 根式与指数幂之间存在什么关系 ? (无论被开方数的指数能否被根指数整除 ,根
2、式都可以表示为分数指数幂的形式 ,即两者是等价的 ) 知识探究 1.分数指数幂的概念 nma1mna0 没有意义 探究 1: 整数指数幂表示的是相同因式的连乘积 , 那么分数指数幂 mna 能否理解为 mn个 a 相乘 (a0,m,n N * , 且 n 1) , 该式有何规定 ? 答案 : 不能 . 分数指数幂是根式的另一种写法 , 规定 mna = nma . 2.有理数指数幂的运算性质 (1)aras= (a0,r,s Q); (2)(ar)s= (a0,r,s Q); (3)(ab)r= (a0,b0,r Q). ar+s ars arbr 探究 2:有理数指数幂的运算性质 ,对底数有
3、何要求 ? 答案 :底数大于 0. 3.无理数指数幂 无理数指数幂 a (a0, 是无理数 )是一个确定的 .有理数指数幂的运算性质对于无理数指数幂同样适用 . 实数 【 拓展延伸 】 化简与求值的方法与技巧 (1)在进行幂和根式的化简时 ,一般是先将根式化成幂的形式 ,并化小数指数幂为分数指数幂 ,即统一成分数指数幂的形式 ,再利用幂的运算性质进行化简、求值、计算 . (2)对于根式的计算结果 ,并不要求统一表示形式 ,一般用分数指数幂的形式来表示 .若有特殊要求 ,则按要求给出结果 ,但结果中不能同时含有根式和分数指数幂 ,也不能既有分母又含有负指数 ,即结果必须化为最简的形式 . (3)
4、在幂的四则混合运算中 ,运用乘法公式进行化简 ,能起到化繁为简的效果 . 要注意的是 : 要把幂作为一个整体来看待 ; 要注意幂指数间的倍数关系 . (4)常用的变换方法有 : 把小数化为分数 ,把根式化为分数指数幂 ; 若指数是负数 ,则对调底数的分子和分母并将负指数化为正指数 ; 把分数指数幂、负指数幂看成一个整体 ,借助有理式中的乘法公式及因式分解进行变形 . (5)注意灵活运用分式化简的方法和技巧 .例如 , 把分子、分母分解因式 ,可约分的先约分 ; 利用分式的基本性质化繁分式为简分式 ,化异分母为同分母 ; 把适当的几个分式先化简 ,各个击破 ; 适当利用换元法 . 1.( 根式
5、) 253 等于 ( ) (A) 5 3 (B) 53 (C) 153 (D) 523 自我检测 D 2.( 分数指数幂 ) 把根式 - 2 25 ab 改写成分数指数幂的形式为 ( ) (A) - 2 25ab (B) - 2(a - b) 25 (C) - 2( 52a - 52b ) (D) - 2( 52a - 52b ) A 3.( 分数指数幂 ) 在定义正分数指数幂时 , 规定底数 a0, 是因为公式n a= 1na及 (n a)m= mna中 ( ) (A) 对 a 0 不成立 (B) 对 a 0 无意义 (C)n 为偶数时 , 对 a0, 则 3 xx = . 答案 : 12x
6、 题型一 根式与指数幂的互化 课堂探究 素养提升 解 : (1) aa = 12aa = 32a = 13 22a= 34a . 名师导引 :根式与分数指数幂的互化要求是什么 ?( 根指数 分数指数的分母 ;被开方数 (式 )的指数 分数指数的分子 ) 【例 1 】 用分数指数幂的形式表示下列各式 : (1) aa (a0);(2) 3 aa (a0); (2) 3 aa = 13 2aa = 13 223 a= 14a . (3) 23243b(b0); (4) 2 3 633y x yx y x(x0,y0). 解 : (3) 原式 = 122433 b = 2 1 23 4 3b = 1
7、9b . (4) 法一 从外向里化为分数指数幂 . 2 3 63 3y x yx y x= ( 2 3 63 3y x yx y x) 12 = 2yx( 363 3xyyx) 12 12 = 2yx3xy(63yx) 13 12 12 = (2yx) 12 (3xy) 14 (63yx) 112 =12yx 3414xy 1214yx= 33423144xyxy= 54y. 法二 从里向外化为分数指数幂 . 2 3 633y x yx y x=12 3 6 33y x yx y x=2 3 2y x yx y x= 122 2y xyx= (2yx x 12y) 12 = 54y. (1)根
8、式与分数指数幂互化的关键是准确把握两种形式中相关数值的对应 . 根指数 分数指数的分母 ; 被开方数 (式 )的指数 分数指数的分子 . (2)将含有多重根号的根式化为分数指数幂途径有两条 :一是由里向外化为分数指数幂 ;二是由外向里化为分数指数幂 . 方法技巧 即时训练 1 - 1: 将下列根式化为分数指数幂的形式 : (1)m 2 m (m0); (2) mm (m0); (2) mm = 12mm = 32m = 13 22m= 34m . 解 : (1)m 2 m =m 2 12m = 12 2m = 52m . (3) 35a b a b (a0,b0). 解 : (3) 原式 =a
