1、第三章 函数的应用,本章概览 一、地位作用 本章学习用二分法求方程近似解的方法,从中体会函数与方程之间的联系.通过一些实例的学习,让我们感受建立函数模型的过程和方法,体会函数在数学和其他学科中的应用,认识到函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型,并能初步运用函数思想解决现实生活中的一些简单问题. 本章主要内容有结合二次函数的图象判断一元二次方程根的存在性及根的个数,从而了解函数的零点与方程根的联系.根据具体函数的图象,借助计算器用二分法求相应方程的近似解.利用计算工具比较指数函数、对数函数以及幂函数间增长的差异,会通过建立函数模型(指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等)来解决实际问题.,二
2、、内容标准 本章的重点是理解函数的零点的定义及零点存在性定理;体会函数的零点、方程的根、函数的图象与x轴交点的横坐标三者之间的关系;会利用“二分法”求方程的近似解;将实际问题转化为函数模型;其中函数的零点存在性定理的应用;用二分法求方程的近似解过程中,获得给定的精确度的近似解,在实际问题中选择恰当的函数模型是难点. 三、核心素养 1.学习方程的根与函数的零点时,注重从一元二次方程的根和二次函数图象与x轴的交点的关系入手,推广到一般情形. 2.用二分法求函数零点的近似值时,注意精确度. 3.注意理解“指数爆炸”“对数增长”的含义,通过图象理解一般的指数函数、对数函数、幂函数的增长差异. 4.函数
3、建模过程中,一要认真读题,明确问题的实际背景;二要合理选择参变量;三要注意使变量的取值有实际意义.,3.1 函数与方程 3.1.1 方程的根与函数的零点,目标导航,新知探求,课堂探究,新知探求素养养成,【情境导学】 导入一 方程x-1=0的解是多少?函数y=x-1的图象与x轴的交点坐标是什么? 答案:方程的解为x=1;函数图象与x轴的交点坐标为(1,0). 导入二 方程x2-2x-3=0的根等于多少?函数y=x2-2x-3的图象与x轴的交点坐标是什么? 答案:方程的根为-1,3;函数图象与x轴的交点坐标为(-1,0),(3,0).,想一想 方程f(x)=0的解与函数y=f(x)的图象与x轴交点
4、坐标之间是怎样的关系? (若方程f(x)=0的解为x0,则函数y=f(x)的图象与x轴的交点为(x0,0),知识探究,1.函数的零点 对于函数y=f(x),把使 叫做函数y=f(x)的零点. 探究1:函数的零点是函数与x轴的交点吗? 答案:不是.函数的零点不是个点,而是一个数,该数是函数图象与x轴交点的横坐标. 2.方程、函数、图象之间的关系 方程f(x)=0 函数y=f(x)的图象与x轴有交点函数y=f(x) .,f(x)=0的实数x,有实数根,有零点,3.函数零点的存在条件 如果函数y=f(x)在区间a,b上的图象是 的一条曲线,并且有 ,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内 ,即存在
5、c(a,b),使得 ,这个c也就是方程f(x)=0的根. 探究2:函数y=f(x)在a,b上连续不间断,当f(a)f(b)0时,函数零点个数是否唯一? 答案:不唯一.只有函数y=f(x)在区间a,b上是单调函数时函数零点唯一.,连续不断,f(a)f(b)0,有零点,f(c)=0,【拓展延伸】 一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的区间根的问题 设x1,x2是实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的两个实数根,则x1,x2的分布范围与一元二次方程系数之间的关系如表所示.,自我检测,1.(求函数零点)函数f(x)=log2(x-1)的零点是( ) (A)(1,0) (B)(2,0) (
6、C)1 (D)2 2.(函数零点的理解)已知x0为函数y=f(x)的一个零点,则函数f(x)的图象必过点( ) (A)(0,x0) (B)(0,-x0) (C)(x0,0) (D)(-x0,0) 3.(零点个数)函数y=x3-64x的零点的个数是( ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)3,D,C,D,B,5.(零点个数)函数f(x)=lg x+x-3的零点有 个.,答案:1,题型一,求函数的零点,课堂探究素养提升,解:(1)解方程f(x)=x2+7x+6=0, 得x=-1或x=-6, 所以函数存在零点,零点是-1,-6. (2)解方程f(x)=1-log2(x+3)=0,得x=-1, 所以
7、函数存在零点,零点是-1.,【例1】 判断下列函数是否存在零点,如果存在,请求出. (1)f(x)=x2+7x+6; (2)f(x)=1-log2(x+3);,解:(3)解方程f(x)=2x-1-3=0,得x=log26, 所以函数存在零点,零点是log26.,方法技巧 (1)求函数f(x)的零点就是求方程f(x)=0的解,求解时注意函数的定义域. (2)已知x0是函数f(x)的零点,则必有f(x0)=0.,即时训练1-1:(1)(2018东莞市高一期末)函数f(x)=x2-4x+4的零点是( ) (A)(0,2) (B)(2,0) (C)2 (D)4 (2)(2017博野县高一期中)函数y=
