1、,3.2.3 直线与平面的夹角,学习目标1了解直线与平面的夹角的三种情况，理解斜线和平面所成角的概念 2了解三个角，1，2的意义，会利用公式cos cos 1cos 2求平面的斜线与平面内的直线的夹角,知识回顾怎样求两条异面直线所成的角？答案 (1)几何法：即通过平移其中一条(也可两条同时平移)，使它们转化为两条相交直线，然后通过解三角形获解,向量法包括了“基向量法”与“坐标法”,预习导引 1线线角、线面角的关系式如图所示，已知OA是平面的斜线段，O是斜足，线段AB垂直于，B为垂足，则直线OB是斜线OA在平面内的_ _设OM是内通过点O的任一条直,线，OA与OB所成的角为1，OB与OM所成的角
2、为2，OA与OM所成的角为，则，1，2之间的关系为_ _(*) 在上述公式中，因0cos 21，所以cos cos 1. 因为1和都是锐角，所以1.,正射,影,cos 1cos 2,cos,2最小角定理_和它在平面内的_所成的角是斜线和这个平面内所有直线所成角中_ 3直线与平面的夹角(1)如果一条直线与一个平面垂直，这条直线与平面的夹角为_(2)如果一条直线与一个平面平行或在平面内，这条直线与平面的夹角为_(3)斜线和它在平面内的_叫做斜线和平面所成的角(或斜线和平面的夹角).,斜线,射影,最小的角,90,0,射影所成的角,知识点一 用定义求线面角例1 在正四面体ABCD中，E为棱AD中点，连
3、CE，求CE和平面BCD所成角的正弦值,解 如图，过A、E分别作AO平面BCD，EG平面BCD，O、G为垂足AO=2GE，AO、GE确定平面AOD，连接GC，则ECG为CE和平面BCD所成的角,ABACAD，OBOCOD. BCD是正三角形， O为BCD的中心，连接OD并延长交BC于F，则F为BC的中点 令正四面体棱长为1，,规律方法 利用定义法求线面角时，关键是找到斜线的射影，找射影有以下两种方法：斜线上任一点在平面内的射影必在斜线在平面内的射影上；利用已知垂直关系得出线面垂直，确定射影,跟踪变式1 如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，PD平面ABCD. PDDC，E是PC
4、的中点 求EB与平面ABCD夹角的余弦值 解 取CD的中点M，则EMPD， 又PD平面ABCD，EM平面ABCD， BE在平面ABCD上的射影为BM， MBE为BE与平面ABCD的夹角， 设PDDCa，,知识点二 由公式cos cos 1cos 2求线面角,规律方法 公式cos cos 1cos 2在解题时经常用到，可用来求线面角1，在应用公式时，一定要分清，1，2，分别对应图形中的哪个角,跟踪变式2 四面体P-ABC，APBBPCCPA60，则PA与平面PBC所成角的余弦值( )答案 D,解析 如图，设A在平面BPC内的射影为O，APBAPC. 点O在BPC的角平分线上， OPC30，APO
5、为PA与平面PBC所成的角,cosAPBcosAPOcosOPC，,知识点三 向量法求线面角,规律方法 (1)用向量法可避开找角的困难，但计算繁琐，所以注意计算上不要失误 (2)在求已知平面的法向量时，若图中有垂直于平面的直线时，可直接确定法向量；当图中没有垂直于平面的直线时，可设出平面法向量的坐标，用解不定方程组的方法来确定法向量,跟踪变式3 如图，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点若平面ABCD平面DCEF，求直线MN与平面DCEF所成角的正弦值,解 设正方形ABCD，DCEF的边长为2，以D为坐标原点，分别以射线DC，DF，DA为x，y，z轴的正
6、半轴建立空间直角坐标系Dxyz，如图 则D(0，0，0)，A(0，0，2)，M(1，0，2)，N(0，1，0)，,A30 B60 C120 D150答案 A,2正方体ABCDA1B1C1D1中，直线BC1与平面A1BD所成的角的正弦值为 ( )答案 C解析 建系如图，设正方体的棱长为1，则D(0，0，0)，A1(1，0，1)，B(1，1，0)，C1(0，1，1)，A(1，0，0)，,A60 B90 C105 D75答案 B,1空间向量的具体应用主要体现为两种方法基向量法和坐标法这两种方法的思想都是利用空间向量表示立体图形中的点、线、面等元素，建立立体图形和空间向量之间的联系，然后进行空间向量的运算，最后把运算结果回归到几何结论这样就把立体几何问题转化为空间向量来研究，体现了化归与转化思想 2直线与平面所成角的求法(1)几何法：找出斜线在平面上的射影，则斜线与射影所成角就是线面角，可通过解由斜线段、垂线段和射影线段构成的直角三角形获解,3公式cos cos 1cos 2的理解由0cos21，coscos1，从而1.在公式中，令290，则cos cos1cos 900.90，即当ACBC时，ACAO.此即三垂线定理，反之若90，可知290，即为三垂线定理的逆定理，即三垂线定理及逆定理可看成此公式的特例.,再见,