9、b3(ab51122) =a 12a b3 (b51122) = 13 1 1222ab= 3 1144ab . 题型二 利用指数幂的运算性质化简求值 【例 2 】 化简求值 : (1) ( 2 79) 0.5 + 0 . 1 - 2 + ( 2 1027) 13 - 0 ; 规范解答 : (1) 原式 = (259) 12 +210 .1+ (6427) 13 - 1 =53+ 100+43- 1 =102. 3 分 (2) ( - 3 38) 23 +(0.002) 12 - 10( 5 - 2) - 1 +( 2 - 3 ) 0 ; 规范解答 : (2) 原式 =( - 1) 23 (
10、338) 23 + (1500) 12 -1052+1 = (278) 23 +(500) 12 - 10(5+2)+1 =49+105- 105- 20+1 = -1679. 6 分 (3)(a - 2 b - 3 ) ( - 4a - 1 b) (12a - 4 b - 2 c); (4)2 3 a 4 6 ab 3 3b . 规范解答 : (3) 原式 =( - 4a - 2 - 1 b - 3 + 1 ) (12 a - 4 b - 2 c) = - 13a - 3 - ( - 4) b - 2 - ( - 2) c - 1 = - 13ac - 1 = -3ac. 9 分 (4) 原
11、式 =2 13a (4 1166ab ) (3 32b ) = ( 1 1 13 6 612 ab ) (3 32b )= 146332 ab. 12 分 方法技巧 进行指数幂运算时 ,化负指数为正指数 ,化根式为分数指数幂 ,化小数为分数 ,化带分数为假分数进行运算 ,便于进行乘除、乘方、开方运算 ,以达到化繁为简的目的 . 即时训练 2 - 1: 计算下列各式的值 : (1)1. 135 ( - 76)0+80 . 2 5 4 2 +( 3 2 3 )6- 2323; 解 : (1) 原式 = ( 23) 13 1+(2 3 ) 14 142 +( 132 123 ) 6 - ( 23)
12、13 =2+4 27 =1 1 0. (2) 73 32aa 3 8 3 1 5aa 3 31aa . 解 : (2) 原式 = 73322aa 8 1 533aa 31322aa=32a 73a 32a = 23a 76a (a- 2) 13 = 2736a 23a = 1223a = 16a 【备用例 1 】 ( 2017 金安区高一期中 )( 1 ) 化简 329 6 164 30; (2) 化简 ( 19) 12 3 6 12 3- 3; 解 : (1) 原式 = 32 23 16 62 1=27 2 = 5 4 . (2) 原式 = 12 23 12 26 127=1316 27 =
13、32. (3) 化简 232aaa(a0). 解 : (3) 原式 = 122 23a = 56a = 65a . 题型三 附加条件的幂的求值问题 【例 3 】 已知 12a + 12a =3, 求下列各式的值 . (1)a+a- 1; (2)a2+a- 2; 解 : (1) 将 12a + 12a =3 两边平方 , 得 a+a - 1 + 2= 9, 即 a+a - 1 =7 . (2)将 a+a-1=7两边平方 ,得 a2+a-2+2=49, 所以 a2+a-2=47. (3) 33221122aaaa. 解 : (3) 由于 32a- 32a =( 12a)3- ( 12a )3, 所
14、以有 33221122aaaa=1 1 1 112 2 2 21122a a a a a aaa =a+a- 1+1 =7+1 =8. 变式探究 : 若 a0 且 a+ 1a=7, 求 12a + 12a 及 12a - 12a 的值 . 解 : 设 12a+ 12a =t, 则 a+1a+2=t2, 即 t2=7+ 2=9 . 由 a0 知 12a+ 12a =3, 设 12a- 12a =m, 则 a+1a- 2=m2. 即 m2=5. 所以 m= 5. 综上可知 12a+ 12a =3, 12a- 12a = 5. 方法技巧 条件求值问题的基本步骤是先找条件和所求之间的关系 ,然后进行化简 ,最后代值运算 ,求值过程中要注意平方差公式、立方差公式以及一元二次方程中根与系数关系的灵活应用 .