8、logax2的零点为( ) (A)1 (B)(1,0) (C)1 (D)(1,0),解析:(1)由f(x)=x2-4x+4=0得,x=2, 所以函数f(x)=x2-4x+4的零点是2.故选C. (2)根据题意,y=logax2,令y=0,即logax2=0, 解得x=1,即函数y=logax2的零点为1.故选A.,【备用例1】 求函数f(x)=2-ln x的零点.,解:令f(x)=0,即2-ln x=0, 解得x=e2. 所以函数的零点为e2.,题型二,函数零点的个数,【例2】 (1)(2018濮阳高一期末)函数y=x- 的零点个数是( ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)无数,(2)(2
9、017天津高一期末)函数f(x)=x- x的零点个数为( ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)无数,方法技巧 判断函数零点的个数的方法 (1)直接求出函数的零点进行判断,即转化为方程f(x)=0解的个数; (2)结合函数图象进行判断,即转化为函数图象与x轴交点个数或两个函数交点的个数; (3)借助函数的单调性进行判断.,即时训练2-1:(1)函数f(x)=x2+4x+4在区间-4,-1上( ) (A)没有零点 (B)有无数个零点 (C)有两个零点 (D)有一个零点,解析:(1)当x2+4x+4=0时,即(x+2)2=0,x=-2. 因为-2-4,-1,所以-2是函数f(x)=x2+4x+4
10、在区间-4,-1上的一个零点.故选D.,解析:(2)函数y=f(x)+x-4的零点,即函数y=-x+4与y=f(x)的交点的横坐标,如图所示,函数y=-x+4与y=f(x)的图象有两个交点,故函数y=f(x)+x-4的零点有2个.故选B.,【备用例2】 (2017青州市高一月考)函数f(x)=|x|-k有两个零点,则( ) (A)k=0 (B)k0 (C)0k1 (D)k0,解析:因为函数f(x)=|x|-k有两个零点, 所以函数y=|x|的图象与函数y=k的图象有两个交点,如图所示. 数形结合可得,当k0时,函数y=|x|的图象与函数y=k的图象有两个交点,故k的范围是(0,+).故选B.,
11、题型三,判断函数零点所在的区间,(A)(3,4) (B)(2,e) (C)(1,2) (D)(0,1),解析:(2)构造函数f(x)=ex-x-3, 由上表可得f(-1)=0.37-2=-1.630, f(3)=20.08-6=14.080, f(1)f(2)0,所以方程的一个根所在区间为(1,2),故选C.,(2)(2016黑龙江大庆实验中学高一上期末)根据表格内的数据,可以断定方程ex-x-3=0的一个根所在区间是( ),(A)(-1,0) (B)(0,1) (C)(1,2) (D)(2,3),方法技巧 (1)确定函数的零点所在的区间时,通常利用零点存在性定理,转化为判断区间端点对应的函数
12、值的符号是否相反. (2)求方程f(x)=g(x)的根所在的区间,可利用构造函数的方法构造函数h(x)=f(x)-g(x),通过判断函数h(x)零点所在的区间转化为方程f(x)=g(x)的根所在的区间.,解析:(2)因为函数f(x)的图象是连续不断的一条曲线,又f(-2)=e-2-40,f(2)=e20,所以f(0)f(1)0,故函数的零点所在的一个区间是(0,1).故选C.,(2)函数f(x)=ex+x-2的零点所在的一个区间是( ) (A)(-2,-1) (B)(-1,0) (C)(0,1) (D)(1,2),【备用例3】 若函数f(x)的图象在R上连续不断,且满足f(0)0, f(2)0
13、,则下列说法正确的是( ) (A)f(x)在区间(0,1)上一定有零点,在区间(1,2)上一定没有零点 (B)f(x)在区间(0,1)上一定没有零点,在区间(1,2)上一定有零点 (C)f(x)在区间(0,1)上一定有零点,在区间(1,2)上可能有零点 (D)f(x)在区间(0,1)上可能有零点,在区间(1,2)上一定有零点,解析:根据零点存在性定理,由于f(0)f(1)0,所以f(x)在区间(0,1)上一定有零点,在区间(1,2)上无法确定,可能有,也可能没有,如图所示. 故选C.,题型四,函数与方程思想的应用,【例4】 关于x的方程ax2-2(a+1)x+a-1=0,求a为何值时: (1)方程有一个正根和一个负根;,(2)方程的两个根都大于1.,方法技巧 解决有关根的分布问题应注意以下几点: (1)首先画出符合题意的草图,转化为函数问题. (2)结合草图考虑四个方面:开口方向;与0的大小关系;对称轴与所给端点值的关系;端点的函数值与零的关系. (3)写出由题意得到的不等式(组). (4)由得到的不等式(组)的解去验证图象是否符合题意. 这类问题充分体现了函数与方程的思想,也体现了方程的根就是函数的零点.在写不等式(组)时要注意条件的完备性.,变式探究:本例已知条件不变,求a为何值时: (1)方程有唯一实数根;,(2)方程的一个根大于1,一个根小于1.,谢谢观赏！,
